Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

paulgai · #1

Να δείξετε ότι για a>1

ισχύει:

$\displaystyle \int_{0}^{\infty }\frac{x^{a-1}}{e^{x}-1}dx=\Gamma (a)\zeta (a)$
όπου $\Gamma (x)= \displaystyle\int_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt$ και $\zeta(x)= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{x}}$

#2

Όμορφο

#3

Σεραφείμ, προσοχή.

Για να είναι απολύτως πλήρης η λύση, δεδομένου ότι η άσκηση έχει τεθεί σε συζήτηση στην θεματολογία "Α.Ε.Ι.", πρέπει να προστεθεί κάτι ακόμη.
Εννοοώ το εξής: Η άσκηση έχει δύο στάδια
(α) το ανάπτυγμα του δυωνύμου $(1-e^{-x})^{-1}$ και ολοκλήρωση
όρο προς όρο
(β) την εναλλαγή αθροίσματος και ολοκλήρωσης.

Το (α) είναι απλό. Όμως η δυσκολία είναι στο (β). Εδώ χρειάζεται εξήγηση, διότι τα ολοκληρώματα είναι καταχρηστικά και το άθροισμα έχει άπειρους όρους.

Είναι αλήθεια ότι το βήμα που λείπει είναι σωστό (η σύγκλιση αποδεικνύεται ομοιόμορφη) αλλά εκεί είναι το "δύσκολο" τμήμα της άσκησης.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#4

Καλησπέρα σ' όλα τα μέλη της μικρής μας κοινότητας.

Γνωρίζω Μιχάλη ότι τα δύο σημεία που πολύ σωστά ανέφερες θέλουν αιτιολόγηση, ιδίως το δεύτερο .. απλά διαπίστωσα ότι πολλά μέλη δίνουν συνοπτικές λύσεις, εντοπίζοντας ίσως τα σημεία που .. πονάνε.

paulgai · #5

H παραπάνω λύση είναι σωστή όπως φυσικά και η παρατήρηση του Κ. Λάμπρου.
Συγκεκριμένα ισχύει το παρακάτω θεώρημα το οποίο αποδεικνύεται με την
βοήθεια του θεωρήματος κυρίαρχης σύγκλησης.

Θεώρημα
Έστω ακολουθία $\{f_{n}\}$ συναρτήσεων $L^{1}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\displaystyle\int \left | f_{n} \right |< \infty$ .
Τότε η $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}$ συγκλίνει σχεδόν παντού (μετροθεωρητικά) σε μία συνάρτηση του $L^{1}$ και
$\displaystyle\int \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }f_{n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty }\displaystyle\int f_{n}$ .

Στο παράδειγμά μας είναι $f_{n}=x^{a-1}e^{-nx}$ και $\displaystyle\int \left |f_{n} \right |=\displaystyle\frac{1}{n^{a}}\Gamma (a)$
άρα με δεδομένο ότι η $\zeta$ συγκλίνει για κάθε a>1

αρκεί να δείξουμε ότι $\Gamma(a)<\infty$ .
Αυτό πράγματι ισχύει, αρκεί να σπάσουμε το ολοκλήρωμα της $\Gamma$ σε δύο ολοκληρώματα
στα διαστήματα [0,1]

και $[1,+\infty)$ και να τα φράξουμε
με πολλαπλάσια των $\displaystyle\int_{0}^{1}x^{a-1}dx$ και $\displaystyle\int_{1}^{\infty}e^{-x^{2}/2}dt$ που είναι φραγμένα.

Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Re: Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Re: Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Re: Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Re: Ολοκλήρωμα με αποτέλεσμα Γ (Gamma) και ζ (zeta) συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση