ΕΚΠ-ΜΚΔ

Lymperis Karras · #1

Να δείξετε ότι $\dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]} = \dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)}$ για κάθε $a,b,c \in \mathbb{N}$

(Μπορεί να τοποθετηθεί και σε πιο εύκολο φάκελο, το αφήνω εδώ ωστόσο λόγω των εργαλείων που χρησιμοποιεί η λύση που έχω)

Η άσκηση είναι από Αμερικανική Ολυμπιάδα.

edit: είχα ξεχάσει να βάλω το τετράγωνο στους αριθμητες. Συγγνώμη για την σύγχυση

Zaro23 · #2

Δεν ισχύει για κάθε α,β,γ θετικό ακέραιο.

Lymperis Karras · #3

Επαναφορά

abfx · #4

Αρχικά ένα λήμμα:

Έστω $x,y,z\in\mathbb{R}$ .Ισχύει:

$2max\{x,y,z\}-max\{x,y\}-max\{y,z\}-max\{z,x\}=$
$=2min\{x,y,z\}-min\{x,y\}-min\{y,z\}-min\{z,x\}$ .

Πράγματι, λόγω συμμετρίας μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $x\leq y\leq z$ .
Τότε η ισότητα γράφεται $2z-y-z-z=2x-x-y-x\iff -y=-y$ που αληθεύει. $\blacksquare$

Έστω τώρα $p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}$ όλοι οι πρώτοι που διαιρούν τουλάχιστον ένα από τα a,b,c

.
Αναλύουμε τα a,b,c

σε γινόμενο πρώτων παραγόντων (με πιθανούς μηδενικούς εκθέτες):

$a=\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{a_{i}}$ , $b=\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{b_{i}}$ , $c=\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{c_{i}}$ .

Τότε έχουμε:

$\frac{[a,b,c]^2}{[a,b]\cdot[b,c]\cdot[c,a]}=\frac{\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{2max\{a_{i},b_{i},c_{i}\}}}{\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{max\{a_{i},b_{i}\}}\cdot\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{max\{b_{i},c_{i}\}}\cdot\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{max\{c_{i},a_{i}\}}}=$

$=\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{2max\{a_{i},b_{i},c_{i}\}-max\{a_{i},b_{i}\}-max\{b_{i},c_{i}\}-max\{c_{i},a_{i}\}}$

Όμοια:

$\frac{(a,b,c)^2}{(a,b)\cdot(b,c)\cdot(c,a)}=\prod_{i=1}^{n} p_{i}^{2min\{a_{i},b_{i},c_{i}\}-min\{a_{i},b_{i}\}-min\{b_{i},c_{i}\}-min\{c_{i},a_{i}\}}$ ,

οπότε με τη βοήθεια του λήμματος παίρνουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

ΕΚΠ-ΜΚΔ

ΕΚΠ-ΜΚΔ

Re: ΕΚΠ-ΜΚΔ

Re: ΕΚΠ-ΜΚΔ

Re: ΕΚΠ-ΜΚΔ

Μέλη σε σύνδεση