Απόδειξη σχέσης διάταξης

nikolasuoi · #1

Έστω

ένα σύνολο και $\leq _{1}, \leq _{2}$ δύο σχέσεις διάταξης στο

. Ορίζουμε μια νέα σχέση $\leq$ στο

ως εξής:

$x\leq y \Leftrightarrow x\leq _{1}y$ και $x\leq _{2} y.$

Να δείξετε ότι η $\leq$ είναι επίσης σχέση διάταξης στο

.

#2

Φαντάζομαι εννοείς σχέση μερικής διάταξης (partial order).

Μπορείς να μας πεις τι έχεις κάνει μέχρι στιγμής και που δυσκολεύεσαι;

nikolasuoi · #3

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:09 pm
Φαντάζομαι εννοείς σχέση μερικής διάταξης (partial order).

Μπορείς να μας πεις τι έχεις κάνει μέχρι στιγμής και που δυσκολεύεσαι;

Εφόσον δεν διευκρινίζεται εάν είναι μερικής διάταξης, το παίρνω ως δεδομένο (μου δημιουργήθηκε όμως η απορία τι θα άλλαζε αν ζητούσε ολικής).

Για τυχόν $x \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι αυτοπαθείς, παίρνουμε: $x\leq _{1}x \wedge x\leq _{2}x\Rightarrow x\leq x$ (μήπως $\Leftrightarrow ;$ )
Άρα η $\leq$ είναι αυτοπαθής.

Για τυχόντα στοιχεία $x,y \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι αντισυμμετρικές, έχουμε: $x\leq y\Rightarrow x\leq _{1}y \wedge x\leq _{2}y\Rightarrow \sim \left ( y\nleqslant _{1}x\vee y\nleqslant _{2}x \right )\Rightarrow y\nleqslant _{1}x\wedge y\nleqslant _{2}x\Rightarrow y\nleqslant x.$
Άρα η $\leq$ είναι αντισυμμετρική.

Για τυχόντα στοιχεία $x,y,z \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι μεταβατικές, έχουμε: $x\leq y \wedge y\leq z\Rightarrow \left ( x\leq _{1}y \wedge x\leq _{2}y \right ) \wedge \left ( y\leq _{1}z \wedge y\leq _{2}z \right )\Rightarrow \left ( x\leq _{1}y \wedge y\leq _{1}z \right )\wedge \left ( x\leq _{2}y \wedge y\leq _{2}z \right )\Rightarrow$ $x\leq _{1}z\wedge x\leq _{2}z\Rightarrow x\leq z.$
Άρα η $\leq$ είναι μεταβατική.

Έτσι η $\leq$ είναι σχέση διάταξης.
Τώρα είμαι αρκετά σίγουρος, απλώς μόλις την είδα για κάποιο λόγο κόλλησα. Ευχαριστώ προκαταβολικά.

#4

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 11:43 pm

Για τυχόντα στοιχεία $x,y \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι αντισυμμετρικές, έχουμε: $x\leq y\Rightarrow x\leq _{1}y \wedge x\leq _{2}y\Rightarrow \sim \left ( y\nleqslant _{1}x\vee y\nleqslant _{2}x \right )\Rightarrow y\nleqslant _{1}x\wedge y\nleqslant _{2}x\Rightarrow y\nleqslant x.$
Άρα η $\leq$ είναι αντισυμμετρική.

Για δες το ξανά αυτό. Εκτός του ότι οι μισές συνεπαγωγές είναι εσφαλμένες, υπάρχει και πιο σοβαρό πρόβλημα: Δεν φαίνεται να γνωρίζεις τι θα πει αντισυμμετρική σχέση. Κοίτα τον σωστό ορισμό στα βιβλία σου και ξαναδοκίμασε. Εδώ είμαστε να σε βοηθήσουμε αν δεν βγάλεις άκρη, αν και το θέμα είναι τόσο απλό που δεν βλέπω πού θα κολλήσεις.

Κάτι ακόμα: Δεν φαίνεται να κατανόησες τι θέλει να σου πει ο Δημήτρης, παραπάνω. Θα επανέλθω σε αυτό, αλλά για να πάρουμε ένα ένα τα θέματα, το αφήνω για την ώρα.

nikolasuoi · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 12:18 am

nikolasuoi έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 28, 2019 11:43 pm

Για τυχόντα στοιχεία $x,y \in A$ και, επειδή οι $\leq _{1}, \leq _{2}$ είναι αντισυμμετρικές, έχουμε: $x\leq y\Rightarrow x\leq _{1}y \wedge x\leq _{2}y\Rightarrow \sim \left ( y\nleqslant _{1}x\vee y\nleqslant _{2}x \right )\Rightarrow y\nleqslant _{1}x\wedge y\nleqslant _{2}x\Rightarrow y\nleqslant x.$
Άρα η $\leq$ είναι αντισυμμετρική.

Για δες το ξανά αυτό. Εκτός του ότι οι μισές συνεπαγωγές είναι εσφαλμένες, υπάρχει και πιο σοβαρό πρόβλημα: Δεν φαίνεται να γνωρίζεις τι θα πει αντισυμμετρική σχέση. Κοίτα τον σωστό ορισμό στα βιβλία σου και ξαναδοκίμασε. Εδώ είμαστε να σε βοηθήσουμε αν δεν βγάλεις άκρη, αν και το θέμα είναι τόσο απλό που δεν βλέπω πού θα κολλήσεις.

Κάτι ακόμα: Δεν φαίνεται να κατανόησες τι θέλει να σου πει ο Δημήτρης, παραπάνω. Θα επανέλθω σε αυτό, αλλά για να πάρουμε ένα ένα τα θέματα, το αφήνω για την ώρα.

