Εξίσωση στους φυσικούς

#1

Δίνεται η εξίσωση x (x +1) = pq (x - y ),

όπου

πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους.

Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες $(x,y)\in{ \mathbb{N}^*}^2,$ στις οποίες το

είναι κοινό.

#2

Επαναφορά...

#3

Έστω

στους θετικούς ακεραίους ώστε x (x +1) = pq (x - y ),

όπου

πρώτοι, διαφορετικοί μεταξύ τους.

Τότε οι p,q

διαιρούν ο ένας το

και ο άλλος το x +1.

Πράγματι αν x=apq

όπου

θετικός ακέραιος τότε $a\left(x+1 \right)=x-y$ οπότε $x+1\leq a\left(x+1 \right)=x-y<x$ , άτοπο.
Αν x+1=apq

τότε έχουμε πάλι άτοπο αφού $x\leq ax=x-y<x.$

Υπάρχουν επομένως δύο περιπτώσεις.

Περίπτωση 1η x=ap

και

όπου οι

θετικοί ακέραιοι. Τότε ab=x-y.

Επομένως $y=a\left(p-b \right).$ Άρα p>b>0.

(1)
Ακόμα bq-ap=1.

(2) Έτσι η επίλυση της αρχικής διοφαντικής εξίσωσης, σε αυτή την περίπτωση, ανάγεται στην εύρεση θετικών ακεραίων a,b

ώστε να ισχύουν οι (1),(2).
Οι p,q

είναι διαφορετικοί πρώτοι, άρα πρώτοι μεταξύ τους. Επομένως υπάρχει ένα ζεύγος (a_0,b_0)

ώστε να ισχύει η (2). Υπάρχουν άπειρα ζεύγη $\left( a,b\right)$ ώστε να ισχύει η (2) που προκύπτουν από τους τύπους a=a_0+kq

και

όπου ο

είναι ακέραιος.
Για να ισχύει η (1) θα πρέπει $\displaystyle{1-\frac{b_0}{p}>k>-\frac{b_0}{p}}.$ Υπάρχει ακριβώς ένας ακέραιος που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση.

Περίπτωση 2η x+1=kp

και

όπου οι

θετικοί ακέραιοι. Τότε km=x-y.

Επομένως $y=m\left(q-k \right).$ Άρα q>k>0.

(1) Όπως στην περίπτωση (1) υπάρχει ακριβώς μία λύση της μορφής αυτής.

Έχουμε λοιπόν ακριβώς 2 λύσεις:
Η μία λύση $\left(ap,a\left(p-b \right) \right)$ με p>b>0

και

Επιπλέον

Η δεύτερη λύση $\left(mq,m\left(q-k \right) \right)$ με q>k>0

και

Ακόμα
Άρα bq-ap=kp-mq=1

οπότε $\left(b+m \right)q=p\left(a+k \right)$ . Άρα $q/\left( a+k\right)$ .
Είναι a+k<2q

. Άρα

οπότε

Άρα

Εξίσωση στους φυσικούς

Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Re: Εξίσωση στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση