Περιεργο ολοκληρωμα

Orca · #1

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle\int{\frac{e^{\cot{x}}}{\cos^2x}}\, dx$

Μεταφέρθηκε σήμερα το πρωί από "χέρι σε χέρι" στο σχολείο..

#2

Orca έγραψε:Να υπολογισθει το ολοκληρωμα:

$\displaystyle\int{\frac{e^{\cot{x}}}{\cos^2x}} \,dx$

Mεταφερθηκε σημερα το πρωι απο "χερι σε χερι" στο σχολειο..

Μήπως κατα την μεταφορά από "χέρι σε χέρι" άλλαξε μορφή ;

Γιατί, νομίζω, ότι το $\displaystyle\int{\frac{e^{\sigma\varphi{x}}}{\sigma\upsilon\nu^2{x}}\,dx}$ δεν εκφράζεται με κλειστή μορφή στοιχειωδών συναρτήσεων.

#3

Μάλλον υπάρχει κάποιο πρόβλημα. Το αόριστο ολοκλήρωμα σίγουρα δεν δεν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις:

Πιο συγκεκριμένα κάνοντας την αντικατάσταση $y = \cot(x)$ έχουμε

$\displaystyle{ \int \frac{e^{\cot(x)}}{\cos^2(x)} \; dx = \cdots = \int - \frac{e^y}{y^2} \; dy}$

Το τελευταίο είναι από τα "γνωστά" ολοκληρώματα που δεν μπορούν να εκφρασθούν χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις.

Orca · #4

Όχι κ. grigkost σίγουρα έτσι είναι, το επιβεβαιώσαμε!
κ.Demetres αυτό το ολοκλήρωμα το βρήκα πολλές φορές όπως και ένα άλλο της μορφής
$\displaystyle\int{\frac{1}{lnx}}dx$ έπειτα από αντικαταστάσεις αλλά δεν ήξερα πως να συνεχίσω..
και δηλαδή αφού δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις πως ακριβώς εκφράζεται; Ή είναι του τύπου "ξέρουμε ότι υπάρχει, αλλά δεν μπορούμε να το βρούμε"; Όπως πχ με την αντιστροφή της f(x)= x^3 + x +1

#5

$\displaystyle\int{\frac{e^{\cot{x}}}{\cos^2{x}}\,dx}=\tan{x}\,e^{\cot{x}}+{\rm{Ei}}({\cot{x}})+c$ , όπου ${\rm{Ei}}({x})=\displaystyle\int_{x}^{+\infty}{\frac{e^{-t}}{t}\,dt}$ .

Τόσο το παραπάνω ολοκλήρωμα όσο και το $\displaystyle\int{\frac{1}{\ln{x}}\,dx}$ , το οποίο, επίσης, δεν εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις, δεν πρέπει να απασχολούν μαθητές Γ' Λυκείου καθόλου. Άλλωστε τα παραπάνω είναι μόνο δύο από τα πάρα πολλά ολοκληρώματα που δεν εκφράζονται με στοιχειώδεις συναρτήσεις, αλλά με ειδικές συναρτήσεις.

Υ.Γ. Δύο ακόμα "γνωστά" ολοκληρώματα αυτής της κατηγορίας είναι τα $\displaystyle\int{\frac{e^{x}}{x}\,dx}$ και $\displaystyle\int{e^{x^2}\,dx}$ .

#6

Orca έγραψε: και δηλαδη αφου δεν εκφραζεται με στοιχειωδη συναρτησεις πως ακριβως εκφραζεται? η' ειναι του τυπου "ξερουμε οτι υπαρχει, αλλα δεν μπορουμε να το βρουμε"? οπως πχ με την αντιστροφη της

Ακριβώς έτσι. Υπάρχει αλλά δεν μπορούμε να το "βρούμε" μόνο με χρήση λογαρίθμων,εκθετικών,τριγωνομετρικών συναρτήσεων κ.τ.λ. Επειδή όμως εμφανίζεται συχνά του δίνουμε ένα όνομα. Ορίζουμε π.χ. όπως έκανε ο Γρηγόρης πιο πάνω το Ei(x)

. Με την βοήθεια αυτού μπορούμε τώρα να βρούμε αρχικές για τα e^x/x,e^x/x^2,e^x/x^3

κ.τ.λ.

Orca · #7

@ grigkost Καλα, σίγουρα δεν πρέπει να μας απασχολούν αλλά βλέπετε, εμένα προσωπικά μου αρέσει το αντικείμενο αρκετά και όταν εμφανίζεται κάτι τέτοιο νιώθω πως πρέπει να το ψάξω

@demetres ααα μάλιστα

έχω δει όμως μερικά τέτοια ολοκληρώματα να τα υπολογίζουν με αναπτύγματα Taylor, στην προκειμένη περίπτωση άμα γράψουμε το e^y

στο ολοκλήρωμα που εμφανίζεται μετά ως άπειρο άθροισμα, θα καταλήξουμε στην Ei(x)

?

σας ευχαριστώ πάντως και τους δυο για την πολύτιμη βοήθεια

Περιεργο ολοκληρωμα

Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Re: Περιεργο ολοκληρωμα

Μέλη σε σύνδεση