Πάντα από εκεί

KARKAR · #1

Ίσως θα της άξιζε ένας "καλύτερος" φάκελος , αλλά είναι τόσο διασκεδαστική !

Το τριώνυμο x^2-bx+c

, έχει ρίζες r , s

. Δείξτε ότι ο κύκλος που διέρχεται από

τα σημεία (A(r,0) , B(s,0)

και

, διέρχεται πάντα από το σημείο T(0,1)

!

Δε βρίσκετε και το κέντρο του κύκλου , αφού καταπιαστήκατε

Κι όχι παράπονα για ελλιπή εκφώνηση , του στυλ : $b , c \in\mathbb{R} ?$

Ιστοσελίδα · #2

Μπορούμε να βρούμε πρώτα το περίκεντρο

του τριγώνου ABT

και μετά να δείξουμε ότι (KS)=(KA),

αλλά ας το δούμε διαφορετικά.

Είναι $r+s=b \; , \; rs=c .$

(AB)=s-r}

$(BS)=\sqrt{(b-s)^2+c^2}=\sqrt{(r+s-s)^2+(rs)^2}=\sqrt{r^2+r^2s^2}=$

$\sqrt{r^2(s^2+1)}=r\sqrt{s^2+1}$

$(ST)=\sqrt{b^2+(c-1)^2}=\sqrt{(r+s)^2+(rs-1)^2}=\sqrt{r^2+s^2+r^2s^2+1}=$

$\sqrt{r^2(s^2+1)+(s^2+1)}=\sqrt{(s^2+1)(r^2+1)}$

$(TA)=\sqrt{r^2+1}$

$(TB)=\sqrt{s^2+1}$

$(AS)=\sqrt{(b-r)^2+c^2}=\sqrt{(r+s-r)^2+(rs)^2}=\sqrt{s^2+r^2s^2}=$

$\sqrt{s^2(r^2+1)}=s\sqrt{r^2+1}$

$(AB)(ST)+(BS)(TA)=(s-r)\sqrt{(s^2+1)(r^2+1)}+r\sqrt{s^2+1}\sqrt{r^2+1}=$

$s\sqrt{r^2+1}\sqrt{s^2+1}=(AS)(TB)$

Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Πτολεμαίου, το τετράπλευρο ABST

είναι εγγράψιμο σε κύκλο.

Αν K(a,b)

είναι το κέντρο του κύκλου, τότε $a=\dfrac{r+s}{2}$ και

$(KA)=(KT) \Leftrightarrow (a-r)^2+b^2=a^2+(b-1)^2 \Leftrightarrow b=\dfrac{rs+1}{2}.$

Η ακτίνα του κύκλου είναι: $(KT)=\sqrt{a^2+(b-1)^2}=\dfrac{\sqrt{(s^2+1)(r^2+1)}}{2}=\dfrac{(ST)}{2}$

δηλαδή τα σημεία $S \; , \; T$ είναι αντιδιαμετρικά.

S.E.Louridas · #3

$\matrix {r + s = b \Rightarrow OA = BF \Rightarrow OG = c\; \Rightarrow } \\ {OT_1 \cdot OG = OT_1 \cdot c = rs = c \Rightarrow OT_1 = 1 \Rightarrow T_1 \equiv T,} \\ \endmatrix$
αφού η Δύναμη σημείου (εδώ του σημείου

) ως προς κύκλο (εδώ του κύκλου

) διατηρεί τη δύναμη της.

Το κέντρο πλέον του κύκλου είναι το σημείο $\displaystale{E(\frac{b}{2},\frac{c+1}{2})}$ .

Πάντα από εκεί

Πάντα από εκεί

Re: Πάντα από εκεί

Re: Πάντα από εκεί

Μέλη σε σύνδεση