Τριγωνομετρία

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Σε τρίγωνο ABC

ισχύουν τα παρακάτω:

$3\sin B+4\cos C=6$ και $4\sin C+3\cos B=1$ .

Να βρείτε τη γωνία

.

Henri van Aubel · #2

Έχουμε :

$\displaystyle \left ( 3\sin B+4\cos C \right )^{2}+\left ( 4\sin C+3\cos B \right )^{2}=37\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 9\left ( \sin ^{2}B+\cos ^{2}B \right )+16\left ( \cos ^{2}C+\sin ^{2}C \right )+24\sin A=37\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 9+16+24\sin A=37\Leftrightarrow \sin A=\frac{1}{2}.$

Επομένως: $\boxed{\widehat{A}=30^\circ}$ ή $\displaystyle \boxed{\widehat{A}=150^\circ}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 9:20 am
Έχουμε :

$\displaystyle \left ( 3\sin B+4\cos C \right )^{2}+\left ( 4\sin C+3\cos B \right )^{2}=37\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 9\left ( \sin ^{2}B+\cos ^{2}B \right )+16\left ( \cos ^{2}C+\sin ^{2}C \right )+24\sin A=37\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 9+16+24\sin A=37\Leftrightarrow \sin A=\frac{1}{2}.$

Επομένως: $\boxed{\widehat{A}=30^\circ}$ ή $\displaystyle \boxed{\widehat{A}=150^\circ}$

Καλημέρα. Θέλει λίγο παραπάνω δουλίτσα.

Henri van Aubel · #4

Καλημέρα. Το ξέρω ότι πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις, απλά μου φάνηκε επίπονο. Για να δούμε.

Αν $\widehat{A}=150^\circ$ , τότε $3\sin B+4\cos \left ( 30^\circ-B \right )=6$ και $3\cos B+4\sin \left ( 30^\circ-B \right )=1.$

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ότι $3\sin B-3\cos B+4\left [ \cos \left ( 30^\circ-B \right )-\sin \left ( 30^\circ-B \right ) \right ]=5.$

Όμως $2\cos \left ( 30^\circ-B \right )=\sqrt{3}\cos B+\sin B$ και $2\sin \left ( 30^\circ-B \right )=\cos B-\sqrt{3}\sin B$ και συνεπώς :

$2\cos \left ( 30^\circ-B \right )-2\sin \left ( 30^\circ-B \right )=\left ( \sqrt{3}-1 \right )\left ( \cos B-\sin B \right )$ και τελικά:

$-3\left ( \cos B-\sin B \right )+2\left ( \sqrt{3}-1 \right )\left ( \cos B-\sin B \right )=5.$

Συνεπώς: $\displaystyle \left ( 2\sqrt{3}-5 \right )\left ( \cos B-\sin B \right )=5\Rightarrow \cos B< \sin B$ και άρα $\tan B> 1$ που είναι άτοπο , εφόσον $\widehat{B}< 30^\circ.$

Ομοίως εργαζόμαστε και στην περίπτωση όπου $\widehat{A}=30^\circ$ και καταλήγουμε ότι είναι εφικτό.

Επομένως: $\boxed{\widehat{A}=30^\circ}$

mick7 · #5

Υπάρχει γωνία τρίγωνου Β για την οποία μπορεί να ισχύει 3sinB+4cos(30-B)=6

. Νομίζω ότι LHS<RHS

Λάμπρος Κατσάπας · #6

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 4:51 pm
Υπάρχει γωνία τρίγωνου Β για την οποία μπορεί να ισχύει . Νομίζω ότι LHS<RHS

Καλησπέρα. Ναι υπάρχει. Όχι μόνο μία αλλά δύο.

mick7 · #7

Αγαπητέ Λάμπρο ποιες είναι αυτές οι δυο γωνίες..?

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 5:19 pm

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 4:51 pm
Υπάρχει γωνία τρίγωνου Β για την οποία μπορεί να ισχύει . Νομίζω ότι LHS<RHS
Καλησπέρα. Ναι υπάρχει. Όχι μόνο μία αλλά δύο.

#8

mick7 έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 23, 2023 4:17 pm
Αγαπητέ Λάμπρο ποιες είναι αυτές οι δυο γωνίες..?

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 5:19 pm

mick7 έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 22, 2023 4:51 pm
Υπάρχει γωνία τρίγωνου Β για την οποία μπορεί να ισχύει . Νομίζω ότι LHS<RHS
Καλησπέρα. Ναι υπάρχει. Όχι μόνο μία αλλά δύο.

Kαλησπέρα σε όλους. Προσεγγιστικά, με την επιφύλαξη τυχόν λάθους.

Για $\displaystyle0 < x < \frac{{5\pi }}{6}$

$\displaystyle3\sin x + 4cos(30^\circ - x) = 6 \Leftrightarrow 3\sin x + 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x} \right) = 6$

$\displaystyle \Leftrightarrow 5\sin x + 2\sqrt 3 \cos x = 6 \Leftrightarrow \sqrt {37} \sin x\left( {x + \varphi } \right) = 6$ με $\displaystyle\sin \varphi = \frac{{2\sqrt 3 }}{{\sqrt {37} }},\;\;\cos \varphi = \frac{5}{{\sqrt {37} }}$ , από όπου έχουμε ότι $\displaystyle\varphi \cong 0,606\;rad$

Οπότε $\displaystyle\sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{6}{{\sqrt {37} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{6}{{\sqrt {37} }}$

Είναι $\displaystyle\arcsin \frac{6}{{\sqrt {37} }} \cong 1,406$ , άρα $\displaystyle\left\{ \begin{array}{l} x = 1,406 - 0,606 = 0,8\;rad\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x = 3,14 - 1,406 - 0,606 = 1,126\;\;rad \end{array} \right.$

Venizelos · #9

Για να βρούμε τη γωνία A, θα χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις που μας δίνονται και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αρχικά, ας εξετάσουμε την πρώτη εξίσωση: 3sin B + 4cos C = 6. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 9sin B + 12cos C = 18.

Έπειτα, ας εξετάσουμε τη δεύτερη εξίσωση: 4sin C + 3cos B = 1. Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη με 3, έχουμε: 12sin C + 9cos B = 3.

Προσθέτουμε τις δύο νέες εξισώσεις: (9sin B + 12cos C) + (12sin C + 9cos B) = 18 + 3. Απλοποιούμε την εξίσωση: 9sin B + 12sin C + 12cos C + 9cos B = 21.

Αναδιατάσσουμε τα μέλη της εξίσωσης ως εξής: (9sin B + 9cos B) + (12sin C + 12cos C) = 21.

Γνωρίζουμε ότι sin θ + cos θ = √2sin(π/4 + θ). Εφαρμόζοντας αυτήν την ιδιότητα, παίρνουμε: 9√2sin(π/4 + B) + 12√2sin(π/4 + C) = 21.

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση ακόμα περισσότερο: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7.

Αντικαθιστούμε τώρα τους αρχικούς όρους: sin A = sin(π - (B + C)) = sin(B + C).

Οπότε, έχουμε την εξίσωση: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7 = 7sin A.

Τέλος, διαιρούμε και τα δύο μέλη με 7: sin A = (3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C)) / 7.

Από εδώ, μπορούμε να βρούμε τη γωνία A χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο της συνάρτησης ημιτόνου. Προκύπτει ότι η Α ισούται με περίπου 27 μοίρες.

Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ

#10

Καλό είναι να γράφεις σε latex, όπως πολύ σωστά απαιτούν οι κανονισμοί μας. Άλλωστε, αν κρίνω από το ποστ σου εδώ, είσαι γνώστης του latex.

Συνήθως δεν απαντώ στα ποστ που δεν ακολουθούν τους κανονισμούς μας, αλλά θα το κάνω κατά παρέκκλιση, λόγω του ότι είσαι μαθητής και θέλω να σε ενθαρρύνω να ασχολείσαι με τα Μαθηματικά. Στην συγκεκριμμένη περίπτωση, δες σε παρακαλώ τα σημεία που απομονώνω στα παρακάτω.
.

Venizelos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:03 pm

Μπορούμε να απλοποιήσουμε την εξίσωση ακόμα περισσότερο: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7.

Αντικαθιστούμε τώρα τους αρχικούς όρους: sin A = sin(π - (B + C)) = sin(B + C).

Οπότε, έχουμε την εξίσωση: 3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C) = 7 = 7sin A.

.
Πώς δικαιολογείς ότι το

έγινε $7\sin A$ ; Είναι σαν να παίρνεις A=90^o

, αλλά παρακάτω έβγαλες το συμπέρασμα ότι $A\approx \, 27$ . Συμβιβάζονται αυτά;
.

