Βασική θεωρία αριθμών!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 41 δημοσιεύσεις

socrates: Επιμελητής; Δημοσιεύσεις: 6595; Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm; Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη; Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Ιστοσελίδα Facebook

Re: Βασική θεωρία αριθμών!

Παράθεση

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Φεβ 15, 2014 8:31 pm

jim.jt έγραψε:
socrates έγραψε:
socrates έγραψε:13η)
Έστω $n \geq 1$ ένας ακέραιος.
Βρείτε τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης $7 \cdot 4^n= a^2+ b^2+ c^2+ d^2.$

Υπόδειξη: οι είναι άρτιοι.

socrates έγραψε:14η)
Προσδιορίστε όλους τους αριθμούς για τους οποίους υπάρχει φυσικός αριθμός , τέτοιος ώστε ο αριθμός να τελειώνει σε ακριβώς μηδενικά.
Υπόδειξη: αν ο αριθμός λήγει σε τουλάχιστον τρία μηδενικά τότε διαιρείται με το 8.
Λοιπόν, η άσκηση 14, μετά την υπόδειξη είναι προφανής, αφού ή , αν , αλλιώς θα έπρεπε $1^n+3^n\equiv 0 \pmod8$ , άτοπο.

Έτσι μπορούμε να έχουμε , που πιάνεται για τις τιμές αντίστοιχα.

Για την 13:

Αν $n\geq 2$ , τότε άρτιοι, γιατί όλοι οι περιττοί είναι ισοϋπόλοιποι με $1 \pmod8$ και με δοκιμές οδηγούμαστε σε άτοπο.

Έτσι η σχέση γίνεται $7\cdot 4^{n-1}=a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2$ .

Η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί μέχρι ο εκθέτης του να γίνει .

Έτσι τότε έχουμε τις λύσεις $(n,a,b,c,d)=(i+1,2^i\cdot 5,2^i,2^i,2^i),(3i+1,2^i\cdot 3,2^i\cdot 3,2^i\cdot 3,2^i)$ και τις μεταθέσεις των .