Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#161

Από τα επόμενα δύο θέματα, το ένα έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Α Λυκείου (άνετο θέμα και για Γυμνάσιο) και το άλλο στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ (μικρών):

ΑΣΚΗΣΗ 69 (Είχε παραλειφθεί το νούμερο 69 στις προηγούμενες ασκήσεις):
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c

ισχύει ότι:

$\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}$

Να αποδειχθεί ότι a=b=c

ΑΣΚΗΣΗ 78: Στην προηγούμενη μαθηματική Ολυμπιάδα, για ένα από τα προβλήματα που τέθηκαν, στο οποίο η μέγιστη βαθμολογία ήταν 5, είχαμε τα παρακάτω αποτελέσματα:
Ο μέσος όρος των βαθμών των αγοριών ήταν 4 , ομέσος όρος των βαθμών των κοριτσών ήταν 3,25 και ο μέσος όρος των βαθμών του συνόλου των μαθητών ήταν 3,6.
Να βρείτε πόσα σγόρια και πόσα κορίτσια πήραν μέρος, αν ο αριθμός του συνόλου των μαθητώνήταν μεταξύ 30 και 50

spiros filippas · #162

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι:
$\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}$
Να αποδειχθεί ότι

Έχουμε: $...\Leftrightarrow \sum{\frac{ab(a+b)}{2}}=3abc\Leftrightarrow \sum{\frac{a^2b+ab^2}{2}}=3abc$

Ομως από ΑM-GM παίρνουμε:
$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\geq 6\sqrt[6]{(abc)^6}=6abc\Leftrightarrow$

$\frac{a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2}{2}\geq 3abc$

Επειδή όμως στην τελευταία θέλουμε ισότητα αναγκαστικά είναι: a=b=c

spiros filippas · #163

Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.

#164

spiros filippas έγραψε:Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.

Την λέξη "μεταξύ" την αντιλαμβάνομαι ως "γνήσια μεταξύ" (*). Αν είναι έτσι, βρίσκω λύση την
21 αγόρια, 24 κορίτσια.
Αν πάλι το "μεταξύ" περιλαμβάνει και τα άκρα, τότε πράγματι έχουμε και δεύτερη λύση την 14 αγόρια, 16 κορίτσια.
Διαλέγετε και παίρνετε!

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Π.χ. η φράση "μεταξύ σφύρας και άκμονος" εννοεί "το μεσοδιάστημα". Δεν συμπεριλαμβάνει ούτε την σφύρα, ούτε τον άκμονα.

#165

spiros filippas έγραψε:Εχω ξανασυναντήσει την άσκηση 78 με την ίδια ακριβώς διατύπωση καί εχω την αίσθηση οτί είναι λίγο ασαφής καθώς δεν αναφέρει
αν συμπεριλαμβάνονται το 30 καί το 50.

Αν δεν έκανα κάπου λάθος, νομίζω ότι δεν χρειάζεται να μας πει αν συμπεριλαμβάνονται το 30 και το 50

(Ο συνολικός αριθμός μαθητών μου βγαίνει 45, όπου τα αγόρια είναι 21 και τα κορίτσια 24)

spiros filippas · #166

Μα και εγω στην αρχή νόμιζα οτι δεν χρειάζεται διευκρίνιση αλλά η μία λύση σε πάει ακριβώς 30.

#167

Μόλις είδα την δημοσίευση του Μιχάλη. Το πήρα φαίνεται στα γρήγορα και δεν είδα αυτή την εκδοχή.
Μας κάλυψε ο Μιχάλης. Το θέμα θεωρείται λυμένο.

#168

Από τις επόμενες δύο ασκήσεις η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Β Γυμνασίου και η άλλη για την Α Λυκείου

ΑΣΚΗΣΗ 79: Δίνονται οι αριθμοί $A=2^{41},B=8^{13},C=4^{21},D=32^{8}$

(α) Να βρείτε ποιος είναι ο μεγαλύτερος

(β) Να εκφράσετε το άθροισμα A+B+C+D

ως γινόμενο πρώτων παραγόντων

ΑΣΚΗΣΗ 80: Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί

για τους οποίους ο αριθμός 2n+1

διαιρεί τον αριθμό $n^{2}+n-2$

qwerty · #169

'Ασκηση 81 Θαλής 1996
Να δείξετε οτι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός

με την ιδιότητα:

3n^5+3n^3=30.000.001

#170

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 80: Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον αριθμό $n^{2}+n-2$

Επειδή

περιττός έχουμε

$\dfrac{n^2+n-2}{2n+1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\dfrac{4(n^2+n-2)}{2n+1}\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow\dfrac{4n^2+4n-8}{2n+1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\dfrac{(2n+1)^2-9}{2n+1}\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow2n+1-\dfrac{9}{2n+1}\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow2n+1|9\Leftrightarrow n=-5,-2,-1,0,1,4$ .

