Ανοιχτό πρόβλημα

#1

Με αφορμή τις πολλές λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα: " Να γραφεί ο αριθμός 31 χρησιμοποιώντας 5 τριάρια" , θέτω το εξής ΑΝΟΙΧΤΟ πρόβλημα: Υπάρχει αριθμός ανάμεσα στο 1 και στο 31 που να μην μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας πέντε τριάρια;

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Με αφορμή τις πολλές λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα: " Να γραφεί ο αριθμός 31 χρησιμοποιώντας 5 τριάρια" , θέτω το εξής ΑΝΟΙΧΤΟ πρόβλημα: Υπάρχει αριθμός ανάμεσα στο 1 και στο 31 που να μην μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας πέντε τριάρια;

Δεν έχουμε παρά να σαρώσουμε τους αριθμούς από το 1 στο 31. Αρχίζω με τους πρώτους 10, και ας συνεχίσουν οι υπόλοιποι:

$\displaystyle 1 = 3 -\frac {3}{3}-\frac {3}{3}= \frac {3+3}{3}- \frac {3}{3}$

$\displaystyle2 = 3\times \frac {3}{3}- \frac {3}{3} = \frac {33}{3}-3\times3 = 3+3-3-\frac {3}{3}= 3- \frac {33}{33}$

$\displaystyle3 = 3-3+3-3+3 = \frac {3+3}{3} + \frac {3}{3}= \frac {3+3+3}{3}-3$

$\displaystyle4 = 3+\frac {3\times3}{3\times3} = \frac {33+3}{3\times 3}= 3+3-3+\frac {3}{3}= 3 + \frac {33}{33}$

$\displaystyle5= \frac {33}{3} -3-3 = 3 + \frac {3}{3}+\frac {3}{3}$

$\displaystyle6= 3\times3 -3+3-3 = \frac {3+3+3}{3}+3 = 33-3\times3\times3$

$\displaystyle7= \frac {3\times3 + 3}{3} +3 = \frac {33-3}{3}-3 = 3\times3-\frac {3+3}{3}$

$\displaystyle8= 3+3 + 3 -\frac {3}{3}= 3+3+\frac {3+3}{3}$

$\displaystyle9= 3\times3+3-3=3 +3+ 3\times \frac {3}{3} =\frac {3\times3 + 3\times3}{3} = \frac {33-3-3}{3}$

$\displaystyle10 = \frac {33}{3}- \frac {3}{3} = \frac {3+3\times3\times3}{3}$

Καλή συνέχεια...

Μ.

Υ.Γ. Δεν χρησιμοποίησα παρενθέσεις, εκθέτες ή παραγοντικά. Με χρήση τους, η ποικιλία γραφής αυξάνει κατά πολύ.

irakleios · #3

γράφω τους πρώτους 10

1 = $3^{3-3+3-3}$

2 = $3^{3-3} + 3:3$

3 = 3 - 3 + 3 - 3 + 3

4 = (3*3)/3 + 3:3

5 = 3 + 3:3 + 3:3

6 = 3 - 3 + 3 - 3 + 3!

7 = $3 + 3 + 3^{3-3}$

8 = 3*3 - $3^{3-3}$

9 = 3^3:3 + 3- 3

10 = $(3^{3} - 3!)/3 + 3$

irakleios · #4

χαχαχαχα μάλλον αρχίσαμε ταυτόχρονα από τους 10 πρώτους!! χαχαχαχχαχα

#5

Το παλεύω από τότε που το έθεσα και μόλις τώρα τελείωσα. ΚΑΘΕ ΑΡΙΘΜΟΣ από το 1 μέχρι κσι το 31 γράφεται αν χρησιμοποιήσουμε 5 τριάρια. Τώρα γεννιέται ένα άλλο ενδιαφέρον ερώτημα: Αν όλοι οι αριθμοί από το 1 μέχρι τον μέγιστο αριθμό που μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας 5 τριάρια, μπορούν ομοίως να γραφούν. (Αλήθεια, ποιός να είναι αυτός ο μέγιστος αριθμός; Σίγουρα θέλει αρκετή σκέψη)

#6

Νομίζω ότι βρήκα ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας 5 τριάρια (και όλες τις πράξει), αλλά δεν γνωρίζω πως να τον γράψω (δεν ξέρω ακόμα να γράφω μαθηματικά σύμβολα).
Θεωρώ ότι είναι ο (3!)(εις την (3! εις την(3! εις την (3! εις την 3!))))
Ας τον γράψει κάποιος με τον σωστό συμβολισμό (Μέχρι να μάθω την Latex)
Οσο για την υπόλοιπη έρευνα, νομίζω ότι δεν είναι στην εμβέλειά μας.

irakleios · #7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Νομίζω ότι βρήκα ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να γραφεί χρησιμοποιώντας 5 τριάρια (και όλες τις πράξει), αλλά δεν γνωρίζω πως να τον γράψω (δεν ξέρω ακόμα να γράφω μαθηματικά σύμβολα).
Θεωρώ ότι είναι ο (3!)(εις την (3! εις την(3! εις την (3! εις την 3!))))
Ας τον γράψει κάποιος με τον σωστό συμβολισμό (Μέχρι να μάθω την Latex)
Οσο για την υπόλοιπη έρευνα, νομίζω ότι δεν είναι στην εμβέλειά μας.

και γιατί να μην είναι αυτός ο μέγιστος :

$3^{3333!}$ ;

και άμα του βάλω παραγοντικό το κάνω μεγαλυτερο : $3^{3333!}!$

#8

Μάλλον θα χάσουμε λίγο από τον ύπνο μας, αλλά αξίζει να το δούμε. Μόλις το μελετήσω θα απαντήσω.

irakleios · #9

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Μάλλον θα χάσουμε λίγο από τον ύπνο μας, αλλά αξίζει να το δούμε. Μόλις το μελετήσω θα απαντήσω.

υπάρχουν και άλλες πιθανές απαντήσεις ..χμμμ δύσκολο....

#10

Τελικά θέλει πολύ σκέψη το θέμα!!! Ας δούμε και άλλες απόψεις αύριο. Θα το κοιτάξω με λιγότερα τριάρια και ίσως να βγάλλω άκρη με τα πέντε.

#11

Ίσως κάνω λάθος, αλλά πιο μεγάλος μου μοιάζει ο 33333!

#12

Δεν θέλει συζήτηση!!! Όποιος βιάζεται σκοντάφτει. Πρέπει να υπάρχουν και πολύ μεγαλύτεροι!!!!
π.χ (3^(3^(3^(3^(3))))! Και ποιος ξέρει και πόσοι ακόμα μπορούν να βρεθούν!!!!!!

#13

Λοιπόν, αν δεν το έβρισκα, αποκλείεται να κοιμώμουνα. ΠΡΟΦΑΝΩΣ είναι το + άπειρο!!!!
(...(33333)!)! ...!)!...

irakleios · #14

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Λοιπόν, αν δεν το έβρισκα, αποκλείεται να κοιμώμουνα. ΠΡΟΦΑΝΩΣ είναι το + άπειρο!!!!
(...(33333)!)! ...!)!...

χμμμ νομίζω περισσότερο ενδιαφέρον(για να μην κοιμώμαστε ποτε

) θα έχει να βρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό ώστε να μην υπάρχουν δύο διαδοχικά παραγοντικά στην ίδια σειρά , δηλ να μην δούμε κάτι τέτοιο !)! στην ίδια σειρά.

Κώστας Μαλλιάκας · #15

Μια ιδέα για να βγάλουμε άκρη μήπως πρέπει να βρούμε τον μέγιστο αριθμό με ταυτόχρονο περιορισμό να γράφονται και όλοι οι προηγούμενοι θετικοί ακέραιοι από αυτόν με 5 τριάρια ώστε να μην αφήνουμε κενό στην σειρά αυτή;

#16

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε:Μια ιδέα για να βγάλουμε άκρη μήπως πρέπει να βρούμε τον μέγιστο αριθμό με ταυτόχρονο περιορισμό να γράφονται και όλοι οι προηγούμενοι θετικοί ακέραιοι από αυτόν με 5 τριάρια ώστε να μην αφήνουμε κενό στην σειρά αυτή;

Στην πράξη δεν γίνεται αυτό. Μιλάμε για πολλά δισεκατομμύρια δισεκατομμυρίων αριθμών.

Μια πιο πρακτική ιδέα είναι να γράψουμε με 5 τριάρια όλους τους αριθμούς μέχρι, π.χ., τον 100 (και πολλά είναι...).

Μ.

#17

Νομίζω ότι για να βγάλουμε άκρη, θα πρέπει να εξαιρέσουμε το σύμβολο ! (παραγοντικό) από το πρόβλημα (που άλλωστε δεν το γνωρίζουν οι μαθητές της Α Γυμνασίου). Έτσι, χωρίς αυτό το σύμβολο, ίσως ο μεγαλύτερος αριθμός που έχει 5 τριάρια να είναι ο 3(^3(^3^(3^(3)))) (αν τον συμβόλισα σωστά). Και τότε δεν νομίζω ότι θα μπορούμε οποιονδήποτε αριθμό μικρότερο από αυτόν, να τον γράφουμε χρησιμοποιώντας μόνο 5 τριάρια.

#18

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:Νομίζω ότι για να βγάλουμε άκρη, θα πρέπει να εξαιρέσουμε το σύμβολο ! (παραγοντικό) από το πρόβλημα (που άλλωστε δεν το γνωρίζουν οι μαθητές της Α Γυμνασίου). Έτσι, χωρίς αυτό το σύμβολο, ίσως ο μεγαλύτερος αριθμός που έχει 5 τριάρια να είναι ο 3(^3(^3^(3^(3)))) (αν τον συμβόλισα σωστά). Και τότε δεν νομίζω ότι θα μπορούμε οποιονδήποτε αριθμό μικρότερο από αυτόν, να τον γράφουμε χρησιμοποιώντας μόνο 5 τριάρια.

Μερικές σκέψεις:

Ο αριθμός $3^{3^{3^{3^{3}}}}$ είναι πραγματικά τεράστιος: Είναι $3^3 = 27, 3^{3^3}= 3^{27} = 7625597484987$ και τρέμω να βρω τον $A= 3^{3^{3^3}} = 3^{7625597484987}$ , πόσο μάλλον τον B= 3^A

. Με λογαρίθμους ως προς βάση 10 μπορούμε να εκτιμήσουμε το μέγεθός του. Αυτό είναι απλό, αλλά δεν έκανα τις πράξεις.

Διαισθητικά, λόγω μεγέθους, δεν περιμένει κανείς μπορούν να γραφούν όλοι οι αριθμοί μέχρι τον Β με πέντε τριάρια. Π.χ. ο Β-1 δεν φαίνεται ότι γράφεται γιατί είναι τόσο κοντά στον Β (που χρησιμοποιεί και τα πέντε τριάρια) που δεν μπορείς να του βγάλεις ένα τριάρι (για να το χρησιμοποιήσεις αλλιώς) και να μην μικρύνει δραστικά.

Όμως αυτό δεν είναι απόδειξη! Και δεν ξέρω πώς θα το αποδείξει κανείς!

Υποθέτω πρέπει να εργαστούμε με εκτιμήσεις και να προσδιορίσουμε ένα άνω φράγμα αριθμών που γράφονται με 5 τριάρια. Η αρχή του συλλογισμού θα είναι:

Με δύο τριάρια πόσους αριθμούς γράφουμε; Τους τάδε (πλήρης καταγραφή) : 3+3, 3-3. 3x3, 3:3, 3^3, 33.
Με τρία τριάρια: Αυτό σημαίνει ότι τα δύο από τα τρία είναι "ένα πακέτο" από τους προηγούμενους 6 επί όλες τις δυνατές θέσεις που πλαισιώνεται από άλλο ένα τριάρι. Ίσον ... τόσο το πολύ (λόγω επαναλήψεων).
Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία με άλλο ένα τριάρι και μετά, με το τελευταίο.
Συνεπώς έχουμε "τόσους το πολύ" αριθμούς. Τέλος συγκρίνουμε με τον Β.
Αν ο Β πέσει μικρός σε σύγκριση, εξετάζουμε το ίδιο πρόβλημα με πέντε τεσσάρια, η πέντε πεντάρια και ούτω καθ ’ εξής των οποίων ο αντίστοιχος Β μεγαλώνει πολύ.

Ποιος ξέρει. Υπάρχει κανείς φανατικός; Αξίζει πάντως να το κάνει κανείς εργασιούλα για Συνέδριο.

$\displaystyle \Phi ^{\iota^{\lambda^{\iota ^{\kappa ^{\alpha}}}}}$

Μιχάλης

#19

Συνφωνώ Μιχάλη, είναι μια καλή πρώτη προσέγγιση του θέματος. Η πλήρης διερεύνησή του ίσως ξεφεύγει από τα πάίσια των δυνατοτήτων μας

#20

Αν ακόμη επιτρέψουμε τον συμβολισμό του Knuth τότε μπορούμε να φτιάξουμε απίστευτα μεγάλους αριθμούς όπως ο $\displaystyle{ 3 \uparrow^{333}3}$ .

Ο $3 \uparrow 3$ ισούται με 3^3 = 27

O $3 \uparrow \uparrow 3$ ισούται με $3 \uparrow (3 \uparrow 3) = 3^{27} = 7625597484987$ . (Ο $a \uparrow b$ ορίζεται ως $a \uparrow (a \uparrow(\cdots \uparrow a))$ , όπου εμφανίζονται ακριβώς

αριθμοι

, και άρα ακριβώς b-1

τόξα.)
Ο $3 \uparrow \uparrow \uparrow 3$ ισούται με $3 \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow 3) = 3\uparrow\uparrow(7625597484987) = 3^{3^{3^{..^3}}}$ όπου συνολικά εμφανίζονται

τριάρια στον εκθέτη.

Δεν θα τολμήσω καν να γράψω τι συμβαίνει με τέσσερα τόξα πόσο μάλλον με 333 τόξα. Άσε που δεν χρησιμοποίησα καθόλου παραγοντικά και το 333 που έγραψα ήταν επιεικώς μικρό. Θα μπορούσα π.χ. να γράψω $\displaystyle{ 3 \uparrow^{3 \uparrow^3 3} 3}$ , ένας αριθμός που δεν εμφανίζονται πλέον 333 τόξα αλλά $3^{3^{3^{..^3}}}$ τόξα και πάει λέγοντας.

Ανοιχτό πρόβλημα

Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Re: Ανοιχτό πρόβλημα

Μέλη σε σύνδεση