Ιδιότροπη Εξίσωση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Μια ζόρικη εξίσωση που με έχει απογοητεύσει...
Να λυθει η εξισωση $\displaystyle{ \left( {x + 1} \right)^x + \left( {x + 2} \right)^x = (x + 3)^x }$ .

mathxl · #2

Είδα ότι η περιγραφική μου λύση δεν δουλεύει όταν χ > 0

Δίνω μια διαφορετική λύση για χ>0 διατηρώντας ίδια λύση για τα υπόλοιπα χ

- Αν χ = 0 τότε 2=1 οπότε το 0 δεν είναι λύση

- Αν -1< χ < 0 τότε
$\begin{array}{l} - 1 < x < 0 \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {0 < x + 1 < 1} \\ {1 < x + 2 < 2} \\ {2 < x + 2 < 3} \\ \end{array} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x + 1} \right)}^x} > 1} \\ {{{\left( {x + 2} \right)}^x} > {2^x}} \\ {{{\left( {x + 3} \right)}^x} < {2^x}} \\ \end{array} \Rightarrow \\ \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x + 1} \right)}^x} + {{\left( {x + 2} \right)}^x} > 1 + {2^x} > {2^x}} \\ {{{\left( {x + 3} \right)}^x} < {2^x}} \\ \end{array} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^x} + {\left( {x + 2} \right)^x} > {\left( {x + 3} \right)^x} \\ \end{array}$
οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο (-1,0)

- Αν χ > 0 τότε αρκεί να βρώ τις ρίζες της συνάρτησης $f\left( x \right) = {\left( {1 - \frac{2}{{x + 3}}} \right)^x} + {\left( {1 - \frac{1}{{x + 3}}} \right)^x} - 1,x > 0$

Για κάθε ${x_1},{x_2} \in \left( {0, + \infty } \right)$ με
$\begin{array}{l} {x_1} < {x_2} \Rightarrow 1 - \frac{1}{{{x_1} + 3}} > 1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}} \Rightarrow \ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_1} + 3}}} \right) > \ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right) \Rightarrow \\ \mathop \Rightarrow \limits^{{x_1} > 0} {x_1}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_1} + 3}}} \right) > {x_1}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right) \\ \end{array}$
επίσης
${x_1} < {x_2}\mathop \Rightarrow \limits^{\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right) < 0} {x_1}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right) > {x_2}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right)$
από μεταβατική
$\begin{array}{l} {x_1}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_1} + 3}}} \right) > {x_2}\ln \left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right) \Rightarrow \\ {\left( {1 - \frac{1}{{{x_1} + 3}}} \right)^{{x_1}}} > {\left( {1 - \frac{1}{{{x_2} + 3}}} \right)^{{x_2}}} \\ \end{array}$
Όμοια
${\left( {1 - \frac{2}{{{x_1} + 3}}} \right)^{{x_1}}} > {\left( {1 - \frac{2}{{{x_2} + 3}}} \right)^{{x_2}}} \Rightarrow {\left( {1 - \frac{2}{{{x_1} + 3}}} \right)^{{x_1}}} - 1 > {\left( {1 - \frac{2}{{{x_2} + 3}}} \right)^{{x_2}}} - 1$
Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες κατά μέλη παίρνουμε $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$
άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή το 2 είναι προφανής ρίζα θα είναι και μοναδική....ουφ παλιοπαράγωγε μου ζάλισες το μυαλό....

Ιδιότροπη Εξίσωση

Ιδιότροπη Εξίσωση

Re: Ιδιότροπη Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση