Χ=Ψ

#1

Αλγεβρα καλή για μαθητές...
Αν χ,y μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί και ισχύει :
$\displaystyle{\displaystyle 3\left( {\frac{{x^2 }} {{y^2 }} + \frac{{y^2 }} {{x^2 }}} \right) - 8\left( {\frac{x} {y} + \frac{y} {x}} \right) + 10 = 0 }$ , τότε να αποδείξετε πως x=y.

giannisn1990 · #2

Καταρχήν πρέπει $\displaystyle x,y\neq$ 0 .Αν θέσουμε $\displaystyle z=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$ τότε $\displaystyle z^{2}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=z^{2}-2$ Άρα η εξίσωση γράφετε $\displaystyle 3(z^{2}-2)-8z+10=0\Leftrightarrow 3z^{2}-8z+10=0\Leftrightarrow z=2$ άρα $\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\Leftrightarrow x=y\neq 0$

#3

Πόλύ ωραία λύση Γιάννη, αλλά τον περιορισμό σου τον δίνει έτοιμο,στην αρχή!

Υ.Γ Και η ανίσωση που έγραψες ισχύει μόνο για θετικούς χ,ψ. Δεν ξέρω τι συμβαίνει πιο γενικά! Μάλλον θέλει πιο πολύ ψάξιμο νομίζω...

giannisn1990 · #4

giannisn1990 έγραψε:Αν θέσουμε $\displaystyle z=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ τότε $\displaystyle z^{2}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}=\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}+2\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=z^{2}-2$ Άρα η εξίσωση γράφετε $\displaystyle 3(z^{2}-2)-8z+10=0\Leftrightarrow 3z^{2}-8z+4=0\Leftrightarrow z=2$ ή $\displaystyle z=\frac{2}{3}$ (με $\displaystyle z=\frac{2}{3}$ αν αντικαταστήσουμε θα καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ) άρα $\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=2xy\Leftrightarrow(x-y)^{2}=0\Leftrightarrow x=y$

Χρήστο εντάξει ..την διόρθωσα λίγο παραπάνω..

mekst4v · #5

Ωραία η λύση, αλλά δεν κατάλαβα γιατί έβαλες τον περιορισμό $\displaystyle z=\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 2$ . Η δεύτερη ρίζα $\frac{2}{3}$ πολύ απλά απορρίπτεται γιατί Δ<0. Οπότε x=y.

EDIT:
Συγγνώμη, μόλις είδα ότι διόρθωσες τη λύση σου.

#6

Καλώς τον Σταύρο,σ'ευχαριστούμε για τη συμμετοχή! Θυμάμαι πως είσαι μαθητής...Καλή πρόοδο σου εύχομαι!

#7

Μια λιγοτερο εξυπνη λυση θετει ω = χ/ψ οποτε καταληγουμε σε μια εξισωση τεταρτου βαθμου, την
3ω^4 - 8ω^3 + 10ω^2 - 8ω + 3 = 0 *η* (3ω^2 - 2ω + 3)(ω^2 - 2ω + 1) = 0, κλπ κλπ.
(Εδω βεβαια βοηθαει τον μαθητη οτι το ζητουμενο ειναι ω = 1.)

mekst4v · #8

chris_gatos έγραψε:Καλώς τον Σταύρο,σ'ευχαριστούμε για τη συμμετοχή! Θυμάμαι πως είσαι μαθητής...Καλή πρόοδο σου εύχομαι!

Ευχαρίστηση μου να συμμετέχω όπου μπορώ κι εγώ. Σε ευχαριστώ Χρήστο και καλή νύχτα να έχετε όλοι!

nicolae · #9

Γενικότερο πρόβλημα:
Δίνονται οι θετικοί αριθμοί x,y,k,

, ώστε να είναι:
$\displaystyle k^2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)+k\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=3$
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

giannisn1990 · #10

Βγάζω $k_{max}=\frac{-1+\sqrt7}{2}$ ,χωρίς να είμαι απόλυτα σίγουρος

nicolae · #11

giannisn1990 έγραψε:Βγάζω $k_{max}=\frac{-1+\sqrt7}{2}$ ,χωρίς να είμαι απόλυτα σίγουρος

Γιατί να μην είσαι σίγουρος; Το ίδιο βρίσκω και εγώ

giannisn1990 · #12

nicolae έγραψε:Γενικότερο πρόβλημα:
Δίνονται οι θετικοί αριθμοί , ώστε να είναι:
$\displaystyle k^2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)+k\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=3$
Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του

Μια σύντομη λύση
Από ΑΜ-ΓΜ έχουμε $3=\displaystyle k^2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)+k\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\geq 2k^{2}+2k\Leftrightarrow k^{2}+k-\frac{3}{2}\leq 0\Leftrightarrow \Leftrightarrow k\in[\frac{-1-\sqrt7}{2},\frac{-1+\sqrt7}{2}]$ .

Άρα $\displaystyle k_{max}=\frac{-1+\sqrt7}{2}$

Χρηστος · #13

Μία λύση με παραγοντοποίηση.

p@g · #14

γεια σας παιδια και απο μενα!καθως διαβαζα αυτο το τοπικ και βλεποντας και τον τιτλο:'χ=ψ' αναρωτηθηκα

αν χy=max τοτε θα ισχυει οτι χ=y?

ή δεν εχει νοημα αυτο που λεω?sorry παντως αν λεω ασυναρτησιες!!

#15

Αγαπητέ φίλε καλησπέρα. Μη μένεις μόνο στον τίτλο, γιατί εγω που τον έγραψα,απλά, δήλωσα το ζητούμενο της άσκησης.Να'σαι καλά!

Χ=Ψ

Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Re: Χ=Ψ

Μέλη σε σύνδεση