Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Eukleidis · #1

1.Βρείτε όλους τους ακέραιους x,y,z,m έτσι ώστε η παράσταση να είναι ρητός αριθμός:

$\displaystyle{A = \sqrt {\tfrac{{{4^x} + {4^y} + {4^z}}}{{{m^2} - 2500}}} }$

2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ με $\displaystyle{f\left( \nu \right)}$ να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. $\displaystyle{f\left( 3 \right) = 1}$ δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α) $\displaystyle{f\left( {2009} \right) > f\left( {2006} \right)}$
β) $\displaystyle{f\left( {2010} \right) = f\left( {2007} \right)}$

#2

Υπόδειξη για το 2ο: Υπάρχει λύση 2-3 γραμμών...

tasosty · #3

2.α) Aν (α,β,γ) τριάδα του f(2006)=>(α+1,β+1,γ+1) τριάδα του f(2009)=>f(2009)>=f(2006)
η ισότητα απορίπτεται από την ύπαρξη της τριάδας (1004,503,502) του f(2009) ενώ η (1003,502,501) δεν είναι τριάδα του f(2006)
b)με τον ίδιο τρόπο f(2010)>=f(2007),αλλά δουλεύοντας ανάποδα για τις τριάδες (α,β,γ) και (α-1,β-1,γ-1) διαπιστώνει κανείς ότι f(2010)<=f(2007)
=> f(2010)=f(2007)

Eukleidis · #4

Eπαναφορά..

#5

Eukleidis έγραψε: 2. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ με $\displaystyle{f\left( \nu \right)}$ να μας δίνει το πλήθος των τριγώνων με μήκη πλευρών ακέραιο αριθμό και περίμετρο ν, για κάθε φυσικό ν με ν>=3(π.χ. $\displaystyle{f\left( 3 \right) = 1}$ δηλαδή το τρίγωνο με πλευρές (1,1,1))
Να αποδείξετε ότι
α) $\displaystyle{f\left( {2009} \right) > f\left( {2006} \right)}$
β) $\displaystyle{f\left( {2010} \right) = f\left( {2007} \right)}$

Έχει τεθεί και σε ολυμπιάδα της Ινδίας.
Δείτε:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 41&t=55427&
http://olympiads.hbcse.tifr.res.in/uplo ... o-sol-2000

Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Re: Διαγωνισμός επιλογής Κύπρου (2 Προβλήματα)

Μέλη σε σύνδεση