Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

#1

Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία 30^ o

, η διχοτόμος της γωνίας των 30^o

είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Μια πρώτη υπολογιστική λύση, με τριγωνομετρία.

: 01-9-2024 Γεωμετρία 1.png (29.9 KiB) Προβλήθηκε 634 φορές

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu 15^\circ = \frac{{AC}}{{CE}} \Leftrightarrow CE = \frac{{AC}}{{\sigma \upsilon \nu 15^\circ }}$

$\displaystyle \frac{{AD}}{{\eta \mu 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\eta \mu 105^\circ }} \Leftrightarrow AD = \frac{{AC}}{{\eta \mu 30^\circ \cdot \eta \mu \left( {90^\circ + 15^\circ } \right)}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{AC}}{{\sigma \upsilon \nu 15^\circ }} = \frac{{CE}}{2}$

Φανης Θεοφανιδης · #3

: 444.png (10.61 KiB) Προβλήθηκε 622 φορές

Έστω

το μέσο της $B\Gamma$ .
Ο λόγος ομοιότητας των τριγώνων $E\Gamma B, MA\Delta$ είναι

.
Συνεπώς $\Gamma E=2A\Delta$ .

STOPJOHN · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2024 8:17 pm
Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία , η διχοτόμος της γωνίας των είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

ΕΒ J=30=JMA=ΜΑJ γιατί το σημείο J είναι το εγκεντρο του τριγώνου .Το τετράπλευρο JDBE, είναι εγγράψιμο σε κύκλο Οπότε EJ=DJ,ΕM=ΜC,DΑ=ΑΜ=ΜΕ,

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2024 8:17 pm
Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία , η διχοτόμος της γωνίας των είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

: Μ.Λ.Δ.png (12.04 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Φέρνω το ύψος $AH=\dfrac{b}{2}$ και από την ομοιότητα των τριγώνων HAD, ACE

θα είναι $AD=\dfrac{CE}{2}.$

Βγαίνει και υπολογιστικά με τους τύπους των διχοτόμων, αλλά δεν συμφέρει γιατί έχει πολλές πράξεις.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2024 8:17 pm
Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία , η διχοτόμος της γωνίας των είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

Έστω $AD = d\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BZ = k$ οι διχοτόμοι της ορθής και των $30^\circ$ .

Γράφω τον κύκλο διαμέτρου

και την από το

παράλληλη στην

που τέμνει τον κύκλο αυτό στο

.

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο AZCT

θα είναι $\widehat {ATC} = \widehat {BZC} = 105^\circ$ . Επειδή $\widehat {\omega _{}^{}} = 15^\circ + 15^\circ = 30^\circ$ , αναγκαστικά $\widehat {\xi _{}^{}} = 45^\circ$ .

: Απο διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο_new.png (33.8 KiB) Προβλήθηκε 496 φορές

Η προηγούμενη σχέση μου εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ADCT

είναι παραλληλόγραμμο κι έτσι : $TC = AD = d\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή το $\vartriangle TZC \to \left( {90^\circ ,30^\circ ,60^\circ } \right)$ θα είναι ZC = 2TC

, δηλαδή , $\boxed{k = 2d}$ ( Αυτό θέλω).

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2024 8:17 pm
Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία , η διχοτόμος της γωνίας των είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

Σχηματίζουμε το παραλ/μμο AEBZ

.

Επειδή οι πράσινες γωνίες είναι 75^0

το

είναι εγγράψιμμο, άρα $\angle ADZ=90^0$ κι αφού

$\angle ZAD=60^0 \Rightarrow ZA=2AD \Rightarrow BE=2AD$

: Διπλάσια διχοτόμος.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές

STOPJOHN · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 01, 2024 8:17 pm
Δείξτε ότι στα ορθογώνια τρίγωνα με μία γωνία , η διχοτόμος της γωνίας των είναι διπλάσια της διχοτόμου της ορθής γωνίας.

(Την είδα σε μαθητικό διαγωνισμό. Έχει διάφορες λύσεις, καθαρά Γεωμετρικές ή Τριγωνομετρικές.)

Μια λύση ακόμη ...
Εστω κύκλος (Α,Ε,Β) κέντρου Κ, με ΕΜ=ΜΒ. Τότε τα τρίγωνα ΜLΝ,ΑLΜ είναι ισόπλευρα και το τρίγωνο ΑLD

είναι ισοσκελές γιατί ALD=15+60=75,ADL=30+15+30=75,AL=AD=AM=MB=EM

Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Re: Από διχοτόμο σε διπλάσια διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση