Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

Ωmega Man · #1

Να αποδείξετε ότι για $\bf x\neq 0$ ,
$\displaystyle{\bf \sum_{n=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos\left(\frac{n+1}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}$ . Κατά παρόμοιο τρόπο τι μπορούμε να πούμε για την σειρά

$\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ ;

#2

Ωmega Man έγραψε:Να αποδείξετε ότι για $\bf x\neq 0$ ,
$\displaystyle{\bf \sum_{n=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos\left(\frac{n+1}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}$ . Κατά παρόμοιο τρόπο τι μπορούμε να πούμε για την σειρά

$\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ ;

Από τον τύπο $2\cos(kx)\sin\frac{x}{2}= \sin\frac{(k+1)x}{2} -\sin\frac{(k-1)x}{2}$

βλέπουμε ότι το άθροισμα είναι τηλεσκοπικό. Από κει και πέρα είναι απλό (χρειάζεται να πούμε ακόμη ότι x $\ne n\pi/2$ , όχι μόνο $\ne0$ ).

Όμοια το δεύτερο άθροισμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Αφού ζητούνται τα αθροίσματα

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{n} \cos kx, \ \sum _{k=1}^{n} \sin kx}$ ,

μπορούμε να τα υπολογίσουμε ταυτόχρονα με χρήση μιγαδικών.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{z_{k}=\cos kx +i \sin kx.}$

Είναι

$\displaystyle{z_{1}+z_{1}^2 +...+z_{1}^n=\sum _{k=1}^{n} \cos kx+i\sum _{k=1}^{n} \sin kx.}$

Το άθροισμα αριστερά γράφεται

$\displaystyle{\frac{z_{1}^{n+1}-1}{z_{1}-1}-1=\frac{\cos (n+1)x+i\sin (n+1)x-1}{\cos x+i \sin x-1}-1}$

και γράφοντας αυτόν το μιγαδικό σε καρτεσιανή μορφή και μετά εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη, προκύπτουν οι τύποι

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{n} \cos kx = \frac{\cos \frac{(n+1)x}{2}\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}},}$

$\displaystyle{\sum _{k=1}^{n} \sin kx =\frac{\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}}$

Α.Κυριακόπουλος · #4

Ωmega Man έγραψε:Να αποδείξετε ότι για $\bf x\neq 0$ ,
$\displaystyle{\bf \sum_{n=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos\left(\frac{n+1}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}$ . Κατά παρόμοιο τρόπο τι μπορούμε να πούμε για την σειρά

$\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ ;

Συγνώμη, αλλά το $\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ δεν είναι σειρά. Είναι ένα άθροισμα n προσθετέων, όπου $\displaystyle{n \in {N^ * }}$

#5

Για $n\in\mathbb N$ σταθερό μπορεί να θεωρηθεί ως το άπειρο άθροισμα της ακολουθίας με γενικό όρο $\displaystyle{a_{k}=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ .

Ωmega Man · #6

Συγνώμη, αλλά το $\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ δεν είναι σειρά.

Αυτό δεν θα το σχολιάσω, γιατί και παλιότερα είχα πει και αναγκάστηκα (ανωτέρα βία) να το σβήσω, ότι καλύτερα θα ήταν να ασχολείστε περισσότερο με το μαθηματικό μέρος των διαφόρων προβλημάτων και όχι με το ξεψείρισμα εκφωνήσεων, λεκτικών εκφράσεων , κτλ.

Είναι ένα άθροισμα n προσθετέων, όπου $\displaystyle{n \in {N^ * }}$

δηλαδή αν έγραφα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{-5}\sin(n\cdot x)}$ θέλετε να μου πείτε ότι δεν θα είχε νόημα;

nonlinear · #7

Ωmega Man έγραψε:
Συγνώμη, αλλά το $\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ δεν είναι σειρά.

Αυτό δεν θα το σχολιάσω, γιατί και παλιότερα είχα πει και αναγκάστηκα (ανωτέρα βία) να το σβήσω, ότι καλύτερα θα ήταν να ασχολείστε περισσότερο με το μαθηματικό μέρος των διαφόρων προβλημάτων και όχι με το ξεψείρισμα εκφωνήσεων, λεκτικών εκφράσεων , κτλ.

