Ακέραια ρίζα

A.Spyridakis · #1

Βρήκα κάτι παλιές σελίδες από βιβλίο του Ζουρνά, ο οποίος έχει εξαιρετικές ασκήσεις. Θα στείλω μερικές, αρχίζοντας με αυτήν εδώ:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\colorbox{yellow}{\boxed{{\color{red}x(x+1)(x+2)(x+3)=n^2, \ n \in \mathbb{N}}}}}}$ , δεν έχει ακέραια ρίζα.

Ok Θάνο (και Ανδρέα), ας προσθέσουμε: $n \ne 0$

#2

A.Spyridakis έγραψε:Βρήκα κάτι παλιές σελίδες από βιβλίο του Ζουρνά, ο οποίος έχει εξαιρετικές ασκήσεις. Θα στείλω μερικές, αρχίζοντας με αυτήν εδώ:

Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση $\colorbox{yellow}{\boxed{{\color{red}x(x+1)(x+2)(x+3)=n^2, \ n \in \mathbb{N}}}}}}$ , δεν έχει ακέραια ρίζα.

Εφόσον το $\displaystyle{0 }$ δε θεωρείται φυσικός, όντως έτσι είναι.

Έχουμε

$\displaystyle{x(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x)(x^2+3x+2)=a(a+2)=(a+1)^2-1,}$ όπου $\displaystyle{a=x^2+3x \in \mathbb{Z}.}$

Η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(a+1)^2-n^2=1 \Leftrightarrow (a+1-n)(a+1+n)=1}$

και από αυτήν προκύπτει πως

$\displaystyle{a+1+n=a+1-n=1}$ ή $\displaystyle{a+1+n=a+1-n=-1}$ ,

οπότε σε κάθε περίπτωση $\displaystyle{n=0,}$ άτοπο.

#3

Αλλιώς:

Δεν κάνω τις πράξεις γιατί είναι οι ίδιες με του Θάνου. Πριν τα βήματα, η ακόλουθη άσκηση είναι πολύ ωραία για Α΄ Λυκείου.

Δείξτε ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων αυξημένο κατά 1 είναι τέλειο τετράγωνο.

Προσκαλώ τους μαθητές μας να το κοιτάξουν

Λύση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Με αυτό ως δεδομένο, η παραπάνω άσκηση λύνεται ως εξής

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μ.

Ακέραια ρίζα

Ακέραια ρίζα

Re: Ακέραια ρίζα

Re: Ακέραια ρίζα

Μέλη σε σύνδεση