Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

#81

Εγώ πάντως θα το έπαιρνα σωστό να σου πω την αλήθεια..

#82

Συνάδελφοι ή στραβός είναι ο γιαλός ή στραβά αρμενίζω...
Αν συνεχίσω έτσι θα την κάψω τη φλάντζα!
Εντάξει παραδίνομαι...
Ήταν ποταπό θέμα-παγίδα που μπήκε για να καταχραστεί το χρόνο των καημένων υποψηφίων.
Θα το γράψω και 100 φορές τιμωρία πρός εμπέδωση.
Από την επόμενη φορά,θα ζητήσουμε να γλυκάνουν τα θέματα,γιατί φέτος παραέσφιξε το ζωνάρι.
Καληνύχτα κύριοι.

#83

chris_gatos έγραψε:Θα το γράψω και 100 φορές τιμωρία πρός εμπέδωση.

Να πετάξω γω τις πενήντα πρώτες...; Copy paste και τέτοια δεν έχει έτσι...Αλλιώς δεν παίζω

#84

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Θα το γράψω και 100 φορές τιμωρία πρός εμπέδωση.
Να πετάξω γω τις πενήντα πρώτες...; Copy paste και τέτοια δεν έχει έτσι...Αλλιώς δεν παίζω

Kαλέ μου άνθρωπε!
Ευχαρίστως!

p-arsenis · #85

Το τέχνασμα της παραγοντικής ολοκλήρωσης στο Θέμα Δ4 δεν είναι ιδιαίτερα "άγνωστο". Έχει τεθεί ξανά στις επαναληπτικές εξετάσεις 2008 Θέμα 4 γ.ii και βέβαια υπάρχει σε ασκήσεις σε πολλά εξωσχολικά βιβλία και διάφορα προτεινόμενα θέματα. Ήταν σχεδόν βέβαιο (τουλάχιστον κατά τη γνώμη μου) ότι θα τεθεί κάποτε και στις κανονικές εξετάσεις.

dragonver · #86

Λίγο άκυρη ερώτηση αλλά αν στην απόδειξη της θεωρίας του Θ. Fermat κάποιος δεν βάλει σχήμα χάνει μόρια; Ευχαριστώ!

pana1333 · #87

Mια αποριούλα.....

Οι διαφορικές εξισώσεις είναι εκτός ύλης εεεε;;;;;;;

onedeadslime · #88

dragonver έγραψε:Λίγο άκυρη ερώτηση αλλά αν στην απόδειξη της θεωρίας του Θ. Fermat κάποιος δεν βάλει σχήμα χάνει μόρια; Ευχαριστώ!

Όχι βέβαια! Σχήμα θα ζητούσε μόνο για την γεωμετρική ερμηνεία του. Δεν είναι σαν αυτά της γενικής που επειδή οι αποδείξεις είναι λίγο "μπακάλικες" χρειάζεται σχήμα.

#89

onedeadslime έγραψε:
userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι.

Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;

Θέλω να επαναφέρω αυτό εδώ διότι η κοκκινισμένη πρόταση είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα ας πούμε ότι μας ρωτάνε αν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ όπου $f(x) = \sin{x}$ . Αν υποθέσουμε πως το όριο υπάρχει, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}f(x+\pi) = -\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ και άρα $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0$ .

Υποθέσαμε λοιπόν πως το όριο υπάρχει και το "βρήκαμε". Όμως η υπόθεση που κάναμε ήταν λανθασμένη και το όριο δεν υπάρχει.

Για την συγκεκριμένη άσκηση που μας ζητάει να βρούμε το όριο, αν επιτρέπεται λόγω της διατύπωσης να υποθέσουμε την ύπαρξη του ορίου δεν το γνωρίζω.

onedeadslime · #90

Demetres έγραψε:
onedeadslime έγραψε:
userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι.

Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;
Θέλω να επαναφέρω αυτό εδώ διότι η κοκκινισμένη πρόταση είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα ας πούμε ότι μας ρωτάνε αν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ όπου $f(x) = \sin{x}$ . Αν υποθέσουμε πως το όριο υπάρχει, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}f(x+\pi) = -\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ και άρα $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0$ .

Υποθέσαμε λοιπόν πως το όριο υπάρχει και το "βρήκαμε". Όμως η υπόθεση που κάναμε ήταν λανθασμένη και το όριο δεν υπάρχει.

Δεν είναι το ίδιο. Το να κάνει κάποιος αυτό είναι σαν να υποθέτει ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες για να αποδείξει ότι είναι ίσες.

Δεν υπάρχει κανένας τυπικός λόγος για να υποθέσουμε ότί ένα όριο υπάρχει πριν το βρούμε (στα πλαίσια της Γ λυκείου πάντα). Θα ήταν παράλογο να υποθέσουμε ότι το όριο δεν υπάρχει (γιατί έτσι δεν θα κάναμε τίποτα), και αν κάναμε το αντίστροφο και το βρίσκαμε, τότε αυτό επαρκεί για να αποδείξουμε ότι υπάρχει. Για να υπολογίσουμε το όριο δεν υπάρχει μία αναγκαία συνθήκη "αν υπάρχει το όριο, τότε...". Στο παράδειγμα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, βάζουμε το e στον αριθμητή κλπ κλπ και βρήσκουμε το όριο, ωπ, υπάρχει, τι καλά άρα βρήκαμε ότι υπάρχει. Αν δεν το βρίσκαμε τότε ίσως όχι. Για να βρούμε το -οο δεν υποθέτουμε ότι υπάρχει (στο παράδειγμα των εξετάσεων).

Στο παράδειγμά σας αν υποθέταμε ότι υπάρχει το όριο του ημιτόνου στο άπειρο και το βρίσκαμε, μαγκιά μας. Το να το χρησιμοποιοήσουμε για να βρούμε άλλο όριο (άσχετα αν τελικά καταλήγουμε στο ίδιο επειδή είναι τριγωνομετρική) είναι απλώς μια αφθαίρετη υπόθεση.

#91

dragonver έγραψε:Λίγο άκυρη ερώτηση αλλά αν στην απόδειξη της θεωρίας του Θ. Fermat κάποιος δεν βάλει σχήμα χάνει μόρια; Ευχαριστώ!

Όχι.

#92

onedeadslime έγραψε:
Demetres έγραψε:
onedeadslime έγραψε:
userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι.

Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;
Θέλω να επαναφέρω αυτό εδώ διότι η κοκκινισμένη πρόταση είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα ας πούμε ότι μας ρωτάνε αν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ όπου $f(x) = \sin{x}$ . Αν υποθέσουμε πως το όριο υπάρχει, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}f(x+\pi) = -\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ και άρα $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0$ .

Υποθέσαμε λοιπόν πως το όριο υπάρχει και το "βρήκαμε". Όμως η υπόθεση που κάναμε ήταν λανθασμένη και το όριο δεν υπάρχει.
Δεν είναι το ίδιο. Το να κάνει κάποιος αυτό είναι σαν να υποθέτει ότι δύο συναρτήσεις είναι ίσες για να αποδείξει ότι είναι ίσες.

Δεν υπάρχει κανένας τυπικός λόγος για να υποθέσουμε ότί ένα όριο υπάρχει πριν το βρούμε (στα πλαίσια της Γ λυκείου πάντα). Θα ήταν παράλογο να υποθέσουμε ότι το όριο δεν υπάρχει (γιατί έτσι δεν θα κάναμε τίποτα), και αν κάναμε το αντίστροφο και το βρίσκαμε, τότε αυτό επαρκεί για να αποδείξουμε ότι υπάρχει. Για να υπολογίσουμε το όριο δεν υπάρχει μία αναγκαία συνθήκη "αν υπάρχει το όριο, τότε...". Στο παράδειγμα κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, βάζουμε το e στον αριθμητή κλπ κλπ και βρήσκουμε το όριο, ωπ, υπάρχει, τι καλά άρα βρήκαμε ότι υπάρχει. Αν δεν το βρίσκαμε τότε ίσως όχι. Για να βρούμε το -οο δεν υποθέτουμε ότι υπάρχει (στο παράδειγμα των εξετάσεων).

Στο παράδειγμά σας αν υποθέταμε ότι υπάρχει το όριο του ημιτόνου στο άπειρο και το βρίσκαμε, μαγκιά μας. Το να το χρησιμοποιοήσουμε για να βρούμε άλλο όριο (άσχετα αν τελικά καταλήγουμε στο ίδιο επειδή είναι τριγωνομετρική) είναι απλώς μια αφθαίρετη υπόθεση.

Δεν έχω καταλάβει το σκεπτικό σου. Πού γίνεται το μη επιτρεπτό στον συλλογισμό του Demetres; Ποιο άλλο όριο βρίσκει; Νομίζω αντίθετα ότι έχει δώσει ένα πολύ ωραίο παράδειγμα για τον ισχυρισμό του.

PanosG · #93

Demetres έγραψε:
onedeadslime έγραψε:
userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι.

Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;
Θέλω να επαναφέρω αυτό εδώ διότι η κοκκινισμένη πρόταση είναι λανθασμένη. Για παράδειγμα ας πούμε ότι μας ρωτάνε αν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ όπου $f(x) = \sin{x}$ . Αν υποθέσουμε πως το όριο υπάρχει, τότε θα μπορούσαμε να πούμε ότι $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty}f(x+\pi) = -\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ και άρα $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = 0$ .

Υποθέσαμε λοιπόν πως το όριο υπάρχει και το "βρήκαμε". Όμως η υπόθεση που κάναμε ήταν λανθασμένη και το όριο δεν υπάρχει.

Για την συγκεκριμένη άσκηση που μας ζητάει να βρούμε το όριο, αν επιτρέπεται λόγω της διατύπωσης να υποθέσουμε την ύπαρξη του ορίου δεν το γνωρίζω.

Δημήτρη ωραίο παράδειγμα θα μου επιτρεψεις να το υιοθετήσω

onedeadslime · #94

Δεν έχω καταλάβει το σκεπτικό σου. Πού γίνεται το μη επιτρεπτό στον συλλογισμό του Demetres; Ποιο άλλο όριο βρίσκει; Νομίζω αντίθετα ότι έχει δώσει ένα πολύ ωραίο παράδειγμα για τον ισχυρισμό του.

Yποθέτει ότι υπάρχει το όριο του ημχ στο άπειρο ώστε να ισχύει πως υπάρχει το όριο του ημ(χ+π) στο άπειρο. Και τελικά από αυτήν την υπόθεση προκύπτει ότι υπάρχει το όριο του ημχ στο άπειρο!

Στο άλλο παράδειγμα δεν υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα όριο για να το βρούμε, βρίσκουμε το όριο και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει. Δεν είναι το ίδιο.

#95

onedeadslime έγραψε: Yποθέτει ότι υπάρχει το όριο του ημχ στο άπειρο ώστε να ισχύει πως υπάρχει το όριο του ημ(χ+π) στο άπειρο. Και τελικά από αυτήν την υπόθεση προκύπτει ότι υπάρχει το όριο του ημχ στο άπειρο!

Στο άλλο παράδειγμα δεν υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα όριο για να το βρούμε, βρίσκουμε το όριο και αποδεικνύουμε ότι υπάρχει. Δεν είναι το ίδιο.

Ίσως να μην έγινα απόλυτα κατανοητός.

Πράγματι με την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το συγκεκριμένο ερώτημα (και υποψιάζομαι είναι παρόμοια με την πλειοψηφία όσων απάντησαν σωστά το θέμα) δεν υποθέτω ότι υπάρχει το όριο. Κανείς όμως δεν μπορεί να αποκλείσει την περίπτωση κάποιος μαθητής να υπέθεσε πως υπάρχει, να ακολούθησε μια διαφορετική μέθοδο βασισμένη στο ότι το όριο υπάρχει και να βρήκε την σωστή απάντηση. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η απόδειξη του είναι σωστή. Είναι βασισμένη στο ότι το όριο υπάρχει, κάτι που δεν το γνωρίζουμε εξ' αρχής. Το παράδειγμα που έδωσα εξυπηρετεί για να δούμε γιατί αυτή η λογική είναι λανθασμένη. Υποθέτοντας πως το όριο $\lim\limits_{x \to +\infty} \sin(x)$ υπάρχει απέδειξα ότι ισούται με 0. Το τελικό συμπέρασμα όμως είναι λανθασμένο όπως λανθασμένη ήταν και η υπόθεση που έκανα.

Επιτρέψτε μου να δώσω και ένα διαφορετικό παράδειγμα που ελπίζω να είναι πιο ξεκάθαρο.

Άσκηση: Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}}$ .

Απάντηση: Έχουμε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x+\pi)}{x+\pi} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x+\pi} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+\pi} = -\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}}$ .

και άρα $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x} = 0}$ .

Πως πρέπει να βαθμολογηθεί αυτή η απάντηση;

onedeadslime · #96

Πράγματι με την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το συγκεκριμένο ερώτημα (και υποψιάζομαι είναι παρόμοια με την πλειοψηφία όσων απάντησαν σωστά το θέμα) δεν υποθέτω ότι υπάρχει το όριο.

Οκ, τότε συμφωνούμε. Αυτό το ερώτημα είχα στο μυαλό μου κι εγώ.

Θανάσης Νικολόπουλος · #97

userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;

Μία άποψη ακόμα...

Για μένα, ΝΑΙ, εφόσον η εκφώνηση ζητάει την τιμή του ορίου, ο μαθητής μπορεί με ασφάλεια να υποθέσει ότι το όριο υπάρχει...

Αν το όριο δεν υπάρχει τότε το φταίξιμο είναι του θεματοδότη, ο οποίος οφείλει να διατυπώσει διαφορετικά την ερώτησή του!

Εγώ προσωπικά (όπως και πολλοί συνάδελφοι εδώ φαντάζομαι) επιμένω στη διδασκαλία του συγκεκριμένου να λέω στους μαθητές μου ότι δεν συμβολίζουμε κάτι αν δεν είμαστε βέβαιοι ότι υπάρχει!

Κοινώς αν ένα όριο υπάρχει και θέλουμε να βρούμε την τιμή του, η εκφώνηση θα λέει κάτι σαν "να βρεθεί το όριο lim f(x)

" κλπ κλπ

Αν όμως θέλουμε να εξετάσουμε την ύπαρξη ενός ορίου, τότε η εκφώνηση θα λέει κατι σαν "να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο της f(x) στο ..." όπου τονίζω ότι δεν γράφουμε το lim αλλά το αναφέρουμε περιγραφικά!

Και το ίδιο το σχολικό βιβλίο κάνει αυτή τη διάκριση, αν και δυστυχώς δεν δίνει έμφαση στο γιατί (αλλά γι αυτό είμαστε κι εμείς στην τάξη, για να αναδείξουμε τα λεπτά σημεία...)

Σε κάθε περίπτωση, αν ένας μαθητής δει κάτι συμβολισμένο και του ζητηθεί να υπολογιστεί, όπως ένα όριο, τότε πρέπει με ασφάλεια να μπορεί να υποθέσει την ύπαρξή του και να μην ασχοληθεί με αυτή, αφού του την εξασφαλίζει η εκφώνηση. Ξαναλέω, σε άλλη περίπτωση το λάθος είναι του θεματοδότη!

Και νομίζω ότι εδώ (στο θέμα των πανελληνίων) ο θεματοδότης δεν ενδιαφέρεται για την ύπαρξη, οπότε δεν υπήρξε και θέμα με την αναγραφή του ορίου...

Να σημειώσω βέβαια κάτι: Τα πράγματα διαφέρουν ελαφρά αν πχ μιλάμε για την αντίστροφη συνάρτηση...

Και σε αυτήν αν δούμε συμβολισμό θα πρέπει να υποθέσουμε με ασφάλεια ότι η αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει, σε αυτή όμως την περίπτωση θα δείξουμε ούτως ή άλλως την ύπαρξή της (με μονοτονία, 1-1 ή τον ορισμό) γιατί είναι μέρος της λύσης...

Αν όμως δεν υπάρχει και πάλι δεν θα χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό $f^{-1}$ αλλά θα αναφερθούμε στο θέμα περιφραστικά, λέγοντας "να εξετάσετε αν υπάρχει η αντίστροφη της f".

Υπό αυτό το πρίσμα, για μένα είναι λάθος του θεματοδότη μία εκφώνηση της μορφής "να βρείτε την $f^{-1}$ " ή ακόμα και της μορφής "να εξετάσετε αν υπάρχει η $f^{-1}$ ", αν αυτή η αντίστροφη τελικά δεν υπάρχει...

Και σε κάθε περίπτωση επιμένω το λάθος (αν υπάρχει) είναι του θεματοδότη, ο μαθητής μπορεί να πορευθεί με ασφάλεια με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις...

Φιλικά

Στέλιος Μαρίνης · #98

userresu έγραψε:
onedeadslime έγραψε:
userresu έγραψε:Στο θέμα Δ3, είναι σωστό να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο όριο υπάρχει, αφού η εκφώνηση ζητάει μόνο την τιμή του;
Όχι. Αν το βρεις, τότε προφανώς υπάρχει. Γιατί;
Μπορείς να πάρεις περιπτώσεις για την τιμή του, υποθέτοντας ότι υπάρχει.

Αν ήθελε και ύπαρξη δε θα έπρεπε να λέει "Να βρεθεί αν υπάρχει"; Άποψή μου είναι ότι από τη στιγμή που η ερώτηση περιέχει το όριο σαν μαθηματικό σύμβολο και δεν αναφέρει τίποτα για ύπαρξη, σημαίνει ότι ορίζεται. Είναι σαν να μας έδινε μια παράσταση και να μας έλεγε να υπολογίσουμε την τιμή της. (Προφανώς θα ορίζεται, αλλιώς δεν θα ήταν μαθηματικά ορθό να γραφεί)
Ας μου απαντήσει κάποιος καθηγητής αν μπορεί.

Είναι γεγονός ότι η εκφώνηση "να βρεθεί το όριο" στην καθομιλουμένη υπονοεί ότι υπάρχει. Είναι επίσης γεγονός ότι, για να μην υπάρχει η παραμικρή παρανόηση, οι θεματοθετες όφειλαν να το διατυπώσουν πληρέστερα: " Να αποδείξετε ότι υπάρχει το όριο ... και να βρεθεί η τιμή του" αν και πάλι θα δημιουργούσε, κακώς, σύγχυση, αφού κάποιοι υποψήφιοι θα σκέφτονταν ότι η λύση τους δεν είναι πλήρης.
ΑΠό την άλλη αποτελεί σχεδόν στερεοτυπικη έκφραση το "να βρεθεί" ή "να υπολογιστεί" υπονοώντας ότι πρέπει και να εξεταστεί η ύπαρξη. Δεν πιστεύω πάντως ότι μπορεί να παρασύρει έναν υποψήφιο σε λάθος. Κάποιος μαθητής που έχει τέτοιες αναζητήσεις σίγουρα θα το είχε συζητήσει με τους καθηγητές του και θα είχε αποδεχτεί την οιονεί σύμβαση της έκφρασης "να υπολογιστεί".

#99

Θανάσης Νικολόπουλος έγραψε:Αν όμως θέλουμε να εξετάσουμε την ύπαρξη ενός ορίου, τότε η εκφώνηση θα λέει κατι σαν "να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο της f(x) στο ..." όπου τονίζω ότι δεν γράφουμε το lim αλλά το αναφέρουμε περιγραφικά!

Αυτό δεν ισχύει πάντως στη βιβλιογραφία... Σε ένα σωρό βιβλία βλέπω να γράφουμε $\lim$ απλά για να κάνουνε αναφορά στο όριο χωρίς να προϋποθέτουν την ύπαρξή του. Με το ίδιο ακριβώς σκεπτικό που γράφει κανείς να εξεταστεί η σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}}$ ως προς τη σύγκλιση. Η σειρά μπορεί να μη συγκλίνει, αλλά με κάποιο τρόπο θα πρέπει να γίνει αναφορά σε αυτήν.

G.Tsikaloudakis · #100

Λυση (πακέτο) των Δ1,Δ2 :

${\Delta _1}$ , ${\Delta _2}$ :
Θέτουμε u = x + t

, $x \in R$
και τα ολοκληρώματα:
$\int_{_{_{{\rm{ }}0}}}^{^{^{ - x}}} {\frac{{{e^{2t}}}}{{g(x + t)}}dt}$ , ${\rm{ }}\int_{_{_{{\rm{ }}0}}}^{^{^{ - x}}} {\frac{{{e^{2t}}}}{{f(x + t)}}dt}$ , $x \in R$
γίνονται:
$\int_{_{_{{\rm{ }}0}}}^{^{^{ - x}}} {\frac{{{e^{2t}}}}{{g(x + t)}}dt} {\rm{ = }}\int_{_{_{{\rm{ x}}}}}^{^{^{{\rm{ }}0}}} {\frac{{{e^{2u - 2x}}}}{{g(u)}}du} = \frac{1}{{{e^{2x}}}}\int_{_{_{{\rm{ x}}}}}^{^{^{{\rm{ }}0}}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{g(u)}}du}$
και
$\int_{_{_{{\rm{ }}0}}}^{^{^{ - x}}} {\frac{{{e^{2t}}}}{{f(x + t)}}dt} {\rm{ = }}\int_{_{_{{\rm{ x}}}}}^{^{^{{\rm{ }}0}}} {\frac{{{e^{2u - 2x}}}}{{f(u)}}du} = \frac{1}{{{e^{2x}}}}\int_{_{_{{\rm{ x}}}}}^{^{^{{\rm{ }}0}}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{f(u)}}du}$
Οπότε οι $ii.{\rm{ }},{\rm{ }}iii.$ γίνονται:
${\rm{ }}\frac{{{\rm{1}} - {\rm{f(x)}}}}{{{e^{2x}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{e^{2x}}}}\int_{{{\rm{ }}_x}}^{^{^0}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{g(u)}}du}$ $\Leftrightarrow$
${\rm{ 1}} - {\rm{f(x) = }}\int_{{{\rm{ }}_x}}^{^{^0}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{g(u)}}du}$ (1)
${\rm{ }}\frac{{{\rm{1}} - g{\rm{(x)}}}}{{{e^{2x}}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{e^{2x}}}}\int_{{{\rm{ }}_x}}^{^{^0}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{f(u)}}du}$ \displaystyle{\Leftrightarrow} ${\rm{ 1}} - g{\rm{(x) = }}\int_{{{\rm{ }}_x}}^{^{^0}} {\frac{{{e^{2u}}}}{{f(u)}}du}$ (2)
Από τις (1) , (2) με παραγώγιση έχουμε:
${\rm{ f'(x) = }}\frac{{{e^{2x}}}}{{g(x)}}$ και ${\rm{ g'(x) = }}\frac{{{e^{2x}}}}{{f(x)}}$ , οπότε
${\rm{ f'(x)}}g(x){\rm{ + f(x)}}g'(x){\rm{ = }}2{e^{2x}}$ (3)
Άρα ${\rm{ f(x)}}g(x)$ ${\rm{ = }}{e^{2x}} + c$ και επειδή ${\rm{ f(0) = }}g(0){\rm{ = 1}}$ , έχουμε c = 0

, οπότε ${\rm{ f(x)}}g(x)$ ${\rm{ = }}{e^{2x}}$
Άρα ${\rm{ f(x)}} = \frac{{{e^{2x}}}}{{g(x)}}$ και η (1) γίνεται: ${\rm{ 1}} - {\rm{f(x) = }}\int_{{{\rm{ }}_x}}^{^{^0}} {f(t)dt}$ , άρα:
${\rm{ f'(x) = }}f(x)$ , οπότε ${\rm{ f(x) = c}}{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$ , με ${\rm{ f(0) = 1}}$ , οπότε ${\rm{ f(x) = }}{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$ .
Όμοια, από την (2) , βρίσκουμε ${\rm{ g(x) = }}{{\rm{e}}^{\rm{x}}}$ .

Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Re: Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2011

Μέλη σε σύνδεση