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης

#171

Άσκηση 82
Τοποθετούμε τους αριθμούς 1,2,...,49

στα κελιά μιας $7\times 7$ σκακιέρας, έναν σε κάθε κελί.
Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης.
Κάποια από αυτά τα

αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια περιττοί.
Έστω

το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και

το άθροισμα των άρτιων.
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει A=B

;

Άσκηση 83
Αν a,b,c

θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε (a+1)^b=(a+25)^c,

να δείξετε ότι ο αριθμός b+c

είναι πολλαπλάσιο του

Άσκηση 84
Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα $(a,b,c)\ne (0,0,0)$ παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα (a+b,b+c,c+a).

Δείξτε ότι αν με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας.)

Παναγιώτης 1729 · #172

socrates έγραψε:Άσκηση 84:
Θεωρούμε την διαδικασία: ξεκινώντας από μια τριάδα $(a,b,c)\ne (0,0,0)$ παίρνουμε (την αντικαθιστούμε) την τριάδα
Δείξτε ότι αν με, επανειλημμένη, εφαρμογή της διαδικασίας προκύψει η αρχική τριάδα, τότε αυτό θα συμβεί μετά από ακριβώς έξι βήματα (εφαρμογές της διαδικασίας.)

Μετά την ν-οστή εφαρμογή της διαδικασίας επαγωγικά έχουμε ότι αν εμφανίζεται η 3-άδα (x,y,z) τότε x+y+z=2^n(a+b+c)

, οπότε πρέπει για κάποιο $n\geq{0}$ , a+b+c=2^n(a+b+c)

, άρα

.
Με βάση αυτό αν παρατηρήσουμε την διαδικασία (θέτοντας c=-(a+b)

) αφού οι

δεν είναι όλοι 0, έχουμε ότι η τριάδα (a,b,c)

θα ξαναεμφανιστεί μετά από 6 βήματα.

Παναγιώτης 1729 · #173

ΑΣΚΗΣΗ 85:
Οι φυσικοί αριθμοί από το 1 ως το 10 τοποθετούνται με τυχαία σειρά στην περιφέρεια ενός κύκλου. Ν.δ.ο. υπάρχουν σε διπλανές θέσεις τρεις αριθμοί με άθροισμα τουλάχιστον 18.

greek_sorcerer · #174

qwerty έγραψε:Ασκηση 81 Θαλής 1996
δείχτε οτι δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την ιδιότητα:

Έχουμε και λέμε:
3n^5+3n^3=

πολλαπλάσιο του 3
από την άλλη πλευρά όμως το 30.000.001 δεν διαιρείται με το 3 (αφού το άθροισμα των ψηφίων του είναι 4),
οπότε δεν υπάρχει φυσικός αριθμός n με την παραπάνω ιδιότητα.

#175

konstantinos21 έγραψε:Για την άσκηση 82: το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,...49 είναι 1225 δηλαδή περιττός αριθμός .ξέρουμε ότι Α+Β=1225 Όμως το άθροισμα των άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός οπότε ο αριθμός Β είναι άρτιος.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Α είναι περιττός (αφού 2x+A=1225) άρα δεν μπορεί να ισχύει ότι Α=Β

Konstantinos-21 ξανακοίταξε την εκφώνηση. Λέει Α το άθροισμα όλων των γραμμών αλλά και των στηλών που δίνουν άθροισμα περιττό αριθμό. Παρόμοια και για το Β. Αν ήταν μόνο των γραμμών, η λύση θα ήταν σωστή.

konstantinos21 · #176

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
konstantinos21 έγραψε:Για την άσκηση 82: το άθροισμα των αριθμών 1,2,3,...49 είναι 1225 δηλαδή περιττός αριθμός .ξέρουμε ότι Α+Β=1225 Όμως το άθροισμα των άρτιων αριθμών είναι άρτιος αριθμός οπότε ο αριθμός Β είναι άρτιος.Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμός Α είναι περιττός (αφού 2x+A=1225) άρα δεν μπορεί να ισχύει ότι Α=Β

Konstantinos-21 ξανακοίταξε την εκφώνηση. Λέει Α το άθροισμα όλων των γραμμών αλλά και των στηλών που δίνουν άθροισμα περιττό αριθμό. Παρόμοια και για το Β. Αν ήταν μόνο των γραμμών, η λύση θα ήταν σωστή.

ναι ,έχετε δίκιο κύριε Δημήτρη το κατάλαβα ότι ήταν λανθασμένη η απάντηση αλλά δεν ήξερα πως να την διαγράψω

#177

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 69 :
Έστω ότι για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς ισχύει ότι:
$\displaystyle{ ab(\frac{a+b}{2}-c)+bc(\frac{b+c}{2}-a)+ca(\frac{c+a}{2}-b)=0}$
Να αποδειχθεί ότι

Η ΑΣΚΗΣΗ 69 έχει λυθεί πιο πάνω από τον spiros filippas. Ας δώσω όμως και μια λύση πιο κατανοητή για μικρούς μαθητές

Έχουμε:

$ab\frac{a+b-2c}{2}+bc\frac{b+c-2a}{2}+ca\frac{c+a-2b}{2}=0\Leftrightarrow a^{2}b+ab^{2}-2abc+b^{2}c+bc^{2}-2abc+c^{2}a+ca^{2}-2abc=0\Leftrightarrow a(b^{2}-2bc+c^{2})+b(a^{2}-2ac+c^{2})+c(b^{2}-2ab+a^{2)}=0\Leftrightarrow a(b-c)^{2}+b(a-c)^{2}+c(b-a)^{2}=0$

Όμως οι αριθμοί a,b,c

είναι θετικοί. Οπότε για να είναι αληθής η πιο πάνω σχέση, θα πρέπει να ισχύει:

b-c=0

και

δηλαδή

Για τις ασκήσεις 77 και 82, μάλλον θα πρέπει να δοθεί κάποια υπόδειξη

Grigoris K. · #178

socrates έγραψε:Άσκηση 82
Τοποθετούμε τους αριθμούς στα κελιά μιας $7\times 7$ σκακιέρας, έναν σε κάθε κελί.
Υπολογίζουμε το άθροισμα των αριθμών κάθε γραμμής και κάθε στήλης.
Κάποια από αυτά τα αθροίσματα είναι άρτιοι αριθμοί και κάποια περιττοί.
Έστω το άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και το άθροισμα των άρτιων.
Είναι δυνατόν να τοποθετηθούν οι αριθμοί στην σκακιέρα με τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει

(Εξέλαβα ότι το

ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των περιττών αθροισμάτων και όχι με το πλήθος των περιττών αθροισμάτων. Πάντως και έτσι να το πάρεις πρέπει να βγαίνει πάλι αδύνατο να ισχύει A = B

)

Μία προσπάθεια με κάθε επιφύλαξη:

Στην σκακιέρα $7 \times 7$ το άθροισμα των ψηφίων των γραμμών προκύπτει από τον τύπο: $S= \displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$ για n = 49

άρα

. Επιπλέον το άθροισμα των ψηφίων των στηλών είναι πάλι S' = 1225

.

Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει $A + B = 2450 \Leftrightarrow 2B = 2450 \Leftrightarrow B = 1225$ , το οποίο είναι άτοπο αφού το

αποτελεί άθροισμα άρτιων.

Καταλήγοντας είναι αδύνατο να ισχύει A = B

.

Grigoris K. · #179

ΑΣΚΗΣΗ 86:

Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y)

τα οποία ικανοποιούν την εξής σχέση:

$\displaystyle \frac{x-2}{y} + \frac{5}{xy} = \frac{4-y}{x} - \frac{|y-2x|}{xy}$

ΑΣΚΗΣΗ 87:

Σε μια σκακιέρα $6 \times 6$ έχουν τοποθετηθεί φυσικοί αριθμοί. Κάθε κίνηση συνίσταται στην επιλογή ενός τετραγώνου μεγαλύτερου από $1 \times 1$ ( το οποίο αποτελείται από "κουτάκια" της σκακιέρας ) και στην αύξηση όλων των φυσικών αριθμών που βρίσκονται στο επιλεγμένο τετράγωνο κατά 1. Είναι πάντα ευφικτό να κάνουμε κάποιες κινήσεις ώστε να οδηγηθούμε σε μια κατάσταση όπου όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαρετοί από το 3;

(η 87 είναι λίγο "τσιμπημένη")

spiros filippas · #180

S.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 77:
Να συγκρίνετε τους αριθμούς

$\sqrt[3]{{3 + \sqrt[3]{3}}} + \sqrt[3]{{3 - \sqrt[3]{3}}},\quad 2\sqrt[3]{3},$
λαμβάνοντας σοβαρά υπ’ όψη ότι το εμφανισιακά μεγάλο δεν είναι πάντα και το μεγαλύτερο.

Αρκεί να συγκρίνουμε τους αριθμούς $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}-\sqrt[3]{3}=k$

καί $\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}=l$

βασιζόμενος στην ταυτότητα $\displaystyle a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$

η οποία δίνει $\displaystyle \sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}=\frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}$ έχουμε:

$\displaystyle \sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}-\sqrt[3]{3}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{(3+\sqrt[3]{3})^2}+\sqrt[3]{3(3+\sqrt[3]3)}+\sqrt[3]{9}}~~(1)$

καί: $\displaystyle \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{(3-\sqrt[3]{3})^2}+\sqrt[3]{3(3-\sqrt[3]3)}+\sqrt[3]{9}}~~(2)$

Από τις (1) κ (2) είναι φανερό οτί l>k

άρα $2\sqrt[3]{3}>\sqrt[3]{{3 + \sqrt[3]{3}}} + \sqrt[3]{{3 - \sqrt[3]{3}}}$

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση