Πολύτροπον

Συντονιστής: exdx

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17396
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Πολύτροπον

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μαρ 21, 2022 7:40 pm

Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : \left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+xy &=31 \\ 
 x+y-xy& =29
\end{matrix}\right.



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18187
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολύτροπον

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 21, 2022 8:28 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 21, 2022 7:40 pm
Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x^2+y^2+xy &=31 \\  
 x+y-xy& =29 
\end{matrix}\right.
H πρώτη εξίσωση γράφεται (x+y)^2-xy=31, οπότε με A=x+y,\, B=xy το σύστημα γράφεται

A^2-B=31,\, A-B=29. Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε A^2-A=2 οπότε A=- 1 ή A=2. Από εκεί βρίσκουμε το B=-30 ή, αντίστοιχα, B=-27 και μετά τα x,y. Mία λύση η x=-6,\, y=5, και λοιπά.

Edit. Έκανα διόρθωση τυπογραφικού.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Δευ Μαρ 21, 2022 10:00 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
gb1234
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Φεβ 28, 2022 8:50 pm

Re: Πολύτροπον

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gb1234 » Δευ Μαρ 21, 2022 8:40 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Μαρ 21, 2022 8:28 pm
KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 21, 2022 7:40 pm
Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x^2+y^2+xy &=31 \\  
 x+y-xy& =29 
\end{matrix}\right.
H πρώτη εξίσωση γράφεται (x+y)^2-xy=31, οπότε με A=x+y,\, B=xy το σύστημα γράφεται

A^2-B=31,\, A-B=29. Με πρόσθεση έχουμε A^2-A=2 οπότε A= \dfrac {1}{2} (1\pm \sqrt 5). Από εκεί εύκολα βρίσκουμε το B και μετά τα x,y. Mία λύση η x=-6,\, y=5, και λοιπά.
Καλησπέρα! Κύριε Λάμπρου, μήπως, εννοείτε A=-1 ή A=2; Διορθώστε με αν δεν βλέπω κάτι.
τελευταία επεξεργασία από gb1234 σε Δευ Μαρ 21, 2022 10:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


giannispapav
Δημοσιεύσεις: 77
Εγγραφή: Πέμ Σεπ 14, 2017 5:59 pm

Re: Πολύτροπον

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από giannispapav » Δευ Μαρ 21, 2022 9:00 pm

Κάνοντας την αντικατάσταση x=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(a+b), y=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(b-a) το σύστημα γράφεται ισοδύναμα \begin{cases}3b^2+a^2=248 \\ a^2-b^2+4\sqrt{2}b=232\end{cases} το οποίο λύνεται με αντικατάσταση κλπ.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18187
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολύτροπον

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Μαρ 21, 2022 9:44 pm

gb1234 έγραψε:
Δευ Μαρ 21, 2022 8:40 pm
... μήπως, εννοείτε A=-1 ή A=2. Διορθώστε με αν δεν βλέπω κάτι.
Ναι, ήταν τυπογραφικό σφάλμα. Ευτυχώς χρησιμοποίησα τις σωστές τιμές A=-1 ή A=2 από εκεί και πέρα, και η τελική απάντηση είναι σωστή.

Έκανα διόρθωση του τυπογραφικού, στο αρχικό μήνυμα. Να 'σαι καλά. Ευχαριστώ.


mick7
Δημοσιεύσεις: 1432
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Πολύτροπον

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Μαρ 22, 2022 12:09 am

H γραφική παράσταση δίνει 4 λύσεις... :idea:
Συνημμένα
sshot-003.png
sshot-003.png (23.04 KiB) Προβλήθηκε 1407 φορές


Άβαταρ μέλους
gb1234
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Φεβ 28, 2022 8:50 pm

Re: Πολύτροπον

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gb1234 » Τρί Μαρ 22, 2022 12:34 am

mick7 έγραψε:
Τρί Μαρ 22, 2022 12:09 am
H γραφική παράσταση δίνει 4 λύσεις... :idea:
Όντως! Οι λύσεις που προκύπτουν μετά την επίλυση του συστήματος είναι τα παρακάτω ζεύγη:
(x,y)=(-6,5)
(x,y)=(5,-6)
(x,y)=(1-2\sqrt{7},1+2\sqrt{7})
(x,y)=(1+2\sqrt{7},1-2\sqrt{7})


Άβαταρ μέλους
gb1234
Δημοσιεύσεις: 17
Εγγραφή: Δευ Φεβ 28, 2022 8:50 pm

Re: Πολύτροπον

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gb1234 » Τρί Μαρ 22, 2022 1:07 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μαρ 21, 2022 7:40 pm
Βρείτε μερικούς τρόπους για να λύσετε το σύστημα : \left\{\begin{matrix} 
x^2+y^2+xy &=31 \\  
 x+y-xy& =29 
\end{matrix}\right.
Παραθέτω μια ακόμη προσέγγιση (από τις πολλές) για το σύστημα. Είναι:
(x+y)^2=31+xy και (x+y)^2=(29+xy)^2 επομένως 31+xy=(29+xy)^2\Leftrightarrow...\Leftrightarrow -(xy)^2-57xy-810=0\Leftrightarrow (xy+27)(xy+30)=0
από όπου λαμβάνουμε εύκολα xy=-27 ή xy=-30 και στη συνέχεια δουλεύοντας τις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε στις λύσεις του πόστ #7.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18187
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολύτροπον

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 22, 2022 1:48 am

mick7 έγραψε:
Τρί Μαρ 22, 2022 12:09 am
H γραφική παράσταση δίνει 4 λύσεις... :idea:
Σωστά. Υπόψη όμως ότι η λύση που έγραψα ουσιαστικά το λέει αυτό. Συγκεκριμένα από τις τιμές των A, B που βγήκαν, έχουμε

x+y = -1,\, xy=-30 ή

x+y=2,\, xy=-27.

Απλά δεν έκανα τον κόπο να λύσω το εκάστοτε σύστημα αφού είναι απλό και κοινότατο (δοθέν άθροισμα και γινόμενο δύο αριθμών, ισοδύναμα, οι ρίζες μιας δευτεροβάθμιας με δύο ρίζες η καθεμία). Αρκέστηκα να δώσω, ως δείγμα, τις απαντήσεις -6,\,5 μόνο του πρώτου συστήματος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΛΓΕΒΡΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες