Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

mathxl · #1

Την άσκηση αυτή την είδα από εξωσχολικό βοήθημα

Έστω μια συνάρτηση $f:R \to R$ για την οποία ισχύουν f(0)=0 και f΄(χ)<2χ-συνχ, για κάθε χ ανήκει R

i. Να δείξετε ότι $f(x)>x^2 -\eta \mu x$ για κάθε x<0
ii. Να λύσετε την εξίσωση $f(x)=x^2 -\eta \mu x$ ,
ιιι. Να βρείτε το $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)$ ( το χ τείνει στο -άπειρο)

Το 3ο υποερώτημα το έχω λύσει χρησιμοποιώντας 2 βοηθητικές συναρτήσεις, κριτήριο παρεμβολής, εγκλωβίζοντας την $\frac{1}{{f\left( x \right)}}$

Θα ήθελα μια βοήθεια στην λύση του συγκεκριμένου υποερωτήματος
Κάτι πο συμμαζεμένο...πιο κομψό
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για την λύση που έχω κάνει, θα την ανεβάσω, αν και δεν μου αρέσει.

#2

mathxl έγραψε:Την άσκηση αυτή την είδα από εξωσχολικό βοήθημα

Έστω μια συνάρτηση f:R $\displaystyle{ \to }$ R για την οποία ισχύουν f(0)=0 και f΄(χ)<2χ-συνχ, για κάθε χ ανήκει R

i. Να δείξετε ότι f(x)> $\displaystyle{x^2 }$ -ημx για κάθε x<0
ii. Να λύσετε την εξίσωση f(x)= $\displaystyle{x^2 }$ -ημx,
ιιι. Να βρείτε το $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right)}$ ( το χ τείνει στο -άπειρο)

Το 3ο υποερώτημα το έχω λύσει χρησιμοποιώντας 2 βοηθητικές συναρτήσεις, κριτήριο παρεμβολής, εγκλωβίζοντας την $\displaystyle{\frac{1}{{f\left( x \right)}}}$

Θα ήθελα μια βοήθεια στην λύση του συγκεκριμένου υποερωτήματος
Κάτι πο συμμαζεμένο...πιο κομψό
Αν κάποιος ενδιαφέρεται για την λύση που έχω κάνει, θα την ανεβάσω, αν και δεν μου αρέσει.

Όσο πιο κοντά στο σχολικό βιβλίο θέλεις να βρίσκεται η λύση σου , τόσο πιο πολύ θα ανοιχτείς. Θα αρκούσε να βγάλεις το χ '' κοινό παράγοντα '' από τη μικρή συνάρτηση και αφού η παρένθεση τείνει στο +άπειρο , από γενικευμένο κριτήριο παρεμβολής για άπειρα όρια(κριτήριο σύγκρισης) , το όριο είναι + άπειρο. Επειδή όμως αυτό το κριτήριο δεν αναφέρεται με σαφήνεια στο σχολικό, αναγκαζόμαστε να κανουμε αυτό που λες: αντιστρέφουμε κλπ. Όμως , στις εξετάσεις , '' ....η σύγκριση και ...αφού η μικρή πάει στο + άπειρο , πάει και η μεγάλη '' θα εκληφθεί σωστή. Άντε το πολύ καποιος πιο ..δογματικός να κοψει ένα μόριο , αλλά γενικά θα δοθούν όλα τα μόρια. Εκτός βέβαια και αν η επιτροπή ΚΕΓΕ δώσει σαφή κατεύθυνση με τη λύση της ότι η παραπάνω λύση είναι ελειπής, οπότε τα πράγματα αλλάζουν λίγο.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ :
Δείχνουμε στο μάθημα όλη τη διαδικασία και σημειώνουμε ότι αν ξεχάσουν τη διαδικασία αυτή, μόλις αποδείξουν ότι η μικρή απειρίζεται να πουν απευθείας ότι και η μεγάλη απειρίζεται.
Νομίζω ότι και το κλίμα αποφορτίζουμε έτσι με αυτό τον τρόπο, ( διότι οι μαθητές θα σου πουν: '' κύριε ,που να το σκεφτούμε αυτό το κόλπο; '' ) , αλλά και το μαθητή τον εφοδιάζουμε με βασική γνώση που θα του χαρίσει το σύνολο σχεδόν των μονάδων σε πιθανό παρόμοιο ερώτημα, χωρίς να γεμίσουμε τη μνήμη του με πολλές λεπτομέρειες.

Θα κοιτάξω μήπως βρω και κάτι καλύτερο, αλλά θυμάμαι πως όταν έγραφα το Γ1, σε αυτόν τον τρόπο είχα καταλήξει(δεν τον είχα δει μέχρι εκείνη τη στιγμή σε άλλα βιβλία, δεν αποκλείω όμως και άλλοι συνάδελφοι έτσι να το έλυναν(ελπίζω να μιλάμε για τον ίδιο πράγμα)).
Μπάμπης

mathxl · #3

Μπάμπη ευχαριστώ για την άπάντηση σου.
Τα βοηθήματα σου τα έχω (μπλε πράσινο βυσσινί) όπως και τα καινούργια σου ( τα χοντρούλικα Γ1 - Γ2

)
Είσαι " ενεργός" μαθηματικός και δεν έχεις "καθίσει" , με συνεχώς εμπλουτισμένα ενημερωμένα και ανανεωμένα θέματα (ξένη βιβλιογραφία - διαγωνισμοί - περιοδικά κτλ)
Βασικότατοι λόγοι για μένα ώστε να σε εκτιμώ ως μαθηματικό. Κάτι ακόμη που θέλω να αναφέρω είναι και το ήθος του ηλεκτρονικού γραπτού σου λόγου το οποίο νομίζω ότι ξεχωρίζει ολονών...

Επί του θέματος

η λύση μου είναι η παρακάτω
Εύκολα $\displaystyle{\frac{{d\left( {f\left( x \right) - x^2 + \eta \mu x} \right)}}{{dx}} < 0}$ ορίζουμε την $\displaystyle{g\left( x \right) = f\left( x \right) - x^2 + \eta \mu x,x \in R}$ η οποία είναι γνησίως φθίνουσα μιας και η παράγωγος είναι αρνητική για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό χ

ι.
για χ<0 είναι $\displaystyle{g\left( x \right) > g\left( 0 \right)}$ από προκύπτει $\displaystyle{f\left( x \right) > x^2 - \eta \mu x}$

ιι.
Η g είναι 1-1 ωσ γνησίως μονότονη και το 0 προφανής λύση της $\displaystyle{g(x) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = x^2 - \eta \mu x}$ άρα η χ=0 μοναδική λύση της παραπάνω εξίσωσης.

ιιι.
Έστω $\displaystyle{h\left( x \right) = x^2 - \eta \mu x,x \le 0}$
Είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x^2 \left( {1 - \frac{1}{{x^2 }}\eta \mu x} \right)} \right] = + \infty \left( {1 - 0} \right) = + \infty }$ άρα η h(x)>0 κοντά στο πλην άπειρο.

Συνοψίζοντας δείξαμε ότι για πάρα πολύ μικρά χ κοντά στο πλην άπειρο ισχύει :
f(x) > h(x) από το (ι) και
h(x) > 0
Εύκολα παίρνουμε ότι f(x) > h(x) > 0 απόπου $\displaystyle{0 < \frac{1}{{f\left( x \right)}} < \frac{1}{{h\left( x \right)}}}$ . Με κριτήριο παρεμβολής είναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{f\left( x \right)}} = 0}$

Τέλος έχουμε $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{\frac{1}{{f\left( x \right)}}}}\mathop = \limits^{\frac{1}{{f\left( x \right)}} > 0} + \infty }$

Ογκώδης λύση και δεν με αρέσει.

Θα μου άρεσε αυτό που λες εσύ ( εάν κατάλαβα καλά) επειδή
$\displaystyle{f\left( x \right) > x^2 - \eta \mu x,x < 0}$
και
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x^2 - \eta \mu x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x^2 \left( {1 - \frac{1}{x^2 }\eta \mu x} \right)} \right] = + \infty \left( {1 - 0} \right) = + \infty }$
θάναι $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty }$
αλλά πως μπορούμε να το δικαιολογήσουμε με θεωρία εντός σχ. ύλης;;!!!

#4

Για το iii) ερώτημα, δεν μπορούμε να πούμε ότι
για |x| > 2 είναι
$x^2 - sinx \ge x^2 - 1 > \frac {1}{2}x^2$ ;

Μιχάλης

mathxl · #5

Μιχάλη,
δεν βλέπω πρόβλημα σε αυτό που γράφεις αλλά δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό σου. Μπορείς να τον αναλύσεις περισσότερο;;
Στο ιιι υποερώτημα θέλουμε όριο στο -00.

#6

mathxl έγραψε:Μιχάλη,
δεν βλέπω πρόβλημα σε αυτό που γράφεις αλλά δεν καταλαβαίνω τον συλλογισμό σου. Μπορείς να τον αναλύσεις περισσότερο;;
Στο ιιι υποερώτημα θέλουμε όριο στο -00.

Έπρεπε να έγραφα " για μεγάλα κατά απόλυτη τιμή x ισχύει ...".
Τώρα διόρθωσα το αρχικό κείμενο.

Εννοώ λοιπόν: Αν x τείνει στο $- \infty$ , μπορούμε να θεωρήσουμε

x < -2. Αλλά τότε ισχύει

$x^2-sinx \ge x^2-1 \ge \frac{1}{2} x^2$

και το δεξί μέλος τείνει στο $+ \infty$ . Από ισοσυγκλίνουσες

$\lim_{x\rightarrow - \infty}\left(x^2-sinx \right) = \lim_{x\rightarrow - \infty}\left( \frac{1}{2} x^2 \right)= +\infty$

Φιλικά,

Μιχάλης.

mathxl · #7

Καλημέρα

Μιχάλη από αυτό που γράφεις υπολογίζουμε με ΚΠ το όριο της χ^2 - 1 σύμφωνα με την εξεταστέα θεωρίατης Γ λυκείου
Εκτός εάν δεν βλέπω κάτι...

Στο σχ. βιβλίο λέει ότι
1)εάν οι συαρτήσεις φ(χ) και η(χ) έχουν όρια στο χο ή στο άπειρο και
2) φ(χ) =< η(χ) κοντά στο χο ή στο άπειρο (η σχέση λειτουργεί για το θεώρημα και όταν ισχύει μόνο το < )
τότε
λιμ(φ(χ))=< λιμ η(χ)

Βάσει αυτού του θεωρήματος η σύντομη λύση έχει πρόβλημα στην πορυπόθεση (1) ( ο μαθητής μπορεί να πει , και πως ξέρουμε κύριε ότι η φ έχει όριο;;;) εξού και η άλλη ογκώδης λύση
Μπορούμε να λύσουμε το (ιιι) κάπως αλλιώς;;;

Ώρα για καφέ!

#8

mathxl έγραψε:Καλημέρα

Μιχάλη από αυτό που γράφεις υπολογίζουμε με ΚΠ το όριο της χ^2 - 1 σύμφωνα με την εξεταστέα θεωρίατης Γ λυκείου
Εκτός εάν δεν βλέπω κάτι...

Στο σχ. βιβλίο λέει ότι
1)εάν οι συαρτήσεις φ(χ) και η(χ) έχουν όρια στο χο ή στο άπειρο και
2) φ(χ) =< η(χ) κοντά στο χο ή στο άπειρο (η σχέση λειτουργεί για το θεώρημα και όταν ισχύει μόνο το < )
τότε
λιμ(φ(χ))=< λιμ η(χ)

Βάσει αυτού του θεωρήματος η σύντομη λύση έχει πρόβλημα στην πορυπόθεση (1) ( ο μαθητής μπορεί να πει , και πως ξέρουμε κύριε ότι η φ έχει όριο;;;) εξού και η άλλη ογκώδης λύση
Μπορούμε να λύσουμε το (ιιι) κάπως αλλιώς;;;

Ώρα για καφέ!

Γεια και από μένα.

Στην απάντησή μου δεν χρησιμοποιώ το παραπάνω θεώρημα αλλά τον ορισμό του ορίου στο άπειρο (σελίς 177 του βιβλίου). Με άλλα λόγια, ειδικά όταν το όριο της μικρής συνάρτησης (της φ) είναι το $+\infty$ , τότε και της μεγάλης (της η) είναι (πόσο μάλλον) επίσης $+\infty$ .
Αυτό είναι προφανές από τον ορισμό, αφού για κάθε Μ (και κατάλληλα χ) ισχύει
φ(χ) > Μ τότε, για τα ίδια χ, είναι η(χ) > Μ.

Ελπίζω να βοήθησα.

Μιχάλης.

ΥΓ

Στο μηνυμά σου γράφεις Ώρα για καφέ! .
Αχ mathxl ! Τί είναι ο καφές; Ξέχασα!

mathxl · #9

Μιχάλη
με τον ορισμό στην σελίδα 177 βγαίνει το ιιι όμορφα όπως το είπες, αλλά δυστυχώς είναι εκτός διδακτέας-εξεταστέας ύλης (ο ορισμός φέρει αστερίσκο)

Γιαυτό καταφεύγω σε αυτό τον ογκώδη τρόπο λύσης

Προσωπικά εάν κάποιος μαθητής γράψει τον σύντομο τρόπο λύσης δεν θα του κόψω μόρια αλλά σύμφωνα με την εντός ύλης θεωρία ο τρόπος αυτός λίγο "μπάζει"

Αυτό που με ενδιαφέρει είναι εάν κάποιος έχει κατά νου, άλλον τρόπο, πιο σύντομο(εντός ύλης)

Όσο για τον καφέ, συνηθίζω κάθε Σάββατο πρωί να βγαίνω με την γυναίκα μου έξω για καφέ

#10

mathxl έγραψε:Μιχάλη
με τον ορισμό στην σελίδα 177 βγαίνει το ιιι όμορφα όπως το είπες, αλλά δυστυχώς είναι εκτός διδακτέας-εξεταστέας ύλης (ο ορισμός φέρει αστερίσκο)

Γιαυτό καταφεύγω σε αυτό τον ογκώδη τρόπο λύσης

Προσωπικά εάν κάποιος μαθητής γράψει τον σύντομο τρόπο λύσης δεν θα του κόψω μόρια αλλά σύμφωνα με την εντός ύλης θεωρία ο τρόπος αυτός λίγο "μπάζει"

Αυτό που με ενδιαφέρει είναι εάν κάποιος έχει κατά νου, άλλον τρόπο, πιο σύντομο(εντός ύλης)

Χμμμμ.

Ίσως με το ακόλουθο, σώζεται η κατάσταση:

Μπορούμε και με ισοσυγκλίνουσες από τις ανισώσεις (για χ < -2)

$\frac{1}{2}x^2 \le x^2 - sinx \le 2x^2$

Τώρα οι δύο ακριανές συγκλίνουν στο $+ \infty$ ως πολυώνυμα.

Σωστά; Δεν ήξερα ότι οι παράγραφοι του Σχολικού με * εξαιρούνται (εδώ που τα λέμε, ούτε που το ... είδα).

Πάντως, κατά βάθος, θλίβομαι που οι φωστήρες του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου έχουν στην ύλη ιδιότητες και θεωρήματα για μία έννοια που δεν ορίζουν.
Τι τους μάρανε να αφήσουν έξω από το αναλυτικό πρόγραμμα τα απειριζόμενα όρια; Τι θέλουμε, να μαθαίνουν οι μαθητές τυφλές συνταγές από τις "αυθεντίες", ή να κάνουμε σωστά (και ευχάριστα) Μαθηματικά;

Μιχάλης

mathxl · #11

Καλησπέρα
Μιχάλη νομίζω κατάλαβα γιατί δεν μπορώ να σε καταλάβω...

το πρόβλημα δεν είναι στον υπολογισμό του ορίου χ^2 - ημχ μιας και δεν είναι ο τύπος της φ
Πρόσεξε σε παρακαλώ όλο το ποστ από την αρχή και θα καταλάβεις τι εννοώ.
Τώρα πάω για ουίσκυ

Ευχαριστώ πάντως για τισ απαντήσεις σου!

mathxl · #12

Άκυρο το ουίσκυ....

Η γυναίκα δεν έχει κέφια....

Για να συνεχίσω, το πρόβλημα είναι στο limf(x) όταν x->-00 , και τον τύπο της f δεν το ξέρουμε

Όσον αφορά αυτά που είπες έχεις δίκιο. Η άσκηση αυτή όμως, οφείλω να πω ότι δεν είναι σχολική και θα ήθελα να μην την συναντήσω(αυτήν ή παραλλαγή της) με την παρούσα ύλη ως θέμα εξετάσεων.

#13

mathxl έγραψε:
το πρόβλημα δεν είναι στον υπολογισμό του ορίου χ^2 - ημχ μιας και δεν είναι ο τύπος της φ
....

το πρόβλημα είναι στο limf(x) όταν x->-00 , και τον τύπο της f δεν το ξέρουμε

Έχεις δίκιο.

Τελικά, αφού δεν μας επιτρέπεται η χρήση του ορισμού, η μόνη σπόδειξη της ζητούμενης ιδιότητας είναι αυτή που γράφεις. Ας όψονται οι συνάδελφοι του Παιδαγωγικού που αποφαζίζουν την διδακτέα ύλη.

Για να συνοψίσω και ουσιαστικά επαναλάβω αυτά που λές, θα το έθετα έτσι:

Είναι χρήσιμο να πούμε στους μαθητές μας το εξής απλό θεώρημα για περιπτώσεις σαν και
την παραπάνω.

Έστω 0 < φ(χ) $\le$ ψ(χ) και έστω limφ(χ) = $+\infty$ . Τότε
lim ψ(χ) = $+\infty$ .

Απόδειξη: Είναι 0 < 1/ψ(χ) $\le$ 1/φ(χ) και lim 1/φ(χ) = 0. Από ισοσυγκλίνουσες
είναι και lim 1/ψ(χ) = 0. Άρα lim ψ(χ) = lim 1/1/ψ(χ) = 0 δεδομένου ότι ψ(χ) >0.

Η ακαδημαική γνώμη είναι ότι η ανάγκη τέτοιας μανούβρας για την απόδειξη ενός απλού και φυσιολογικού αποτελέσματος, είναι αθέμιτη. Δυστυχώς, ελέω άνωθεν εντολών και ολισθημάτων, κάνουμε τα εύκολα, δύσκολα. Τι να πεις!

Φιλικά

Μιχάλης Λάμπρου.

#14

Παρακολούθησα την συζήτηση και θα ήθελα να πω τα εξής (κάποια από αυτά τα είχαμε ξαναθίξει στο mathematica)

1) Πράγματι δεν προβλέπεται η διδασκαλία των ορίων από τον ορισμό. Αυτό έχει γίνει σκόπιμα: Αν "έπαιζε" ο ορισμός θα γέμιζε ο τόπος με ασκήσεις που θα δούλευαν με τον ορισμό. 'Ετσι και αλλιώς τα παιδιά δε μπορούν να μάθουν τον φορμαλισμό των ορίων (απ΄όσο είμαι σε θάση να ξέρω πρόκειται για κάτι που δεν το καταφέρνουν ούτε, στην πλειονότητα τους οι φοιτητές). 'Οπως έχω γράψει και παλαιότερα είναι γλώσσα χαμηλού επιπέδου και σε αυτή την ηλικία χρειάζονται κάποια πιό πλούσια γλώσσα. Το βιβλίο και οι οδηγίες διδασκαλίας προκρίνουν μία γλώσσα που είναι αμάλγαμα διαισθητικών περιγραφών και ιδιοτήτων. 'Ομως ο αποκλεισμός της $\varepsilon -\delta$ διδασκαλίας του ορίου δεν σημαίνει ότι ο δάσκαλος δεν πρέπει να πεί τι στο καλό σημαίνει όριο έστω και με μία γλώσαα αλά 18ου αιώνα. Αυτό καμμία οδηγία δεν το αποκλείει. Επομένως αν μαθητής επικαλεστεί έστω και με ατέλειες τον ορισμό του ορίου για να αρθρώσει κάποιο λογικό επιχείρημα για την ισχύ μίας άπλής ιδιότητας που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού δεν κάνει λάθος. Πολύ περισσότερο δεν διαπράττει κάποιο έγκλημα καθοσιώσεως. Αν λοιπόν πεί ότι

(*) Αν κοντά στο $\sigma$ ισχύει $f\left( x\right) \leq g\left( x\right)$ και η

στο $\sigma$ έχει όριο το $+\infty$ τότε και η

θά έχει όριο το $+\infty$

έχει πει κάτι που δεν χωράει αφαίρεση ούτε $\frac{1}{100}$ του μορίου. Καταλαβαίνει τι σημαίνει όριο και το λέει. Μην τρελαθούμε κιόλας. Συμφωνώ απολύτως με τον Μιχάλη ότι κάθε προσπάθεια απόδειξης αυτού του απλού γεγονότος είναι σωστή μεν από μαθηματική άποψη αλλά έναντι των παιδιών είναι όχι απλώς αθέμιτη αλλά και ανέντιμη. Γιατί αν αρχίσουμε να το ψειρίζουμε το θέμα τότε γιατί ένας μαθητής που βρήκε (με κάποια μέθοδο) ότι ένα όριο είναι $+\infty$ δεν υποχρεούται να εξηγήσει ότι η τιμή που βρήκε είναι μοναδική δηλαδή ότι δεν υπάρχει και άλλο; Ναι καλά διαβάσατε! Που ξέρει ότι είναι το όριο και όχι ένα όριο; Λέει το σχολικό τίποτα για την μοναδικότητα του ορίου όταν εμπλέκεται ως όριο το $+\infty$ ;

2) Αλλά και δικηγορίστικα να το δούμε δηλαδή αν θέλουμε κάθε λύση που δίνουμε να είναι απολύτως συμβατή με το σχολικό βιβλίο (επιθυμία καθ΄όλα θεμιτή: τα παδιά μας θέλουμε να βοηθήσουμε) το σχολικό βιβλίο προσφέρει διέξοδο: 'Οταν στη σελίδα 182-183 γράφει "Παρατηρούμε ότι καθώς το

αυξάνεται απεριόριστα με κάθε τροπο (sic) ...το g(x)

αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει όριο στο $+\infty$ το $+\infty$ ". Δηλαδή μπορούμε να παρατηρούμε το φαινόμενο στο σχήμα της σ. 182 και όχι στο "τραινάκι" της (*);
Εξ΄άλλου η φράση στην αρχή της σελίδας 184 που επεκτείνει την ισχύ των ιδιοτήτων των ορίων και για τα $+\infty$ , $-\infty$ επιτρέπει να έχουμε το ανάλογο του κριτηρίου της παρεμβολής για το $+\infty$ ή το $-\infty$ .

3) Τελειώνοντας θα ήθελα να υπενθυμίσω ότι σε επίπεδο βαθμολογικών κέντρων το ζήτημα αυτό είναι πλήρως λυμένο. Το 2005 η επιτροπή των εξετάσεων έστειλε διευκρίνιση ότι η (*) μπορέι να χρησιμοποιηθεί χωρίς αποδειξη. Αφού έγινε τότε θα γίνεται πάντα.

Θεωρώ, και γιαυτό έγραψα πολλά, ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος ένα απλό ζήτημα να γίνεται πολύπλοκο μόνο και μόνο γιατί έχουμε ένα κακογραμμένο βιβλίο και ένα αδρανές (για να μην πώ κάτι πιό βαρύ) Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

Μαυρογιάννης

iolis · #15

ΣΩΣΤΟΣ ο Νίκος.
Γ.Λιαδής

#16

nsmavrogiannis έγραψε:Παρακολούθησα την συζήτηση και θα ήθελα να πω τα εξής (κάποια από αυτά τα είχαμε ξαναθίξει στο mathematica)

1) Πράγματι δεν προβλέπεται η διδασκαλία των ορίων από τον ορισμό. Αυτό έχει γίνει σκόπιμα: Αν "έπαιζε" ο ορισμός θα γέμιζε ο τόπος με ασκήσεις που θα δούλευαν με τον ορισμό. 'Ετσι και αλλιώς τα παιδιά δε μπορούν να μάθουν τον φορμαλισμό των ορίων (απ΄όσο είμαι σε θάση να ξέρω πρόκειται για κάτι που δεν το καταφέρνουν ούτε, στην πλειονότητα τους οι φοιτητές). 'Οπως έχω γράψει και παλαιότερα είναι γλώσσα χαμηλού επιπέδου και σε αυτή την ηλικία χρειάζονται κάποια πιό πλούσια γλώσσα. Το βιβλίο και οι οδηγίες διδασκαλίας προκρίνουν μία γλώσσα που είναι αμάλγαμα διαισθητικών περιγραφών και ιδιοτήτων. 'Ομως ο αποκλεισμός της $\varepsilon -\delta$ διδασκαλίας του ορίου δεν σημαίνει ότι ο δάσκαλος δεν πρέπει να πεί τι στο καλό σημαίνει όριο έστω και με μία γλώσαα αλά 18ου αιώνα. Αυτό καμμία οδηγία δεν το αποκλείει. Επομένως αν μαθητής επικαλεστεί έστω και με ατέλειες τον ορισμό του ορίου για να αρθρώσει κάποιο λογικό επιχείρημα για την ισχύ μίας άπλής ιδιότητας που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού δεν κάνει λάθος. Πολύ περισσότερο δεν διαπράττει κάποιο έγκλημα καθοσιώσεως. Αν λοιπόν πεί ότι

(*) Αν κοντά στο $\sigma$ ισχύει $f\left( x\right) \leq g\left( x\right)$ και η στο $\sigma$ έχει όριο το $+\infty$ τότε και η θά έχει όριο το $+\infty$

έχει πει κάτι που δεν χωράει αφαίρεση ούτε $\frac{1}{100}$ του μορίου. Καταλαβαίνει τι σημαίνει όριο και το λέει. Μην τρελαθούμε κιόλας. Συμφωνώ απολύτως με τον Μιχάλη ότι κάθε προσπάθεια απόδειξης αυτού του απλού γεγονότος είναι σωστή μεν από μαθηματική άποψη αλλά έναντι των παιδιών είναι όχι απλώς αθέμιτη αλλά και ανέντιμη. Γιατί αν αρχίσουμε να το ψειρίζουμε το θέμα τότε γιατί ένας μαθητής που βρήκε (με κάποια μέθοδο) ότι ένα όριο είναι $+\infty$ δεν υποχρεούται να εξηγήσει ότι η τιμή που βρήκε είναι μοναδική δηλαδή ότι δεν υπάρχει και άλλο; Ναι καλά διαβάσατε! Που ξέρει ότι είναι το όριο και όχι ένα όριο; Λέει το σχολικό τίποτα για την μοναδικότητα του ορίου όταν εμπλέκεται ως όριο το $+\infty$ ;

2) Αλλά και δικηγορίστικα να το δούμε δηλαδή αν θέλουμε κάθε λύση που δίνουμε να είναι απολύτως συμβατή με το σχολικό βιβλίο (επιθυμία καθ΄όλα θεμιτή: τα παδιά μας θέλουμε να βοηθήσουμε) το σχολικό βιβλίο προσφέρει διέξοδο: 'Οταν στη σελίδα 182-183 γράφει "Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται απεριόριστα με κάθε τροπο (sic) ...το αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει όριο στο $+\infty$ το $+\infty$ ". Δηλαδή μπορούμε να παρατηρούμε το φαινόμενο στο σχήμα της σ. 182 και όχι στο "τραινάκι" της (*);
Εξ΄άλλου η φράση στην αρχή της σελίδας 184 που επεκτείνει την ισχύ των ιδιοτήτων των ορίων και για τα $+\infty$ , $-\infty$ επιτρέπει να έχουμε το ανάλογο του κριτηρίου της παρεμβολής για το $+\infty$ ή το $-\infty$ .

3) Τελειώνοντας θα ήθελα να υπενθυμίσω ότι σε επίπεδο βαθμολογικών κέντρων το ζήτημα αυτό είναι πλήρως λυμένο. Το 2005 η επιτροπή των εξετάσεων έστειλε διευκρίνιση ότι η (*) μπορέι να χρησιμοποιηθεί χωρίς αποδειξη. Αφού έγινε τότε θα γίνεται πάντα.

Θεωρώ, και γιαυτό έγραψα πολλά, ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος ένα απλό ζήτημα να γίνεται πολύπλοκο μόνο και μόνο γιατί έχουμε ένα κακογραμμένο βιβλίο και ένα αδρανές (για να μην πώ κάτι πιό βαρύ) Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

Μαυρογιάννης

Νίκο, σε αυτό το μήκος κύματος κινήθηκε και η δική μου απάντηση. Ορισμένα πράγματα πρέπει να γίνονται αυτόματα αντιληπτά από τους μαθηματικούς .Έτσι , γνωστά και αποδεκτά θεωρούνται όχι μόνο προτάσεις ή θεωρήματα που είναι στην εξεταστέα ύλη , αλλά κάθε τι που υπάρχει σε σχολικό βιβλίο άλλων τάξεων(ας μην έχει διδαχθεί !) , είτε μέσα σε παρατηρήσεις , είτε στην εισαγωγή ενός κεφαλαίου , είτε σε ιστορικά σχόλια και συμπεράσματα αλλά ακομα και πράγματα που απορρέουν από τη διδασκαλία , άλλα διαισθητικά και άλλα εποπτικά.
Για παράδειγμα , αν η φ έχει στο + άπειρο όριο θετικό αριθμό, τότε υπάρχει β>0 , ώστε φ(β) > 0 , οφείλει να θεωρηθεί βασική θεωρία.Υπάρχει εξάλλου εκείνη η επισήμανση στο ββιλίο που θέλει να ισχύουν και στο άπειρο οι ιδιότητες που ισχύουν στο x_0

, αρκεί να μην οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές κλπ.
Έτσι και το κριτήριο σύγκρισης( περεμβολη) ,καθώς και άλλα, μπορεί να θεωρηθεί ότι πηγάζει από αυτή τη γενική πρόταση.
Εκτός αυτού , υπάρχει και ο καθηγητής που εμπλουτίζει το μάθημα με παρατηρήσεις και σχόλια.το έργο αυτό θα το ακυρώσουμε , έχοντας ως μοναδικό τυφλοσούρτη το βιβλίο ; Είναι λοιπόν τελείως ανοησία να βρεθούν συνάδελφοι που να αμφισβητήσουν τέτοια προφανή πράγματα στη διόρθωση !
Μπάμπης

#17

Εδώ οφείλω να παρέμβω, το πρόβλημα το δημιουργούν όχι μόνο τα σχολικά,αλλά και τα διάφορα βοηθήματα .Aντε πείσε τους μαθητές σου για το αντίθετο .Δηλαδή ότι δικό σου τρόπος (ο πιο απλός) είναι το ίδιο σωστός ,,,,,,,,,από τον τάδε συγγραφέα που δεν ενημερώθηκε για την οδηγία της ΚΕΓΕ.
Η ανάγκη δημιουργίας πρωτότυπων ασκήσεων τα κάνει τα θέματα εξετάσεων δύσκολα και πιο περίπλοκα.
Εγώ συγκεκραμένα πάντα χρησιμοποιώ το
(*) Αν κοντά στο a ισχύει f(x)<=g(x) και η f στο έχει όριο το +oo τότε και η g θά έχει όριο το +oo.
Τώρα αν υπάρχει μαθητής ψαγμένος του δείχνεις και τον τροπο με τα 1/f(x).
Δείξτε κατανόηση για το επιθετικό ύφος αλλά έχω χασει αρκετό χρόνο για να εξηγήσω σε μαθητές τα παραπάνω , και πολλά άλλα.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ:Νίκο και όποιος άλλος συνάδελφος γνωρίζει άλλες οδηγίες από τη ΚΕΓΕ καλό θα ήταν να μας ενημερώσει
Π.χ
1. Ότι μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον τύπο της εφαπτόμενης ψ-f(a)=f’(a)(x-a) στην Στατιστική.

2. Τι θα γίνει αν κάποιος εφαρμόσει τον κανόνα D’LH στην Στατιστική.

Θυμάμαι πριν χρόνια για το πρώτο είχα πάρει αρκετές φορές τηλέφωνο στο ΥΠ. Παιδείας και Π. Ινστιτούτο και κάθε φορά έπαιρνε διαφορετική απάντηση μέχρι που ήρθε η οδηγία της ΚΕΓΕ και ησυχάσαμε..

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
nsmavrogiannis έγραψε:Παρακολούθησα την συζήτηση και θα ήθελα να πω τα εξής (κάποια από αυτά τα είχαμε ξαναθίξει στο mathematica)

1) Πράγματι δεν προβλέπεται η διδασκαλία των ορίων από τον ορισμό. Αυτό έχει γίνει σκόπιμα: Αν "έπαιζε" ο ορισμός θα γέμιζε ο τόπος με ασκήσεις που θα δούλευαν με τον ορισμό. 'Ετσι και αλλιώς τα παιδιά δε μπορούν να μάθουν τον φορμαλισμό των ορίων (απ΄όσο είμαι σε θάση να ξέρω πρόκειται για κάτι που δεν το καταφέρνουν ούτε, στην πλειονότητα τους οι φοιτητές). 'Οπως έχω γράψει και παλαιότερα είναι γλώσσα χαμηλού επιπέδου και σε αυτή την ηλικία χρειάζονται κάποια πιό πλούσια γλώσσα. Το βιβλίο και οι οδηγίες διδασκαλίας προκρίνουν μία γλώσσα που είναι αμάλγαμα διαισθητικών περιγραφών και ιδιοτήτων. 'Ομως ο αποκλεισμός της $\varepsilon -\delta$ διδασκαλίας του ορίου δεν σημαίνει ότι ο δάσκαλος δεν πρέπει να πεί τι στο καλό σημαίνει όριο έστω και με μία γλώσαα αλά 18ου αιώνα. Αυτό καμμία οδηγία δεν το αποκλείει. Επομένως αν μαθητής επικαλεστεί έστω και με ατέλειες τον ορισμό του ορίου για να αρθρώσει κάποιο λογικό επιχείρημα για την ισχύ μίας άπλής ιδιότητας που είναι άμεση συνέπεια του ορισμού δεν κάνει λάθος. Πολύ περισσότερο δεν διαπράττει κάποιο έγκλημα καθοσιώσεως. Αν λοιπόν πεί ότι

(*) Αν κοντά στο $\sigma$ ισχύει $f\left( x\right) \leq g\left( x\right)$ και η στο $\sigma$ έχει όριο το $+\infty$ τότε και η θά έχει όριο το $+\infty$

έχει πει κάτι που δεν χωράει αφαίρεση ούτε $\frac{1}{100}$ του μορίου. Καταλαβαίνει τι σημαίνει όριο και το λέει. Μην τρελαθούμε κιόλας. Συμφωνώ απολύτως με τον Μιχάλη ότι κάθε προσπάθεια απόδειξης αυτού του απλού γεγονότος είναι σωστή μεν από μαθηματική άποψη αλλά έναντι των παιδιών είναι όχι απλώς αθέμιτη αλλά και ανέντιμη. Γιατί αν αρχίσουμε να το ψειρίζουμε το θέμα τότε γιατί ένας μαθητής που βρήκε (με κάποια μέθοδο) ότι ένα όριο είναι $+\infty$ δεν υποχρεούται να εξηγήσει ότι η τιμή που βρήκε είναι μοναδική δηλαδή ότι δεν υπάρχει και άλλο; Ναι καλά διαβάσατε! Που ξέρει ότι είναι το όριο και όχι ένα όριο; Λέει το σχολικό τίποτα για την μοναδικότητα του ορίου όταν εμπλέκεται ως όριο το $+\infty$ ;

2) Αλλά και δικηγορίστικα να το δούμε δηλαδή αν θέλουμε κάθε λύση που δίνουμε να είναι απολύτως συμβατή με το σχολικό βιβλίο (επιθυμία καθ΄όλα θεμιτή: τα παδιά μας θέλουμε να βοηθήσουμε) το σχολικό βιβλίο προσφέρει διέξοδο: 'Οταν στη σελίδα 182-183 γράφει "Παρατηρούμε ότι καθώς το αυξάνεται απεριόριστα με κάθε τροπο (sic) ...το αυξάνεται απεριόριστα. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η g έχει όριο στο $+\infty$ το $+\infty$ ". Δηλαδή μπορούμε να παρατηρούμε το φαινόμενο στο σχήμα της σ. 182 και όχι στο "τραινάκι" της (*);
Εξ΄άλλου η φράση στην αρχή της σελίδας 184 που επεκτείνει την ισχύ των ιδιοτήτων των ορίων και για τα $+\infty$ , $-\infty$ επιτρέπει να έχουμε το ανάλογο του κριτηρίου της παρεμβολής για το $+\infty$ ή το $-\infty$ .

3) Τελειώνοντας θα ήθελα να υπενθυμίσω ότι σε επίπεδο βαθμολογικών κέντρων το ζήτημα αυτό είναι πλήρως λυμένο. Το 2005 η επιτροπή των εξετάσεων έστειλε διευκρίνιση ότι η (*) μπορέι να χρησιμοποιηθεί χωρίς αποδειξη. Αφού έγινε τότε θα γίνεται πάντα.

Θεωρώ, και γιαυτό έγραψα πολλά, ότι δεν υπάρχει κανένας λόγος ένα απλό ζήτημα να γίνεται πολύπλοκο μόνο και μόνο γιατί έχουμε ένα κακογραμμένο βιβλίο και ένα αδρανές (για να μην πώ κάτι πιό βαρύ) Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

Μαυρογιάννης
Νίκο, σε αυτό το μήκος κύματος κινήθηκε και η δική μου απάντηση. Ορισμένα πράγματα πρέπει να γίνονται αυτόματα αντιληπτά από τους μαθηματικούς .Έτσι , γνωστά και αποδεκτά θεωρούνται όχι μόνο προτάσεις ή θεωρήματα που είναι στην εξεταστέα ύλη , αλλά κάθε τι που υπάρχει σε σχολικό βιβλίο άλλων τάξεων(ας μην έχει διδαχθεί !) , είτε μέσα σε παρατηρήσεις , είτε στην εισαγωγή ενός κεφαλαίου , είτε σε ιστορικά σχόλια και συμπεράσματα αλλά ακομα και πράγματα που απορρέουν από τη διδασκαλία , άλλα διαισθητικά και άλλα εποπτικά.
Για παράδειγμα , αν η φ έχει στο + άπειρο όριο θετικό αριθμό, τότε υπάρχει β>0 , ώστε φ(β) > 0 , οφείλει να θεωρηθεί βασική θεωρία.Υπάρχει εξάλλου εκείνη η επισήμανση στο ββιλίο που θέλει να ισχύουν και στο άπειρο οι ιδιότητες που ισχύουν στο , αρκεί να μην οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές κλπ.
Έτσι και το κριτήριο σύγκρισης( περεμβολη) ,καθώς και άλλα, μπορεί να θεωρηθεί ότι πηγάζει από αυτή τη γενική πρόταση.
Εκτός αυτού , υπάρχει και ο καθηγητής που εμπλουτίζει το μάθημα με παρατηρήσεις και σχόλια.το έργο αυτό θα το ακυρώσουμε , έχοντας ως μοναδικό τυφλοσούρτη το βιβλίο ; Είναι λοιπόν τελείως ανοησία να βρεθούν συνάδελφοι που να αμφισβητήσουν τέτοια προφανή πράγματα στη διόρθωση !
Μπάμπης

#18

Κώστα, παρακολουθείς καιρό το φόρουμ και έχεις ήδη καταλάβει το κλιμα που κυριαρχεί και στις βαθμολογήσεις : Πες λοιπον στους μαθητές σου τα απλά και σίγουρα(στη θεωρία εννοώ) και άσε για αργότερα (ή για ποτέ)τα πολύπλοκα τεχνάσματα ή τις επεκτάσεις που συναντάς εδώ και κει.
Ο καλός υποψήφιος χτίζεται με την κατανόηση των εννοιών και με τη λύση διδακτικών ασκήσεων. Ποτέ με γρίφους και ταρζανιές που τον τρομάζουν. Ο τρόπος που διδάσκεις το θέμα που συζητάμε είναι ο πιο καλός. Αυτόν κάνω και γω. Τράβα λοιπόν μπροστά και οι μαθητές σου θα πετύχουν !
Μπάμπης

#19

Κάτι άλλο εννοώ.....

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Κώστα, παρακολουθείς καιρό το φόρουμ και έχεις ήδη καταλάβει το κλιμα που κυριαρχεί και στις βαθμολογήσεις : Πες λοιπον στους μαθητές σου τα απλά και σίγουρα(στη θεωρία εννοώ) και άσε για αργότερα (ή για ποτέ)τα πολύπλοκα τεχνάσματα ή τις επεκτάσεις που συναντάς εδώ και κει.
Ο καλός υποψήφιος χτίζεται με την κατανόηση των εννοιών και με τη λύση διδακτικών ασκήσεων. Ποτέ με γρίφους και ταρζανιές που τον τρομάζουν. Ο τρόπος που διδάσκεις το θέμα που συζητάμε είναι ο πιο καλός. Αυτόν κάνω και γω. Τράβα λοιπόν μπροστά και οι μαθητές σου θα πετύχουν !
Μπάμπης

mathxl · #20

Κώστα έχεις δίκιο για τα βοηθήματα και στις ερωτήσεις σου για την εξίσωση εφαπτομένης. Τις ερωτήσεις αυτές τις είχα ως φροντιστής και πίστευα ότι θα λυθούν όταν διορίστηκα αλλά........

Όσον αφορά το DLH: Ο επικεφαλής του βαθμολογικού κέντρου στο οποίο ήμουν, το είχε αναφέρει ωσ κλασικό παράδειγμα που δεν πρέπει να γίνει δεκτό στα μαθηματικά γενικής παιδείας. Το ίδο έλεγε και για την εξίσωση της εφαπτομένης...αλλά όλοι οι βαθμολογητές εκεί αντιδράσαμε και πέρασε το δικό μας..δηλαδή ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση της κατεύθυνσης

Βλέπεις τα πράγματα μοιάζουν ρευστά από βαθμολογικό κέντρο σε κέντρο..αλλά η τελική γραμμή να είσαι σίγουρος είναι εννιαία

Στα ερωτήματα που έθεσες οφείλει η ΚΕΓΕ να ξεκαθαρίσει το τοπίο έστω και με καθυστέρηση(πρέπει να είναι ξεκάθαροι οι κανόνες από την αρχή της χρονιάς)

Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Re: Το 3ο υποερώτημα λύνεται πιο εύκολα με θεωρία εντός σχ.ύλης;

Μέλη σε σύνδεση