Μια σχέση $\sigma :E\rightarrow E$ λέγεται αντισυμμετρική αν ισχύει: $\left ( \forall x,y \in E \right ):x\sigma y \wedge y\sigma x\Rightarrow x=y.$
Αλλιώς, είναι αντισυμμετρική αν και μόνο αν για τυχόντα x,y

έχουμε: $\left ( x,y \right )\in \sigma \wedge x\neq y\Rightarrow \left ( y,x \right )\notin \sigma .$

#6

nikolasuoi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 12:46 am

Μια σχέση $\sigma :E\rightarrow E$ λέγεται αντισυμμετρική αν ισχύει: $\left ( \forall x,y \in E \right ):x\sigma y \wedge y\sigma x\Rightarrow x=y.$
Αλλιώς, είναι αντισυμμετρική αν και μόνο αν για τυχόντα έχουμε: $\left ( x,y \right )\in \sigma \wedge x\neq y\Rightarrow \left ( y,x \right )\notin \sigma .$

Σωστά. Όμως η απόδειξη που έκανες παραπάνω δεν έχει τίποτα τέτοιο. Για παράδειγμα πουθενά δεν μιλάς για $x\neq y$ , πράγμα απαραίτητο αν χρησιμοποιήσεις τον ισοδύναμο ορισμό που έγραψες.

nikolasuoi · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 1:05 am

nikolasuoi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 12:46 am

Μια σχέση $\sigma :E\rightarrow E$ λέγεται αντισυμμετρική αν ισχύει: $\left ( \forall x,y \in E \right ):x\sigma y \wedge y\sigma x\Rightarrow x=y.$
Αλλιώς, είναι αντισυμμετρική αν και μόνο αν για τυχόντα έχουμε: $\left ( x,y \right )\in \sigma \wedge x\neq y\Rightarrow \left ( y,x \right )\notin \sigma .$
Σωστά. Όμως η απόδειξη που έκανες παραπάνω δεν έχει τίποτα τέτοιο. Για παράδειγμα πουθενά δεν μιλάς για $x\neq y$ , πράγμα απαραίτητο αν χρησιμοποιήσεις τον ισοδύναμο ορισμό που έγραψες.

Δεν κατάλαβα, απλώς πρέπει να προσθέσω το $x\neq y$ ;

#8

nikolasuoi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 1:15 am
Δεν κατάλαβα, απλώς πρέπει να προσθέσω το $x\neq y$ ;

Όχι μόνο. Πρέπει η απόδειξη να είναι πλήρης και σωστή. Π.χ. δεν φτάνει να γραφτεί κάπου το $x\neq y$ αλλά να φανεί και η χρήση του. Υπόψη χωρίς αυτό, κάποιο βήμα της λύσης σου (δεν μπαίνω στην λεπτομέρεια) έχει κενό. Για να μην μπαίνω σε ατέρμονα διάλογο για απλούστατα θέματα, ας κάνω την απόδειξη της αντισυμμετρικής ιδιότητας για την $x\leq y$ , ισοδύναμα $\Leftrightarrow x\leq _{1}y\,$ και $x\leq _{2} y \, (*)$ . Η απόδειξη θα είναι από τον ορισμό της αντισυμμετρικότητας και όχι από την ισοδύναμη ιδιότητα που αναγράφεις.

'Εστω $x \leq y$ και $y \leq x$ . Από την πρώτη και την (*)

έπεται ότι ισχύει $x\leq _{1}y$ (ισχύει και $x\leq _{2} y$ αλλά δεν θα χρειαστεί η πληροφορία). Όμοια ισχύει $y\leq _{1}x$ . Από την αντισυμμετρικότητα της $\leq _{1}$ έπεται ότι x=y

, όπως θέλαμε.

Πιο απλά δεν γίνεται!

Να αλλάξω θέμα για να εξηγήσω τι προσπαθεί να σου πει ο Δημήτρης παραπάνω όταν γράφει

Demetres έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 27, 2019 10:09 pm
Φαντάζομαι εννοείς σχέση μερικής διάταξης (partial order).

.
Από την απάντησή σου

nikolasuoi έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 29, 2019 1:15 am
Εφόσον δεν διευκρινίζεται εάν είναι μερικής διάταξης, το παίρνω ως δεδομένο (μου δημιουργήθηκε όμως η απορία τι θα άλλαζε αν ζητούσε ολικής).

φαίνεται ότι έχασες το μήνυμα: Απλούστατα δεν ισχύει ότι η $\leq$ είναι ολική, ακόμα και αν οι $\leq _{1}, \, \leq _{2}$ είναι και οι δύο ολικές διατάξεις.

Παράδειγμα: Στο σύνολο $\{a,b,c\}$ τριών διακεκριμένων στοιχείων θέτουμε $a \leq _{1}b \leq _{1}c$ και $a\leq _{2} c\leq _{2}b$ . Και οι δύο είναι ολικές. Για την $\leq$ όμως δεν ισχύει ούτε η $b \leq c$ , ούτε η $c\leq b$ (άμεσο), δηλαδή η διάταξη αυτή δεν είναι ολική. (Υπόψη ισχύει $a\leq b, \, a\leq c$ ).

nikolasuoi · #9

Σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #10

Να σημειώσω το εξής.
Αν δούμε τις σχέσεις σαν υποσύνολα του $E\times E$
και τις ονομάσουμε $\sigma _{1},\sigma _{2}$
τότε η νέα σχέση είναι η $\sigma _{1}\cap \sigma _{2}$
που προφανώς είναι σχέση διάταξης μιας και λόγω της ανακλαστικής
είναι $\sigma _{1}\cap \sigma _{2}\neq \varnothing$

Απόδειξη σχέσης διάταξης

Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Re: Απόδειξη σχέσης διάταξης

Μέλη σε σύνδεση