Είναι ένα άθροισμα n προσθετέων, όπου $\displaystyle{n \in {N^ * }}$

δηλαδή αν έγραφα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{-5}\sin(n\cdot x)}$ θέλετε να μου πείτε ότι δεν θα είχε νόημα;

Οι τοποθετησεις του κ.Αντωνη νομιζω αναβαθμιζουν το επιπεδο των μαθηματικων γνωσεων και ειναι παντα καλοδεχουμενες τουλαχιστον απο εμας που θεωρουμε οτι μπορουμε να βελτιωθουμε με αυτες.Αλλοι παλι εχοντας κατακτησει την μαθηματικη κορυφη τις θεωρουν περιττες.Εμεις κ.Αντωνη θα συνεχισουμε να σας διαβαζουμε με προσοχη θεωρωντας οτι η πειρα και η σοφια των δεκαετιων σας ειναι πολυτιμο εργαλειο αναρριχησης στο βουνο της μαθηματικης γνωσης.

Ωmega Man · #8

Οι τοποθετησεις του κ.Αντωνη νομιζω αναβαθμιζουν το επιπεδο των μαθηματικων γνωσεων και ειναι παντα καλοδεχουμενες τουλαχιστον απο εμας που θεωρουμε οτι μπορουμε να βελτιωθουμε με αυτες.Αλλοι παλι εχοντας κατακτησει την μαθηματικη κορυφη τις θεωρουν περιττες.Εμεις κ.Αντωνη θα συνεχισουμε να σας διαβαζουμε με προσοχη θεωρωντας οτι η πειρα και η σοφια των δεκαετιων σας ειναι πολυτιμο εργαλειο αναρριχησης στο βουνο της μαθηματικης γνωσης.

δεν πιστεύω ότι είναι πρέπον αυτό που κάνεις , ούτε ότι ο κ. Κυριακόπουλος έχει ανάγκη δικηγόρου. Επίσης δεν αμφισβητώ τις γνώσεις του, ούτε τον υποτιμώ , απλά εμένα τουλάχιστον με ενοχλούν αυτού του είδους οι σχολιασμοί σε λάθη, που θα μπορούσε να επισημάνει με π.μ. .

Α.Κυριακόπουλος · #9

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Για $n\in\mathbb N$ σταθερό μπορεί να θεωρηθεί ως το άπειρο άθροισμα της ακολουθίας με γενικό όρο $\displaystyle{a_{k}=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ .

Αναστάση Συγγνώμη, αλλά δεν υπάρχει στα μαθηματικά ο όρος: « άπειρο άθροισμα ακολουθίας». Αν είναι εννοείς το: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} }$ , τότε πρόκειται για σειρά και θα έπρεπε να συμβολιστή ως εξής: $\displaystyle{\sum\limits_{\kappa = 1}^{ + \infty } {{\alpha _\kappa }} }$ .

Ωmega Man έγραψε:
Συγνώμη, αλλά το $\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ δεν είναι σειρά.
Αυτό δεν θα το σχολιάσω, γιατί και παλιότερα είχα πει και αναγκάστηκα (ανωτέρα βία) να το σβήσω, ότι καλύτερα θα ήταν να ασχολείστε περισσότερο με το μαθηματικό μέρος των διαφόρων προβλημάτων και όχι με το ξεψείρισμα εκφωνήσεων, λεκτικών εκφράσεων , κτλ

.
Αν και αυτά που γράφετε δεν αξίζουν σχολιασμού, θα σας έλεγα ότι πρόκειται για κακή χρήση των μαθηματικών ενιαίων ( που είναι μαθηματικά ), είτε το καταλαβαίνετε είτε όχι.

Ωmega Man έγραψε:
Είναι ένα άθροισμα n προσθετέων, όπου $\displaystyle{n \in {N^ * }}$
δηλαδή αν έγραφα $\displaystyle{\sum_{n=1}^{-5}\sin(n\cdot x)}$ θέλετε να μου πείτε ότι δεν θα είχε νόημα;

Από πού βγάζετε αυτό το συμπέρασμα;

#10

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Για $n\in\mathbb N$ σταθερό μπορεί να θεωρηθεί ως το άπειρο άθροισμα της ακολουθίας με γενικό όρο $\displaystyle{a_{k}=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ .

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αναστάση Συγγνώμη, αλλά δεν υπάρχει στα μαθηματικά ο όρος: « άπειρο άθροισμα ακολουθίας». Αν είναι εννοείς το: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} }$ , τότε πρόκειται για σειρά και θα έπρεπε να συμβολιστή ως εξής: $\displaystyle{\sum\limits_{\kappa = 1}^{ + \infty } {{\alpha _\kappa }} }$ .

Επαναδιατυπώνω:

Για $\displaystyle{n\in \mathbb N}$ σταθερό, είναι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)=\lim_{m\to+\infty}\sum_{k=1}^{m}a_{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ όπου $\displaystyle{a_{k}:=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ ,

συνεπώς το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ μπορεί να θεωρηθεί σειρά.

nonlinear · #11

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Για $n\in\mathbb N$ σταθερό μπορεί να θεωρηθεί ως το άπειρο άθροισμα της ακολουθίας με γενικό όρο $\displaystyle{a_{k}=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ .

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αναστάση Συγγνώμη, αλλά δεν υπάρχει στα μαθηματικά ο όρος: « άπειρο άθροισμα ακολουθίας». Αν είναι εννοείς το: $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}} }$ , τότε πρόκειται για σειρά και θα έπρεπε να συμβολιστή ως εξής: $\displaystyle{\sum\limits_{\kappa = 1}^{ + \infty } {{\alpha _\kappa }} }$ .
Επαναδιατυπώνω:

Για $\displaystyle{n\in \mathbb N}$ σταθερό, είναι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)=\lim_{m\to+\infty}\sum_{k=1}^{m}a_{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ όπου $\displaystyle{a_{k}:=\begin{cases}\sin(kx) & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ ,

συνεπώς το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ μπορεί να θεωρηθεί σειρά.

Noμιζω Ανασταση το τελευταιο λεγεται μερικο αθροισμα της σειρας (partial sum of the series) και οχι σειρα σκετα νετα.

Ωmega Man · #12

Τον όρο που χρησιμοποιεί ο Αναστάσης τον συναντούμε σε πολλά ξενόγλωσσα βιβλία (αγγλικών) ως sum of an infinite sequence.Τέλος για το συμπέρασμα, παίζοντας το παιχνίδι του ξεψειρίσματος αναφέρετε ότι $\bf n\in\mathbb{N}^{*}$ , όπου κάλλιστα θα μπορούσε να είναι όλο το $\mathbb{Z}$ . Για τους σχολιασμούς, δεν θα παίξω την κολοκυθιά και βάζω ένα τέλος εδώ.

#13

Επιτέλους, ας βλέπουμε από μερικούς και τοποθετήσεις ουσίας. Αρκετά με το spamming!!!
Ναι. Και όμως. Υπάρχουν και τα π.μ.

#14

nonlinear έγραψε:Noμιζω Ανασταση το τελευταιο λεγεται μερικο αθροισμα της σειρας (partial sum of the series) και οχι σειρα σκετα νετα.

Το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ είναι πράγματι το μερικό άθροισμα της $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sin(kx)}$ , αλλά είναι ταυτόχρονα και ίσο με το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ όπως το έχω ορίσει παραπάνω, συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί σαν μια άπειρη σειρά.

Α.Κυριακόπουλος · #15

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ είναι πράγματι το μερικό άθροισμα της $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sin(kx)}$ , αλλά είναι ταυτόχρονα και ίσο με το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ όπως το έχω ορίσει παραπάνω, συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί σαν μια άπειρη σειρά.

Δηλαδή, Αναστάση:
• Το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}}}$ είναι το ίδιο, δηλαδή είναι ίσο με το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}}} \right) = \frac{1}{2}}$ , δηλαδή: $\frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}} = \frac{1}{2}$ !!!
• Το $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^k {{{\left( { - 1} \right)}^n}} = \frac{{1 + {{( - 1)}^{k + 1}}}}{2}}$ είναι το ίδιο, δηλαδή είναι ίσο με το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{\left( { - 1} \right)}^n}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \sum\limits_{n = 1}^k {{{( - 1)}^n}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \frac{{1 + {{( - 1)}^{k + 1}}}}{2}}$ , αλλά αυτό δεν υπάρχει!!!

matha έγραψε:Επιτέλους, ας βλέπουμε από μερικούς και τοποθετήσεις ουσίας. Αρκετά με το spamming!!!
Ναι. Και όμως. Υπάρχουν και τα π.μ.

• Συνάδελφε, αυτά που συζητάμε εδώ είναι ουσία, γιατί από τέτοιες παρανοήσεις προέρχονται πολλά σφάλματα. Για φαντάσου να μας ζητάνε το άθροισμα της σειράς: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{a_n}} }$ και εμείς να βρίσκουμαι το άθροισμα των μερικών αθροισμάτων: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^k {{a_n}} }$ !!! (Η λέξη spamming μου είναι άγνωστη και δεν ξέρω τι εννοείς ).
• Και αν από τους ανθρώπους αυτούς, όπως λες, δεν έχεις δει τοποθετήσεις ουσίας, όπως τις εννοείς, τότε θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι δεν έχεις διαβάσει προσεκτικά τα άρθρα του mathematica.
• Για τα προσωπικά μηνύματα θα τοποθετηθώ εκτενώς σύντομα.

#16

Κύριε Αντώνη, το ότι από το

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ είναι πράγματι το μερικό άθροισμα της $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}\sin(kx)}$ , αλλά είναι ταυτόχρονα και ίσο με το $\displaystyle{\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ όπως το έχω ορίσει παραπάνω, συνεπώς μπορεί να θεωρηθεί σαν μια άπειρη σειρά.

συμπεράνατε ότι πιστεύω πως

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:• Το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}}}$ είναι το ίδιο, δηλαδή είναι ίσο με το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}}} \right) = \frac{1}{2}}$ , δηλαδή: $\frac{1}{2} - \frac{1}{{k + 1}} = \frac{1}{2}$ !!!
• Το $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^k {{{\left( { - 1} \right)}^n}} = \frac{{1 + {{( - 1)}^{k + 1}}}}{2}}$ είναι το ίδιο, δηλαδή είναι ίσο με το: $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{\left( { - 1} \right)}^n}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \sum\limits_{n = 1}^k {{{( - 1)}^n}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \frac{{1 + {{( - 1)}^{k + 1}}}}{2}}$

σημαίνει ότι μάλλον καταλάβατε πως είπα:

Για κάθε ακολουθία $\displaystyle{a_{k}}$ και $\displaystyle{n\in\mathbb N}$ ισχύει $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}a_{k}}$ .

Κάντε σας παρακαλώ λοιπόν ένα κόπο να ξαναδιαβάσετε την παράθεση που βρίσκεται στην αρχή ετούτου του ποστ, διότι προφανώς δεν καταλάβατε τι έγραψα.

Νομίζω ότι αν ανατρέξει κανείς στις δημοσιεύσεις μου θα καταλάβει ότι δεν μπορεί η έννοια της άπειρης σειράς να βρίσκεται στο μυαλό μου σε τόση σύγχυση όσο την παρουσιάζετε να υπάρχει...αλοίμονο δηλαδη!

Α.Κυριακόπουλος · #17

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε: Νομίζω ότι αν ανατρέξει κανείς στις δημοσιεύσεις μου θα καταλάβει ότι δεν μπορεί η έννοια της άπειρης σειράς να βρίσκεται στο μυαλό μου σε τόση σύγχυση όσο την παρουσιάζετε να υπάρχει...αλοίμονο δηλαδη!

Ανστάση. ποτέ δεν πίστεψα ότι δεν έχεις καλά στο μυαλό σου τις σειρές. Άλλωστε δεν είναι και το δυσκολότερο θέμα στα μαθηματικά. Ακριβώς με αυτά που σου γράφω ήθελα να επισημάνω ότι κάτι άλλο πρέπει να εννοείς.
Φιλικά.

Ωmega Man · #18

Πάντως το ότι η δική μου δημοσίευση είναι η 15η μετά την τελευταία απάντηση του μαθηματικού μέρους του προβλήματος , πιστεύω είναι κάτι που οφείλεται σε εσάς κ. Αντώνη, καταφέρατε να μας αναλώσετε όλους σε μια άνευ σημασίας συζήτηση. Αυτό που γράφει ο Αναστάσης είναι τόσο ξεκάθαρο και δεν καταλαβαίνω τι θέλετε να πείτε , μήπως πρέπει εσείς να ξεκαθαρίσετε τις σειρές που όπως λέτε δεν είναι και ότι δυσκολότερο στα μαθηματικά; Το πολύ το κύριε ελέησον το βαριέται και ο παπάς!

S.E.Louridas · #19

Επιτρέψτε μου την εξής αναφορά:
♦ ( Κριτήριο Dirichlet) Έστω
a_1 + a_2 + ... + a_n + ...

μία σειρά μιγαδικών όρων τέτοια που η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της $\sigma _n ,\,n \in \mathbb{N},$ είναι φραγμένη.
Έστω η φθίνουσα ακολουθία
$b_n ,\,n \in \mathbb{N}:\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } b_n = 0.$
Τότε η σειρά
$a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n + ...\sigma \upsilon \gamma \kappa \lambda \iota \nu \varepsilon \iota .$
♦ Έχουμε σε ισχύ τις σχέσεις που ανέφερε ο Γιώργος (μήπως η δεύτερη δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με την πρώτη;) που δίνουν τα μερικά αθροίσματα ορισμένων σειρών, παρατηρώντας ότι οι ακολουθίες των μερικών τούτων αθροισμάτων είναι φραγμένες όπως απαιτεί το κριτήριο Dirichlet.
Ας μου επιτραπεί τώρα, από τον Γιώργο να προτείνω ένα θέμα που μου αρέσει ιδιαίτερα:
Να υπολογιστεί το ακέραιο μέρος του αθροίσματος που ακολουθεί
$\sum\limits_{n = 1}^{10^9 } {\frac{1} {{\sqrt[3]{{n^2 }}}},\,o\tau \alpha \nu \;n \in \mathbb{N}.}$

S.E.Louridas

Α.Κυριακόπουλος · #20

Ωmega Man έγραψε:Πάντως το ότι η δική μου δημοσίευση είναι η 15η μετά την τελευταία απάντηση του μαθηματικού μέρους του προβλήματος , πιστεύω είναι κάτι που οφείλεται σε εσάς κ. Αντώνη, καταφέρατε να μας αναλώσετε όλους σε μια άνευ σημασίας συζήτηση. Αυτό που γράφει ο Αναστάσης είναι τόσο ξεκάθαρο και δεν καταλαβαίνω τι θέλετε να πείτε , μήπως πρέπει εσείς να ξεκαθαρίσετε τις σειρές που όπως λέτε δεν είναι και ότι δυσκολότερο στα μαθηματικά; Το πολύ το κύριε ελέησον το βαριέται και ο παπάς!

• Εσείς νομίζετε ότι όλη αυτή η συζήτηση είναι άνευ σημασίας; Είναι σωστό να περάσει το μήνυμα, ότι το σύμβολο $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}} }$ παριστάνει μια σειρά; ,όπως γράψατε; Εσείς διογκώσατε το θέμα. Εγώ απλώς μια κουβέντα είπα ότι το σύμβολο αυτό δεν είναι σειρά. Εσείς παρεξηγηθήκατε. Εκτός αν επιμένετε ακόμα, οπότε εγώ τουλάχιστον σηκώνει ψηλά τα χέρια.
• Λυπάμαι που δεν ξέρετε ότι οι σειρές έχουν τακτοποιηθεί εδώ και πάρα πολλά χρόνια. Πώς λοιπόν θα ήταν δυνατόν να τις τακτοποιήσει εγώ, όπως λέτε!!!
• Δεν ξέρω για ποιο «κύριε ελέησον» μιλάτε, αλλά όταν δημοσιεύεται κάτι πρέπει να είσαστε έτοιμος να δεχθεί και την κριτική. Θα επαναλάβω για άλλη μια φορά: «Όποιος θίγεται σε επιστημονικές συζητήσεις κάτι θέλει να κρύψει».
• Δεν θα επανέλθω στο θέμα ό,τι και να γράψετε. Αυτό που ήθελα να πω, το είπα. Ότι δηλαδή το σύμβολο $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}} }$ δεν παριστάνει σειρά.

Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Μέλη σε σύνδεση