Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

TrItOs · #1

Παρουσιάζω ένα πρόβλημα της Διαφορικής Γεωμετρίας στο οποίο χρειάζομαι μια βοήθεια.

Πρόβλημα: Ποιες καμπύλες που βρίσκονται σε μια σφαίρα έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα ;

Δηλαδή ζητάμε καμπύλες $\displaystyle{\gamma : I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{S}_{R}^{2}}$ πάνω στην σφαίρα $\displaystyle{\mathbb{S}_{R}^{2} = \big \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} \big \}}$ ώστε
$\displaystyle{\kappa_{g}(t) =}$ σταθερά για κάθε $\displaystyle{t \in I}$ .

Σκέψεις:
Γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\kappa_{g} = \pm \kappa \sin{\psi} =}$ σταθερή, όπου $\displaystyle{\psi}$ είναι η γωνία μεταξύ του μοναδιαίου διανύσματος της σφαίρας $\displaystyle{\bold{N}}$ και του κύριου κάθετου διανύσματος $\displaystyle{\bold{N}_{\gamma}}$ και $\displaystyle{\kappa}$ η καμπυλότητα της καμπύλης, $\displaystyle{| | \gamma '' (t) || = \kappa(t)}$ (καθώς μπορούμε να υποθέσουμε ότι η καμπύλη είναι παραμετροποιημένη ως προς μήκος τόξου). Επιπλέον είναι $\displaystyle{\bold{N} \cdot \bold{N}_{\gamma} = \cos{\psi}}$ .

Πως θα δείξουμε ότι το γινόμενο $\displaystyle{\kappa_{n} = \kappa \cos{\psi} =}$ σταθερό ; (έχουμε αυτή την πεποίθηση) ώστε να συμπαιράνουμε ότι
$\displaystyle{\kappa = \sqrt{\kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}} =}$ σταθερό, και ύστερα πως δείχνουμε ότι $\displaystyle{\tau = 0}$ ;

Δηλαδή η απάντηση στο πρόβλημα ισχυριζόμαστε ότι είναι:
Ισχυρισμός: Είναι όλοι οι κύκλοι.

Βοηθήστε με για την επίλυση του προβλήματος, ευχαριστώ.

BAGGP93 · #2

Καλημέρα. Γράψε ποιο είναι το N(s)

για κάθε $s\in I$ και ποιο είναι το διάνυσμα $N_{\gamma}$ και προσπάθησε να υπολογίσεις το εσωτερικό γινόμενο

$\langle{N(s),N_{\gamma}(s)\rangle}\,,s\in I$ .

TrItOs · #3

$\rightarrow \langle{N(s),N_{\gamma}(s)\rangle}\,,s\in I \leftarrow$

Έχω βρει ότι $\displaystyle{< N , N_{\gamma} > = N \cdot N_{\gamma} = \cos{\psi}}$ , εκτός και εάν εννοείται κάτι διαφορετικό.

BAGGP93 · #4

Καλησπέρα. Εννοούσα να το αναπτύξεις στην αλγεβρική του μορφή δηλ.

$\langle{(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle}=x_1\,x_2+y_1\,y_2+z_1\,z_2$ .

TrItOs · #5

Μήπως μπορείτε να βοηθήσετε περισσότερο για την επίλυση. Υπάρχει κάποια πηγή την οποία μπορώ να συμβουλευτώ για την λύση της ;

BAGGP93 · #6

Καλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.

Christos.N · #7

Βαγγέλη πολύ καλή πηγή σε ευχαριστώ πολύ.

TrItOs · #8

BAGGP93 έγραψε: ↑
Δευ Απρ 19, 2021 10:57 am
Καλημέρα. Δες εδώ http://users.uoi.gr/tvlachos/teaching/i ... f-gewm.pdf σελ. 50.

Ευχαριστώ πολύ. Θα το κοιτάξω και αν καταφέρω και το λύσω θα αναρτήσω τη λύση, διαφορετικά αν μου δημιουργηθεί κάποια απορία θα σας ρωτήσω.

TrItOs · #9

Ισχυρισμός : Η καμπυλότητα $\displaystyle{\kappa}$ της καμπύλης $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ είναι σταθερή.
Καθώς αν αποδειχθεί αυτό, τότε η καμπύλη $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ θα είναι κύκλος.

Δηλαδή έχουμε ως δεδομένο μια καμπύλη $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ που βρίσκεται πάνω σε μια σφαίρα με σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα $\displaystyle{\kappa_{g}}$ , αν δείξουμε ότι από αυτά τα δεδομένα συνεπάγεται πως η καμπύλη $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ έχει σταθερή καμπυλότητα $\displaystyle{\kappa}$ . Τότε η καμπύλη είναι κύκλος.

Πως αποδεικνύεται ο παραπάνω ισχυρισμός ;

Υπάρχει και εναλλακτική λύση ;

TrItOs · #10

Θα ήθελα αν γίνεται να αναρτήσει κάποιος την αναλυτική λύση του προβλήματος που παραθέτω παραπάνω, ευχαριστώ πολύ.

TrItOs · #11

Λύση
Γνωρίζουμε ότι η καμπυλότητα $\displaystyle{Gauss}$ και η μέση καμπυλότητα της σφαίρας $\displaystyle{\mathbb{S}_{a, R}^{2} = \Big \{ \big( x, y, z \big) \in \mathbb{R}^{3} : \big( x - \alpha_{1} \big)^{2} + \big( y - \alpha_{2} \big)^{2} + \big( z - \alpha_{3} \big)^{2} = R^{2} \Big \} }$ ισούται με $\displaystyle{K = \frac{1}{R^{2}}}$ και $\displaystyle{H = \frac{1}{R^{2}}}$ , αντίστοιχα, όπου έχουμε κύριες καμπυλότητες $\displaystyle{\kappa_{1} = \kappa_{2} = \frac{1}{R}}}$ και άρα η κάθετη καμπυλότητα είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα και είναι ίση με $\displaystyle{\kappa_{n} = \frac{1}{R}}}}$ . Στη συνέχεια από τη σχέση $\displaystyle{\kappa^{2} = \kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2}}$ , προκύπτει ότι η καμπυλότητα $\displaystyle{\kappa}$ είναι σταθερή πάνω στη σφαίρα. Έπειτα επειδή $\displaystyle{\boldsymbol{< \big( \gamma}(t) - ( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} ) \big) , \big( \gamma}(t) - ( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} ) \big) > = R^{2}}$ και με διαδοχικές παραγωγίσεις ως προς $\displaystyle{t}$ βρίσκουμε ότι η στρέψη της καμπύλης ισούται με $\displaystyle{\tau = 0}$ . Οπότε η καμπύλη $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ έχει σταθερή καμπυλότητα $\displaystyle{\kappa}$ και μηδενική στρέψη $\displaystyle{\tau = 0}$ παντού, άρα η καμπύλη $\displaystyle{\boldsymbol{\gamma}}$ είναι επίπεδος κύκλος.

Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Re: Σταθερή Γεωδαισιακή Καμπυλότητα σε Σφαίρα

Μέλη σε σύνδεση