Γουστόζικες!

[APOSTOLAKIS]

(α). Να βρεθούν οι αριθμητικές πρόοδοι για τις οποίες το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε ν φυσικό αριθμό, είναι τέλειο τετράγωνο.
(β). Ποια είναι η αριθμητική πρόοδος της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των όρων της.

[Mihalis_Lambrou]

(α). Να βρεθούν οι αριθμητικές πρόοδοι για τις οποίες το άθροισμα των ν πρώτων όρων, για κάθε ν φυσικό αριθμό, είναι τέλειο τετράγωνο.
(β). Ποια είναι η αριθμητική πρόοδος της οποίας το άθροισμα των ν πρώτων όρων της είναι ίσο με το τετράγωνο του πλήθους των όρων της.

Βιαστικά γιατί πρέπει να φύγω από τον υπολογιστή (και δεν έχω σύνδεση ιντερνετ από το σπίτι μου, για να συνεχίσω):

Και στις δύο περιπτώσεις η απάντηση είναι 1, 3, 5, 7, ... (με την προσθήκη ότι
στην πρώτη περίπτωση είναι, γενικότερα, πολλαπλάσιο αυτής της προόδου επί σταθερό τέλειο τετράγωνο).

Το (β) είναι απλό (ισχύει 2α + (ν-1)δ = 2ν για κάθε ν, οπότε α=1, δ=2), αλλά το (α) θέλει κάπως περισσότερη δουλειά.

Ας προσθέσω ότι η ιδιότητα της 1, 3, 5, ... να αθροίζεται σε τέλειο τετράγωνο ήταν γνωστό στους αρχαίους Πυθαγορείους. Η χαριτωμένη αυτή άσκηση λέει ότι, ουσιαστικά, δεν υπάρχει άλλο αντίστοιχο παράδειγμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[APOSTOLAKIS]

Για το (β) είναι όντως αυτή και γι' αυτό που γράψατε το έβαλα αυτό το ερώτημα για το (α) ερώτημα έχω αμφιβολίες.

[Mihalis_Lambrou]

για το (α) ερώτημα έχω αμφιβολίες.

Ας δούμε λοιπόν απόδειξη του (α).

Εξ υποθέσεως, για κάθε n είναι (2a + (n-1)d)n/2 = τέλειο τετράγωνο =
(όπου το Τ εξαρτάται από το n). Άρα .
Εφαρμόζοντας αυτό στην περίπτωση n = περιττός πρώτος
έπεται από τις ιδιότητες των πρώτων αριθμών ότι υπάρχει τέλειο τετράγωνο τέτοιο ώστε

Άρα n διαιρεί τον 2a-d. Αλλά n τυχαίος περιττός πρώτος. Συνεπώς 2a-d = 0, ή d = 2a.

Άρα η αριθμητική πρόοδος a, a+d, a+2d, a+3d, ... είναι της μορφής
α, 3α, 5α, 7α, ...

Τέλος ο α είναι τέλειο τετράγωνο (είναι η περίπτωση n = 1 της αρχικής υπόθεσης).
Γράφοντας α = β^2 βλέπουμε ότι οι όροι της προόδου μας είναι β^2 φορές τους
1, 3, 5, 7, ... , όπως θέλαμε να δείξουμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

Υστερόγραφο:

Με βάση τα παραπάνω (ίδια λύση), να μία ωραία ασκησούλα Θεωρίας Αριθμών:
Αν τέλειο τετράγωνο για κάθε n, όπου ,
τότε a = τέλειο τετράγωνο και b = 0.

[APOSTOLAKIS]

κ. Λάμπρου θα μπορούσαμε να πάμε και με Διακρίνουσα Δ=0;

[Mihalis_Lambrou]

θα μπορούσαμε να πάμε και με Διακρίνουσα Δ=0;

Όχι, νομίζω πως δεν μπορούμε με διακρίνουσα.

Η αιτία είναι ότι η ζητούμενη γράφεται .
Αυτή μόνο φαινομενικά είναι δευτεροβάθμια ως προς n. Στην πραγματικότητα υπάρχει n
και μέσα στο Τ, οπότε δεν εφαρμόζεται η σχετική θεωρία.

Ελπίζω να βοήθησα.

Φιλικά

Μιχάλης.

[APOSTOLAKIS]

Συγνώμη κ. Λάμπρου δεν αναφέρομαι στο τριώνυμο: n^2 + (2a-d)n - 2T^2=0, αλλά στη παράσταση η^2+(2a-d)n.
Δηλαδή, για να είναι τετράγωνο αρκεί Δ=0 ή (2a-d)^2-4.1.0=0 ...

[Mihalis_Lambrou]

Συγνώμη κ. Λάμπρου δεν αναφέρομαι στο τριώνυμο: n^2 + (2a-d)n - 2T^2=0, αλλά στη παράσταση η^2+(2a-d)n.
Δηλαδή, για να είναι τετράγωνο αρκεί Δ=0 ή (2a-d)^2-4.1.0=0 ...

Και πάλι δεν μπορούμε να πούμε "αρκεί Δ = 0".

Ο λόγος είναι ο εξής: Όταν λέμε "το είναι τέλειο τετράγωνο αν και μόνον αν Δ=0" εννοούμε, ακριβέστερα, ότι το τριώνυμο αυτό είναι της μορφής
. Δηλαδή τετράγωνο μονωνύμου.

Στην άσκηση όμως ζητάμε το να είναι τετράγωνο αριθμού. Ο αριθμός αυτός δεν είναι σαφές ότι προκύπτει από μονώνυμο. Π.χ. ποιός μας λέει οτι δεν είναι (τάδε αν n άρτιος και (κάτι άλλο αν n περιττός; Ή, ακόμα χειρότερα, να είναι τέλειο τετράγωνο παράστασης που δεν είναι μονώνυμο, αλλά κάτι σαν (ακέραιο μέρος τριγωνομετρικού;

Φιλικά,

Μιχάλης.

[APOSTOLAKIS]

Σας ευχαριστώ πολύ για το χρόνο που ξοδέψατε για να μου απαντήσετε.