Άθροισμα 31

china university · #1

Να αποδειχθεί ότι:
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}\dfrac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k-1)!}=n^2$

#2

Κατ' αρχάς έχουμε

$\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}\dfrac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k-1)!}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}(n-k)\binom{n+k}{2k}\binom{2k}{k}=\sum_{k\geq0}(-1)^{n-k-1}(n-k)\binom{n+k}{2k}\binom{2k}{k}:=nA_n-B_n}$ αφού το άθροισμα ισούται με

για $n\geq k$ .

Γράφουμε δηλαδή το $\displaystyle{\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}(n-k)\binom{n+k}{2k}\binom{2k}{k}}$ σα σειρά, και ο λόγος φαίνεται παρακάτω.

Χρησιμοποιούμε ότι (και αυτός είναι ο λόγος που γράψαμε σα σειρά το δοθέν πεπερασμένο άθροισμα)

$\displaystyle{\sum_{k\geq0}(-1)^{k-1}\binom{2k}{k}z^k=(4z+1)^{-1/2},\qquad |z|<1/4\hspace{10ex}(1)}$ και

$\displaystyle{\sum_{k\geq0}(-1)^{k-1}\binom{2k}{k}z^k=2z(4z+1)^{-3/2},\qquad |z|<1/4\hspace{10ex}(2)}$ .

Τώρα για κατάλληλο κύκλο

με κέντρο την αρχή των αξόνων ώστε να έχουμε $\displaystyle{\left|{\frac{z+1}{z^2}\right|<\rho}$ για κάποιο $\rho<1/4$ ,(συνεπώς και ομοιόμορφη σύγκλιση στις (1)

και

για $\displaystyle{\frac{z+1}{z^2}}$ στη θέση του

) έχουμε

$\begin{aligned}A_n&=\sum_{k\geq0}(-1)^{n-k-1}\int_R\frac{(z+1)^{n+k}}{z^{2k}}\binom{2k}{k}\stackrel{*}{=}(-1)^n\int_R\frac{(z+1)^n}{z}\sum_{k\geq0}(-1)^{k+1}\left(\frac{z+1}{z^2}\right)\binom{2k}{k}\\&\stackrel{(1)}{=}(-1)^{n+1}\int_R\frac{(z+1)^n}{z+2}\end{aligned}$ .

Τώρα επειδή η $\displaystyle{\frac{(z+1)^n}{z+2}}$ πόλο πρώτης τάξης στο

, από το Θεώρημα των υπολοίπων το τελευταίο ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{\lim_{z\to-2}\frac{1}{(1-1)!}\frac{d^{1-1}}{dz^{1-1}}\left((z+2)\frac{(z+1)^n}{z+2}\right)=(-1)^n}$ , άρα $\displaystyle{A_n=-1}$ .

(*) Η εναλλαγή αθροίσματος ολοκληρώματος δικαιολογείται λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης.

Εντελώς όμοια, και χρησιμοποιώντας τη (2)

αυτή τη φορά, παίρνουμε ότι B_n=n(n+1)

, από όπου παίρνουμε και το ζητούμενο.

Η τεχνική γραφής των πεπερασμένων αθροισμάτων σα σειρές για να εκμεταλλευτεί κανείς μετά κάποιο γνωστό ανάπτυγμα Taylor είναι κλασική στα προβλήματα με ταυτότητες συνδυαστικής.

china university · #3

哈哈非常感谢您的精彩解答，其实我也很想和你们交流，但是我不会希腊文，你也懂中文啦，太高兴了.
Μετάφραση: Σας ευχαριστώ πολύ για τις θαυμάσιες απαντήσεις σας. Θα ήθελα να να επικοινωνήσω μαζί σας, αλλά δεν είμαι Έλληνας. Είμαι πάρα πολύ ευχαριστημένος που καταλαβαίνετε Κινέζους φίλους.

or you can see:http://math.stackexchange.com/questions ... cnkk2n-k-1
Μετάφραση: ή μπορείς να δεις:http://math.stackexchange.com/questions ... cnkk2n-k-1

Άθροισμα 31

Άθροισμα 31

Re: Άθροισμα 31

Re: Άθροισμα 31

Μέλη σε σύνδεση