ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

parmenides51 · #1

Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Παπαγεωργίου

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2k x+24=0}$ . Να ορισθεί ο $\displaystyle{ k}$ ώστε $\displaystyle{\rho_1^2-\rho_2^2=20}$ όπου $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ οι ρίζες της εξίσωσης.

2. Ένας αγρός έχει σχήμα τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Η διαγώνιος $\displaystyle{(A\Gamma)=70 \,\, m}$ και η διαγώνιος $\displaystyle{(\Delta B)=42\,\, m}$ .
Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ και σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{\widehat{BE\Gamma}=60^o}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του αγρού.

3. Να δειχθεί οτι για κάθε τόξο $\displaystyle{ x }$ εκφρασμένο σε ακτίνια αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\eta\mu (\sigma\upsilon\nu x)}$

#2

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Παπαγεωργίου

1. Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2k x+24=0}$ . Να ορισθεί ο $\displaystyle{ k}$ ώστε $\displaystyle{\rho_1^2-\rho_2^2=20}$ όπου $\displaystyle{\rho_1,\rho_2}$ οι ρίζες της εξίσωσης.

Είναι $\displaystyle{{\rho _1}{\rho _2} = 24 \Leftrightarrow {\rho _2} = \frac{{24}}{{{\rho _1}}}}$ .

$\displaystyle{\rho _1^2 - \rho _2^2 = 20 \Leftrightarrow \rho _1^2 - {\left( {\frac{{24}}{{{\rho _1}}}} \right)^2} = 20 \Leftrightarrow \rho _1^4 - 20\rho _1^2 - 576 = 0}$ .

Η διτετράγωνη αυτή εξίσωση έχει λύση $\displaystyle{\rho _1^2 = 36 \Leftrightarrow {\rho _1} = \pm 6}$ . Οπότε έχουμε τις λύσεις $\displaystyle{({\rho _1},{\rho _2}) = (6,4)}$ ή (-6, -4)

.

Αλλά $\displaystyle{{\rho _1} + {\rho _2} = 2\kappa \Leftrightarrow \kappa = \pm 5}$

#3

parmenides51 έγραψε:Εξεταστές: Διαμαντόπουλος - Παπαγεωργίου

2. Ένας αγρός έχει σχήμα τετραπλεύρου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ . Η διαγώνιος $\displaystyle{(A\Gamma)=70 \,\, m}$ και η διαγώνιος $\displaystyle{(\Delta B)=42\,\, m}$ .
Οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο $\displaystyle{E}$ και σχηματίζουν γωνία $\displaystyle{\widehat{BE\Gamma}=60^o}$ . Να βρεθεί το εμβαδόν του αγρού.

: Γεωπονική 1963.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

Είναι $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = ({\rm A}{\rm B}\Gamma ) + ({\rm A}\Gamma \Delta ) = \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot B{\rm E} + \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot \Delta {\rm H} = }$

$\displaystyle{\frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot {\rm B}{\rm O}\eta \mu {60^0} + \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma \cdot {\rm O}\Delta \eta \mu {60^0} = \frac{1}{2}{\rm A}\Gamma ({\rm B}{\rm O} + {\rm O}\Delta )\frac{{\sqrt 3 }}{2} = }$

$\displaystyle{\frac{1}{4} \cdot 70 \cdot 42 \cdot \sqrt 3 = 735\sqrt 3 {m^2}}$ .

gauss1988 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Να δειχθεί οτι για κάθε τόξο $\displaystyle{ x }$ εκφρασμένο σε ακτίνια αληθεύει η σχέση $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\eta\mu (\sigma\upsilon\nu x)}$

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\eta\mu (\sigma\upsilon\nu x)}$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)>\sigma\upsilon\nu (\frac{\pi}{2}-\sigma\upsilon\nu x)}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\sigma\upsilon\nu (\eta\mu x)-\sigma\upsilon\nu (\frac{\pi}{2}-\sigma\upsilon\nu x)>0}$ $\Leftrightarrow$

$\displaystyle{2\eta\mu(\frac{\pi}{4}+\frac{\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x}{2}).\eta \mu(\frac{\pi}{4}-\frac{\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x}{2})>0}$ $\rightarrow (1)$

Eπειδή $\displaystyle{\eta\mu x , \sigma\upsilon\nu \in [-1,1]\Rightarrow \frac{\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x}{2} , \frac{\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x}{2} \in [-1,1]\Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{\pi}{4}+\frac{\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x}{2} , \frac{\pi}{4}-\frac{\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x}{2} \in [\frac{\pi}{4}-1 , \frac{\pi}{4}+1]\subset (0,\frac{\pi}{2})}$

Oι γωνίες λοιπόν $\displaystyle{\frac{\pi}{4}+\frac{\eta\mu x-\sigma\upsilon\nu x}{2} , \frac{\pi}{4}-\frac{\eta\mu x+\sigma\upsilon\nu x}{2}}$ ανήκουν στο πρώτο τεταρτημόριο και άρα το ημίτονο και το συνημίτονο αυτών είναι αριθμοί θετικοί και επομένως η (1) αληθεύει.

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

Re: ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1963

Μέλη σε σύνδεση