SEEMOUS 2011

Nick1990 · #1

Άυριο τα παιδιά της εθνικής ομάδας και των άλλων Ελληνικών ομάδων αναχωρούν για το Βουκουρέστι της Ρουμανίας όπου θα διεξαχθεί ο διαγωνισμός την Παρασκευή.

Να ευχηθούμε καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά, ανάμεσα στα οποία βρήσκονται και αρκετά μέλη του φόρουμ.

Άνοιξα το θέμα για να γράψουμε εδώ τα θέματα μετά το διαγωνισμό, να προτείνουμε λύσεις, και να συγχαρούμε όλα τα παιδιά για την προσπάθειά τους και για τα μετάλια που πιστεύω πως θα φέρουνε.

Αναμένετε ο διαγωνισμός να είναι αρκετά πίο απαιτητικός από τους δύο προηγούμενους, καθώς θα υπάρχουν εθνικές ομάδες από τη Ρωσία και την Ουκρανία

#2

Καλό ταξίδι και καλή επιτυχία στα παιδιά !

Μπάμπης

#3

Καλή επιτυχία σε όλους σας.

#4

Εύχομαι καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά!

Νίκος

#5

Εύχομαι "καλά μετάλλια", "καλά Μαθηματικά", "καλές γνωριμίες".

Έχω διατελέσει μέλος της επιστημονικής επιτροπής σε δύο παλαιότερους SEEMOUS και η εμπειρία θα μου μείνει αξέχαστη. Πρωτίστως όμως βάζω πάνω από όλα την γνωριμία μου με παιδιά που σήμερα γράφουν λαμπερά μηνύματα στον ιστότοπό μας.

Καλή τύχη (αν και δεν την χρειάζεστε) και χαιρετίσματα στον συνοδό σας, τον φίλο και άξιο μαθηματικό, Αχιλλέα Τερτίκα, Καθηγητή στο Μαθηματικό Κρήτης.

Φιλικά,

Μιχάλης

dement · #6

Πολλές ευχές και από εμένα και καλά να περάσετε.

Δημήτρης Σκουτέρης

#7

Καλή επιτυχία στην ομάδα και καλή παραμονή στο Βουκουρέστι !

Μπάμπης

Nick1990 · #8

Ο διαγωνισμος τελειωσε πριν απο λιγο. Καλα αποτελεσματα σε ολους. Τωρα περιμενουμε τα θεματα

Συγνωμη για τους τονους. Γραφω απο καπου οπου δεν εχω αυτη τη δυνατοτητα

Nick1990 · #9

Δεν ξέρω κατα πόσο είναι έγκυρη η πηγή, αλλά σύμφωνα με όσα λέει αυτά είναι τα θέματα:

http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-1/

http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-2/

http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-3/

http://mathproblems123.wordpress.com/20 ... problem-4/

Μια γρήγορη αντιμετώπιση για το πρώτο:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#10

Μια σύντομη λύση για την (2):

Παρατηρούμε ότι $a_{ii} = 0$ για κάθε

και άρα αναγκαστικά $n \geqslant 2$

Έστω $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του

. Τότε

$\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = tr(A^2) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} \leqslant 0$ .

Αν όλα τα $\lambda_i$ είναι πραγματικοί, τότε πρέπει να ισούνται με 0. Αυτό όμως δίνει A^n = 0

, άτοπο. Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

έχει τουλάχιστον μία μη πραγματική ρίζα και άρα (αφού είναι πραγματικό πολυώνυμο) τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη πραγματικές ρίζες. Εφ' όσων είναι διαφορετικές, και οι δύο πρέπει να δίνουν από μία μη πραγματική ιδιοτιμή.

Nick1990 · #11

Χτες βράδυ βρήκα και μια λύση για το 4ο, αλλά πιστεύω πως ισως να είναι και λάθος γιατί δε χρησημοποιώ το C^2

... Για να δούμε:

Αν

σταθερή τότε είναι προφανές, υποθέτουμε f(1) > f(0)

Ορίζω

την παράγουσα με F(0) = 0

(ολοκλήρωμα από 0 μέχρι

)
Γράφουμε:
[a_n, b_n]

για το ενδιάμεσο διάστημα και
$I = F(1) - F(0) = F(1) - F(\frac{n-1}{n}) + F(\frac{n-1}{n}) - ... - F(0)$
Και από ανάπτυγμα Taylor:
$F(\frac{i}{n}) - F(\frac{i-1}{n}) = \frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) + \frac{1}{2n^2}f'(j_i)$
οπότε είναι εύκολο να δούμε ότι:
$n(I - a_n) = -\frac{1}{3}(f(1) - f(0)) + \frac{1}{2}R_n \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(f(1) - f(0)) > 0$
που ολοκληρώνει την απόδειξη για το κάτω άκρο, με το R_n

να είναι άθροισμα Riemann για την

στο

και επομένως πάει στο f(1) - f(0)

.

