ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

homo2a · #1

2010_mai_d_math_kat_esp.pdf: 25-05-2010; (174.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 390 φορές

manos66 · #2

Στο ΘΕΜΑ Α Α3 δ έπρεπε να δοθεί ότι η συνάρτηση δεν είναι σταθερή

themata · #3

Nομίζω πως και για m=M=f(x) σταθερη, το σύνολο [m, M] καλύπτει την υπόθεση

μερικές σύντομες απαντήσεις:

ΘΕΜΑ Β
Β1. z=2+i
Β2. Ο γεωμ. τόπος είναι κύκλος κέντρου Κ(-2, -1) και ακτίνας 5
B3. αποδεικτική

ΘΕΜΑ Γ
Γ2 Θ.Βolzano
Γ3. η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 αρα ... x=2 ή x=4
Γ4. Το όριο ισούται με 3

ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Τοπικό μέγιστο στο -1 και ελάχιστο στο 1
Δ2. κατακόρυφη ασύμπτωτη x=0
πλάγια ασύμπτωτη y=3χ στο +οο και -οο
Δ3. Εξίσωση εφαπτομένης y=6
Δ4. ξ=τετρ. ρίζα 3

συγνώμη για την πρόχειρη γραφή

Ιστοσελίδα · #4

Το 4ο
Δ1
Είναι $\displaystyle{ f'(x) = \frac{{3(x^2 - 1)}}{{x^2 }} }$ για x διάφορο του μηδενός.
και κάνοντας πίνακα προσήμου της πρώτης παραγώγου έχουμε:
Η f γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{( - \infty , - 1]}$
Η f γνησίως φθίνουσα στο [-1,0)
Η f γνησίως φθίνουσα στο (0,1]
Η f γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[1, + \infty )}$
Επίσης η συνάρτηση f παρουσιάζει για x = - 1 τοπικό μέγιστο το f(-1) = - 6 και για x = 1 τοπικό ελάχιστο το f(1) =6

Δ2

Είναι
$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ + } \left( {x + \frac{3}{x} + 2x} \right) = + \infty }$
και $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0^ - } f(x) = - \infty }$
άρα η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης f.

Ακόμα $\displaystyle{ \lambda = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {3 + \frac{3}{{x^2 }}} \right) = 3 }$ και

$\displaystyle{ \beta = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - \lambda x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (f(x) - 3x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{3}{x} = 0 }$
άρα η ευθεία y = 3x είναι πλάγια ασύμπτωτη της f στο $\displaystyle{ + \infty }$ (όμοια και στο $\displaystyle{ - \infty }$ προκύπτει η ίδια ευθεία

Δ3
Είναι f(1) = 6 και $\displaystyle{ f'(1) = 0 }$ άρα η εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο Α(1,6) είναι:
$\displaystyle{ y - 6 = 0 \cdot (x - 1) \Leftrightarrow y = 6 }$

Δ4

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,3] και παραγωγίσιμη στο (1,3) , επομένως από το ΘΜΤ υπάρχει $\displaystyle{ \xi \in (1,3) }$ τέτοιο ώστε
$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(3) - f(1)}}{{3 - 1}} \Leftrightarrow 3 - \frac{3}{{\xi ^2 }} = \frac{{10 - 6}}{2} \Leftrightarrow \xi ^2 = 3 \Leftrightarrow \xi = \sqrt 3 }$ αφού ξ>0
και
$\displaystyle{ f(\sqrt 3 ) = 3\sqrt 3 + \frac{3}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 3 }$
δηλαδή $\displaystyle{ {\rm M}(\sqrt 3 ,4\sqrt 3 ) }$

manos66 · #5

themata έγραψε:Nομίζω πως και για m=M=f(x) σταθερη, το σύνολο [m, M] καλύπτει την υπόθεση

Το σύνολο [m , M] όταν m = M δεν είναι διάστημα

#6

Τις απαντήσεις τις ξέρουμε;

themata · #7

manos66 έγραψε:
themata έγραψε:Nομίζω πως και για m=M=f(x) σταθερη, το σύνολο [m, M] καλύπτει την υπόθεση
Το σύνολο [m , M] όταν m = M δεν είναι διάστημα

μονοσύνολο? {m} ή {M}

manos66 · #8

themata έγραψε:
manos66 έγραψε:
themata έγραψε:Nομίζω πως και για m=M=f(x) σταθερη, το σύνολο [m, M] καλύπτει την υπόθεση
Το σύνολο [m , M] όταν m = M δεν είναι διάστημα
μονοσύνολο? {m} ή {M}

η εκφώνηση αναφέρει κλειστό διάστημα

#9

Εγω θα επιμείνω!
Ξέρουμε τις απαντήσεις;

manos66 · #10

Απαντήσεις

math_kat_esp_10.pdf: (1.01 MiB) Μεταφορτώθηκε 146 φορές

#11

Όχι παιδιά, εννοώ τις επίσημες(ενδεικτικές) απαντήσεις της επιτροπής.
Αν τις δούμε το ξανασυζητάμε.

christodoulou · #12

manos66 έγραψε:
themata έγραψε:
manos66 έγραψε:
themata έγραψε:Nομίζω πως και για m=M=f(x) σταθερη, το σύνολο [m, M] καλύπτει την υπόθεση
Το σύνολο [m , M] όταν m = M δεν είναι διάστημα
μονοσύνολο? {m} ή {M}
η εκφώνηση αναφέρει κλειστό διάστημα

Ο ορισμός στο βιβλίο της Α΄Λυκείου :
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με $\alpha \leq x\leq \beta$ λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται με $\left[\alpha ,\beta \right]$ .
Σύμφωνα με τον ορισμό αυτό επιτρέπεται να έχουμε α = β.

cristsuk · #13

Τα θέματα των Εσπερινών και σε Word.

tkmath · #14

Στο βιβλίο της 3ης λυκείου σελίδα 130 ορίζει το διάστημα ως εξής:
Αν α, β ανήκουν στο R με α < β, τότε ονομάζουμε διαστήματα με άκρα τα α, β καθένα από τα παρακάτω σύνολα: …

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ 2010

Μέλη σε σύνδεση