Venizelos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:03 pm
Τέλος, διαιρούμε και τα δύο μέλη με 7: sin A = (3√2sin(π/4 + B) + 4√2sin(π/4 + C)) / 7.

Από εδώ, μπορούμε να βρούμε τη γωνία A χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο της συνάρτησης ημιτόνου. Προκύπτει ότι η Α ισούται με περίπου 27 μοίρες.

.
Για κάνε το λιανά αυτό. Το δεξί μέλος έχει μεταβλητές, οπότε πώς κατέληξες στην τιμή

;

#11

Venizelos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:03 pm
Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ

Προς Venizelos:

Καμιά πρόοδο εδώ; Στο προηγούμενο ποστ επισήμανα κάποια σημεία προς εξέταση. Έχεις ξακαθαρίσει τα θέματα αυτά; Εδώ είμαστε να βοηθήσουμε, όπως άλλωστε ζήτησες, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς.

Venizelos · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 24, 2023 11:03 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 21, 2023 4:03 pm
Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω κάνει κάποιο λάθος! Ευχαριστώ
Προς Venizelos:

Καμιά πρόοδο εδώ; Στο προηγούμενο ποστ επισήμανα κάποια σημεία προς εξέταση. Έχεις ξακαθαρίσει τα θέματα αυτά; Εδώ είμαστε να βοηθήσουμε, όπως άλλωστε ζήτησες, αλλά πρέπει και εσύ να ανταποκριθείς.

Γεια σας κύριε Λάμπρου! Ευχαριστώ πολύ που μου επισημάνατε τα λάθη μου. Ξεκίνησα σήμερα την προσπάθειά μου να ξεκαθαρίσω την απάντηση (με μαθήματα και λοιπά δεν μου έχει απομείνει πολύς χρόνος). Σας ευχαριστώ για τον χρόνο σας και θα προσπαθήσω εντός του Σαββατοκυριάκου να ξεκαθαρίσω την απάντησή μου. Έχετε απόλυτο δίκιο και πλέον θα γράφω αποκλειστικά σε LaTeX. Ελπίζω να τα ξαναπούμε πάνω σε κάποιο άλλο θέμα!

Venizelos · #13

Έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$

Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos ^2 B+24 \sin C \cdot \cos B=1 \ (4) \end{aligned} }$

Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+16\left(\sin ^2 C+\cos ^2 B\right)+24(\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C)=3 \\ & \Rightarrow 9+16+24 \sin (B+C)=37 \quad\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \\ & \Rightarrow 24 \sin (B+C)=12 \\ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ & \therefore B+C=150^{\circ} \\ \end{aligned} }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \therefore A+B+C=180^{\circ} \\ & \Rightarrow A=180^{\circ}-(B+C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \end{aligned} }$

Οπότε η γωνία Α είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες, καθώς δεν μπορούμε να αποκλείσουμε την περίπτωση πως $\displaystyle{(B+C) = 30}$

Ευχαριστώ εγκάρδια τον κύριο Λάμπρου και την κοινότητα του Mathematica για την υποστήριξή του στο πρόβλημα.

Henri van Aubel · #14

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am
Έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$

Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos ^2 B+24 \sin C \cdot \cos B=1 \ (4) \end{aligned} }$

Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+16\left(\sin ^2 C+\cos ^2 B\right)+24(\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C)=3 \\ & \Rightarrow 9+16+24 \sin (B+C)=37 \quad\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \\ & \Rightarrow 24 \sin (B+C)=12 \\ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ & \therefore B+C=150^{\circ} \\ \end{aligned} }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \therefore A+B+C=180^{\circ} \\ & \Rightarrow A=180^{\circ}-(B+C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \end{aligned} }$

Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]

Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.

Venizelos · #15

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am
Έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$

Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos ^2 B+24 \sin C \cdot \cos B=1 \ (4) \end{aligned} }$

Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+16\left(\sin ^2 C+\cos ^2 B\right)+24(\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C)=3 \\ & \Rightarrow 9+16+24 \sin (B+C)=37 \quad\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \\ & \Rightarrow 24 \sin (B+C)=12 \\ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ & \therefore B+C=150^{\circ} \\ \end{aligned} }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \therefore A+B+C=180^{\circ} \\ & \Rightarrow A=180^{\circ}-(B+C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \end{aligned} }$

Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]

Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.

Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.

apotin · #16

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία.

Από που προκύπτει αυτό;
Γνωρίζεις ότι υπάρχουν και αμβλυγώνια τρίγωνα;
Θα σου πρότεινα να ελέγχεις ως προς την ορθότητα ό,τι "κυκλοφορεί" στο web.

Venizelos · #17

apotin έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:15 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία.

Από που προκύπτει αυτό;
Γνωρίζεις ότι υπάρχουν και αμβλυγώνια τρίγωνα;
Θα σου πρότεινα να ελέγχεις ως προς την ορθότητα ό,τι "κυκλοφορεί" στο web.

Συγγνώμη για την αναστάτωση, έχετε απόλυτο δίκιο. Θα είμαι πιο προσεκτικός στις πληροφορίες που "αναβλύζουν" από διαδικτυακές "πηγές".

Henri van Aubel · #18

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:07 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am
Έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$

Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos ^2 B+24 \sin C \cdot \cos B=1 \ (4) \end{aligned} }$

Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+16\left(\sin ^2 C+\cos ^2 B\right)+24(\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C)=3 \\ & \Rightarrow 9+16+24 \sin (B+C)=37 \quad\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \\ & \Rightarrow 24 \sin (B+C)=12 \\ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ & \therefore B+C=150^{\circ} \\ \end{aligned} }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \therefore A+B+C=180^{\circ} \\ & \Rightarrow A=180^{\circ}-(B+C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \end{aligned} }$

Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]

Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.

Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.

Η γωνιά είναι 30 μοίρες. Την περίπτωση των 150 μοιρών την έχω αποκλείσει παραπάνω.

Venizelos · #19

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:24 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 2:07 pm

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 1:59 pm

Venizelos έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 25, 2023 11:45 am
Έχουμε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 3 \sin B+4 \cos C=6 \ \text {(1) } \\ & 4 \sin C+3 \cos B=1 \ \text { (2) } \end{aligned} }$

Υψώνουμε τις (1) και (2) στο τετράγωνο και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9 \sin ^2 B+16 \cos ^2 C+24 \sin B \cdot \cos C=36 \ (3) \\ & 16 \sin ^2 C+9 \cos ^2 B+24 \sin C \cdot \cos B=1 \ (4) \end{aligned} }$

Προσθέτουμε τις (3) και (4) κατά μέλη και έχουμε:

$\displaystyle{ \begin{aligned} & 9\left(\sin ^2 B+\cos ^2 B\right)+16\left(\sin ^2 C+\cos ^2 B\right)+24(\sin B \cdot \cos C+\cos B \cdot \sin C)=3 \\ & \Rightarrow 9+16+24 \sin (B+C)=37 \quad\left[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1\right] \\ & \Rightarrow 24 \sin (B+C)=12 \\ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ & \therefore B+C=150^{\circ} \\ \end{aligned} }$

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \therefore A+B+C=180^{\circ} \\ & \Rightarrow A=180^{\circ}-(B+C)=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \end{aligned} }$

Οπότε η γωνία Α είναι 30 μοίρες.

Σημείωση: στη σχέση $\displaystyle{ & \Rightarrow \sin (B+C)=\frac{1}{2} \\ }$ απέρριψα την πιθανότητα να είναι 30 μοίρες, καθώς το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου πρέπει να είναι μεγαλύτερο από την τρίτη γωνία. [\color]

Καλημερα. Για δες αυτό που κοκκινισα.

Βέβαια, εκ παραδρομής λάθος, παρασύρθηκα από τον ενθουσιασμό μου στην προσπάθεια να κατασκευάσω μια κομψή λύση. Αφού δεν μπορούμε πλέον να απορρίψουμε καμία περίπτωση, η γωνία θα είναι είτε 30 είτε 150 μοίρες.

Η γωνιά είναι 30 μοίρες. Την περίπτωση των 150 μοιρών την έχω αποκλείσει παραπάνω.

Ευχαριστώ, προσπάθησα να μη διαβάσω τις λύσεις πρωτού λύσω και εγώ την άσκηση. Τώρα κατάλαβα... Συγγνώμη για τη σύγχηση.

Λάμπρος Κατσάπας · #20

Μας τρολάρει το ΑΙ;

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση