φραγμένη f' συνάρτηση

[KapioPulsar]

Υπάρχει συνάρτηση διαφορίσιμη f:[0,1] -> |R όπου η f' είναι φραγμένη συνάρτηση αλλά να μην είναι Riemann ολοκληρώσιμη.?

[qwerty]

δεν νομίζω...αφού αν η f' είναι φραγμενη στο [0,1] (βασικά αρκεί να είναι φραγμένη στο (0,1) ) είναι λιπτσιζ συνεχής,αρα ομοιόμορφα συνεχής αρα συνεχής οπότε ειναι ολοκληρώσιμη...

[Mihalis_Lambrou]

δεν νομίζω...αφού αν η f' είναι φραγμενη στο [0,1] (βασικά αρκεί να είναι φραγμένη στο (0,1) ) είναι λιπτσιζ συνεχής,αρα ομοιόμορφα συνεχής αρα συνεχής οπότε ειναι ολοκληρώσιμη...

qwerty, υποθέτω ότι η ερώτηση είναι για το αν η f΄είναι ολοκληρώσιμη. Για την f το ερώτημα είναι τετριμμένο (ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής, άρα ολοκληρώσιμη) χωρίς να επικαλεστούμε "δύσκολα" πράγματα όπως λίπτσιζ συνέχεια.

Μ.

[qwerty]

δεν νομίζω...αφού αν η f' είναι φραγμενη στο [0,1] (βασικά αρκεί να είναι φραγμένη στο (0,1) ) είναι λιπτσιζ συνεχής,αρα ομοιόμορφα συνεχής αρα συνεχής οπότε ειναι ολοκληρώσιμη...

qwerty, υποθέτω ότι η ερώτηση είναι για το αν η f΄είναι ολοκληρώσιμη. Για την f το ερώτημα είναι τετριμμένο (ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής, άρα ολοκληρώσιμη) χωρίς να επικαλεστούμε "δύσκολα" πράγματα όπως λίπτσιζ συνέχεια.

Μ.

ωχ ναι αλλα αντι αλλων βλεπω

[s.kap]

δεν νομίζω...αφού αν η f' είναι φραγμενη στο [0,1] (βασικά αρκεί να είναι φραγμένη στο (0,1) ) είναι λιπτσιζ συνεχής,αρα ομοιόμορφα συνεχής αρα συνεχής οπότε ειναι ολοκληρώσιμη...

qwerty, υποθέτω ότι η ερώτηση είναι για το αν η f΄είναι ολοκληρώσιμη. Για την f το ερώτημα είναι τετριμμένο (ως παραγωγίσιμη είναι συνεχής, άρα ολοκληρώσιμη) χωρίς να επικαλεστούμε "δύσκολα" πράγματα όπως λίπτσιζ συνέχεια.

Μ.

Μιχάλη, στο βιβλίο τους "A second course on Real Functions" οι van Rooij και Schikhof δίνουν κατασκευή συνάρτησης παραγωγίσιμης στο[0,1] με φραγμένη παράγωγο, η οποία παράγωγος δεν είναι Riemmann ολοκληρώσιμη. Η μεταφορά όμως του παραδείγματος στο φόρουμ απαιτεί αρκετό χρόνο. Θα το κάνω λοιπόν όταν βρω ευκαιρία. Αν από τον κανονισμό του επιτρέπεται μπορώ να το σκανάρω και να το περάσω ως συνημμένο.
Φιλικά

[emouroukos]

Τέτοια συνάρτηση υπάρχει! Η κατασκευή που έχω υπόψη μου βρίσκεται στο βιβλίο "Απειροστικός Λογισμός ΙΙα" των Σ. Νεγρεπόντη, Σ. Γιωτόπουλου και Ε. Γιαννακούλια (Άσκηση 18-112, σελ. 38-39) και είναι αρκετά περίπλοκη.

Υπάρχουν ακόμη πιο "παθολογικά" παραδείγματα. Για παράδειγμα, υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση τέτοια, ώστε η να είναι φραγμένη και ασυνεχής σχεδόν παντού στο , οπότε η δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη σε κανένα κλειστό υποδιάστημα του .

----

Βαγγέλης Μουρούκος