Για το άλλο άκρο έχουμε ομοίως:
$n(I - b_n) \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})(f(1) - f(0)) < 0$
και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Χάνω πουθενά???

#12

Νίκο, δεν βλέπω τίποτα λάθος.

Νομίζω ότι η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν χωρίσουμε το [L_n,U_n]

σε περιττό αριθμό διαστημάτων, τότε για αρκετά μεγάλο

το $\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx}$ θα βρίσκεται στο μεσαίο διάστημα.

Nick1990 · #13

Αν η παρακάτω πηγή είναι έγκυρη, τότε μιλάμε για Ελληνικό θρίαμβο στα μαθηματικά:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4#p2195614

2 ΧΡΥΣΑ:
Ηλίας Ζαδίκ (Ilias_Zad) - τμημα Μαθηματικών ΕΚΠΑ
Γιώργος Μοσχίδης (george13) - ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ

Ελπίζω πως ανάμεσα στους υπόλοιπους θα υπάρχουν και άλλα μετάλια, αργυρά η χάλκινα!!!

Eukleidis · #14

http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=753&t=8467

2

2

Πολλα συγχαρητήρια!

#15

Πολλά συγχαρητήρια.

#16

Πολύ καλά νέα!

Πολλά συγχαρητήρια!!

#17

Τα θέματα στα ελληνικά:

Θέμα 1ο

Δίνονται ακέραιος $n \geqslant 1$ και μη φθίνουσα συνάρτηση $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ . Να αποδειχθεί ότι
$\displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx \leqslant (n+1) \int_0^1 x^n f(x) \; dx. }$
Να βρεθούν όλες οι μη φθίνουσες συνεχείς συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει η ισότητα.

Θέμα 2ο

Έστω $A = (a_{ij})$ πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε $A^n \neq 0$ και $a_{ij}a_{ji} \leqslant 0$ για κάθε i,j

. Να δειχθεί ότι ο

έχει τουλάχιστον δύο μη πραγματικές ιδιοτιμές.

Θέμα 3ο

Δίνονται διανύσματα $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ . Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{ (\|\mathbf{a}\|(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}))^2 + (\|\mathbf{b}\|(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}))^2 \leqslant \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|^2 (\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|) }$

Θέμα 4ο

Έστω $f :[0,1]\to \mathbb{R}$ αύξουσα συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Ορίζουμε ακολουθίες

$\displaystyle{L_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)}$ και

$\displaystyle{U_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}$

για $n \geqslant 1$ . Διαιρούμε το διάστημα [L_n,U_n]

σε τρία ίσα τμήματα. Να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο

o αριθμός $\displaystyle{I= \int_0^1 f(x) \; dx}$ ανήκει στο μεσαίο από αυτά τα τμήματα.

#18

Καλησπέρα!
Γράφω με σερνόμενη σύνδεση...
Μπράβο στα παιδιά!
Μπράβο στον Ηλία, του οποίου έτσι κι αλλιώς είμαι θαυμαστής!
Ηλία πάντα επιτυχίες!

hsiodos · #19

Μπράβο σε όλα τα παιδιά και σε όσους τα βοήθησαν στην προετοιμασία.

Συγχαρητήρια στον Ηλία , πάντα τέτοια!

Γιώργος

Nick1990 · #20

Μολις μίλησα με τον Ηλία στο τηλέφωνο. Εκτώς του ότι πήρε χρυσό, πέτυχε μια διάκριση που δεν έχει ξαναπετύχει Έλληνας φοιτητής/μαθητής:
πήρε την πρώτη θέση του διαγωνισμού με Perfect Score, δηλαδή 4/4 θέματα
O Γιώργος ο Μοσχίδης είχε κοντά στα 3 θέματα, και πήρε χρυσό με 28/40.

SEEMOUS 2011

SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Re: SEEMOUS 2011

Μέλη σε σύνδεση