ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

air · #221

Ναι, για αυτό λέει ότι "χωρίς να είναι απαραίτητο να είναι $g\prime(x)\neq 0$ ", δηλαδή δε χρειάζεται απαραίτητα η g να είναι'1-1'.

A.Spyridakis · #222

Άντε τώρα να πείσεις τον -κάθε- ilpstonο για την ορθότητα μαθηματικών του στυλ "Αν χ+1=χ+2, να αποδειχθεί ότι ...".
Θα του κάνω μια πρόταση: Να κάτσει να διαβάσει λίγο τις μεθόδους απόδειξης του κ. Κυριακόπουλου και άλλα αρχεία (π.χ. του Δ. Μπουνάκη, που γράφω πιο πάνω), διότι το λογικό -και μαθηματικό, κατά συνέπεια- υπόβαθρό του φαίνεται να είναι υπερβολικά χαμηλό. Αλλά... τι λέω? Υπερβολικά υψηλό είναι, αφού μόνο "ο γκαλουα ο αρχιμηδης ο λαιμπνιτς" είναι σοβαροί μαθηματικοί. Οι υπόλοιποι είμαστε για τα μπάζαααααααααα!!!!!

ΥΓ Δεν είσαι μόνο εσύ που τα παίρνεις Μάκη

G.Tsikaloudakis · #223

Συνάδελφοι καλημέρα.
Κατάρχήν συγχαρητήρια σε όλους τους συναδέλφους και μαθητές
για τον εποικοδομητικό διάλογο.
Θα ήθελα να πώ τη γνώμη μου πάνω στο Δ2 και Γ4, χωρις να θέλω
να αμφισβητήσω την αξία και την προσπάθεια κανενός .
Εκθέτω την άποψη μου, χωρίς να υπόστηρίζω το αλάθητο.
Α. Για το Δ2, νομίζω ότι ξεχνάμε την έννοια της συνάρητησης και
εγκλωβιζόμαστε στον συμβολισμό f(x).
Η συνάρτηση είναι μια ορισμένη αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων
δύο συνόλων (δεν γράφω τον αυστηρό ορισμό ,καθότι δεν το απαιτεί
το Θέμα μας). Στην πράξη μια συνάρτηση συνδέει τις αντίστοιχες
τμές χ , y δύο μεγεθών Α και Β και δηλώνει την εξάρτηση τους.
Στα μαθηματικά Γ΄ λυκείου ασχολούμαστε με την περίπτωση που
τιμές x,y συνδέονται μεταξύ τους με μια ισόητα της μορφής y=f(x),
όπου η f(x) είναι μια αλγεβρική παράσταση του χ , παραγωγίσιμη
(ή συνεχής) ως προς χ.
Γενικότερα όμως , όταν έχουμε μα ισότητα με δύο μεταβλητές x,y $\displaystyle{ H(x,y) = 0 }$

π.χ. $\displaystyle{(\beta - \alpha )^2 = \alpha ^2 + 1}$ (1) ,
και είναι επιλύσιμη ως προτη μια μεταβλητή , τότε οι δύο ισότητες
(τύποι) είναι ισοδύναμοι (πολλές φορές υπό περιορισμούς)
Έτσι , μπρορέι ένας τύπος ύπος y=g(x) ,να είναι επιλύσιμος ως προς χ,
με: π. χ. : $\displaystyle{ x = \left\{ \begin{array}{l} h(y){\rm{ }},{\rm{ }}y \in \Delta _1 \\ f(y){\rm{ }},{\rm{ y}} \in \Delta _2 \\ \end{array} \right.}$ .
Είναι δυνατόν να έχουμε : $\displaystyle{ \Delta _1 \cap \Delta _2 = \emptyset {\rm{ }}}$ ή $\displaystyle{ \Delta _1 \cap \Delta _2 \ne \emptyset {\rm{ }} }$

Στην συγκεκριμένη περίπτωση , έχουμε: $\displaystyle{\left( {y - x} \right)^2 = x^2 + 9}$ , (2)
Καμία άλλη εξάρτηση μεταξύ x,y δεν υπάρχει (εκτός της $\displaystyle{ y \ne x}$ ) . Έτσι ,ουσιαστικά από την (2) , ζητείται να βρεθεί η σχέση
μεταξύ x,y .Αν βέβαια είχαμε και μια άλλη σχεση μεταξύ x, y, τότε
το πράγμα αλλάζει στην επίλυση του τυπου (2) , ως προς y.

Β. Για το θέμα Γ4 , έχουμε τα εξής:

Γενικά στο ολοκλήρωμα της μορφής: $\displaystyle{ I = \int_\alpha ^\beta {f(y)dy} }$
μπορούμε να κάνουμε αντικατάσταση του y με μια συνάρηση g(t), η οποία
πρέπει να είναι 1-1 μ συνεχή παράγωγο σε διάστημα Δ με $\displaystyle{ [\alpha ,\beta ] \subseteq g(\Delta )}$ και τότε ισχύει:
$\displaystyle{ \int_\alpha ^\beta {f(y)dy = \int_{g(\alpha )}^{g(\beta )} {f\left( {g(t)} \right)} } g'(t){\rm{ (1)}}}$ .
Δεν πρέπει να συγχέουμε την παραπάνω αντικατάσταση , με την ειδική
περίπτωση: $\displaystyle{ \int_\alpha ^\beta {f(g(t))g'(t)} {\rm{dt (2)}}}$ , όπου η g(t)
είναι με συνεχή παράγωγο και η f είναι συνεχής στο $\displaystyle{ g\left( {[\alpha ,\beta ]} \right)}$ . Τότε αποδεικνύεται ο τύπος:

$\displaystyle{ \int_\alpha ^\beta {f\left( {g(t)} \right)} g'(t)dt = \int_{g(\alpha )}^{g(\beta )} {f\left( u \right)} du }$

ανεξάρτητα , αν η g είναι ή όχι 1-1 .
Επομένως:
$\displaystyle{ \int_{ - 1}^1 {x\ln \left( {x^2 + 1} \right)} dx = \int_{g( - 1)}^{g(1)} {\ln \left( {g(t)} \right)} g'(t)dt }$
όπου $\displaystyle{ \int_{ - 1}^1 {x\ln \left( {x^2 + 1} \right)} dx = \int_{g( - 1)}^{g(1)} {\ln \left( {g(t)} \right)} g'(t)dt }$ και η f(x)=lnx ,είναι συνεχής στο $\displaystyle{ g\left( {[ - 1,1]} \right) = [1,2] }$

Στέλιος Μαρίνης · #224

Μετά από μακρόχρονη απουσία λόγω σοβαρών προβλημάτων που βαίνουν προς επίλυση, ας καταθέσω την άποψή μου για τις διαφωνίες που εκφράστηκαν.
1. Όσο αφορά την αντικατάσταση στο ολοκλήρωμα, τη σύγχυση σε ορισμένους δημιούργησε το θεώρημα της αντικατάστασης όταν θέτουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης ίση προς μια συνάρτηση. Τότε η συνάρτηση αυτή πρέπει να είναι "1-1". Αυτό εξασφαλίζει ότι υπάρχει συνάρτηση (η αντίστροφη) ώστε να εκτελείται η αλλαγή μεταβλήτής όπως την έχουμε συνηθίσει. (Γι οικονομία γράφω κάπως ελεύθερα και όχι αυστηρά, αλλά ελπίζω ότι γίνομαι κατανοητός).
2. Όσο αφορά τη "δευτεροβάθμια εξίσωση", τυπικά είναι λάθος, αφού, όπως σωστά παρατηρεί ο Αντώνης, η απόδειξη του τύπου έχει γίνει για εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Λέω "τυπικά", επειδή ο τύπος ισχύει και για ισότητα συναρτήσεων. Αν δηλαδή οι "συντελεστές" (δεν είναι συντελεστές αλλά τους αντιμετωπίζουμε πρακτικά σαν τέτοιους) είναι συναρτήσεις, όπως και ο "άγνωστος" (ούτε αυτός είναι άγνωστος με την έννοια που τον εννοούμε στις εξισώσεις, μιας και δεν έχουμε εξίσωση). Δηλαδή Για κάθε χ, α(χ)Χ(χ)^2+β(χ)Χ(χ)+γ(χ)=0, ισοδυναμεί, εφόσον ... με την : Για κάθε χ, (Χ(χ)= τόσο ή Χ(χ)= τόσο) .
Θεωρώ προφανώς ότι οι μαθητές πρέπει να βαθμολογηθούν με άριστα αν χρησιμοποιήσουν τον τύπο της δευτεροβάθμιας, αλλά εμείς οι μαθηματικοί καλό είναι να έχουμε υπόψη τι ακριβώς συμβαίνει. Καλώς έκανε το σχολιασμό ο Αντώνης, αλλά ο υπερτονισμός θα ήταν καλύτερο να αποφεύγεται. Έτσι κι αλλιώς, κάθε παρέμβαση του Αντώνη έχει από μόνη της βάρος, ώστε να μη χρήζει τεχνολογικής υποστήριξης με μεγαλύτερες γραμματοσειρές.

Όσο αφορά τα θέματα, όπως εμμέσως παρατήρησε ο Γιώργος ο Ρίζος, δεν μπορούν να κριθούν ανεξάρτητα από σταθερούς στόχους των οποίων την επίτευξη ελέγχουν. Τέτοιοι στόχοι δεν έχουν τεθεί, επομένως μπορούμε μόνο να τα συγκρίνουμε με άλλων ετών. Και πάλι η κρίση δεν μπορεί να είναι της μορφής "δυσκολότερα ή ευκολότερα", αλλά ΤΙ και ΠΩΣ αξιολογούσαν. Επ' αυτού, επειδή σήμερα μόλις κατάφερα να ασχοληθώ πιο έντονα, επιφυλάσσομαι να αναπτύξω σύντομα την άποψή μου.

Σας χαιρετώ όλους εγκάρδια και στέλνω, έστω καθυστερημένα, τις ευχές μου σε όσους γιόρταζαν.

ΥΓ Πού στην ευχή έχει ο έντιτορ το για κάθε; Επειδή δεν το έβρισκα αναγκάστηκα να γράψω σε απλό κείμενο.

Ιστοσελίδα · #225

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:...

ΥΓ Πού στην ευχή έχει ο έντιτορ το για κάθε; Επειδή δεν το έβρισκα αναγκάστηκα να γράψω σε απλό κείμενο.

\forall $\forall$ λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο!!!

papel · #226

Προσωπικα καλωσοριζω καθε παρεμβαση του κ.Αντωνη και ειναι πολλες φορες που εχω κερδισει κατι απο αυτες.Αυτο οφειλω να το κατεθεσω και ελπιζω να συνεχισει ετσι και στο μελλον. Η οποια κριτικη πρεπει ομως να ασκειται αυστηρα στα ''μαθηματικα'' που θελει να μας περασει και μονο σε αυτα.

Φιλικα.

ilpostino · #227

ουτε εμενα μ αρεσει να λυνονται με τυπους τριωνυμου ασκησεις που οι μεταβλητες και οι αγνωστοι επηρεαζονται απο τον ιδια μεταβλητη.Αλλα μαλλον και κατα την ταπεινη μου αποψη που νομιζω οτι αποδεικνυεται και σχετικα ευκολα,αν μπορω μετα τετοια διαπομπευση ας μιλησω λιγοτερα ευγενικα,ειναι απο τις λιγες φορες που στα μαθηματικα μη κομψες και αισθητικα ασχημες λυσεις ειναι σωστες

ilpostino · #228

μεταβλητες και αγνωστοι = συντελεστες και αγνωστοι

#229

Αυτή τη στιγμή βέβαια έχει ανοίξει ένα καινούργιο θέμα, (όπου και πάλι τα πράγματα είναι πολύ ξεκάθαρα), αλλά επιτρέψτε μου να αναφερθώ και εγώ στο τέλος της προηγούμενης συζήτησης, βασικά με αφορμή ένα μήνυμα του κ. Θωμά.
Θα πω αρχικά ότι το πρώτο μου μήνυμα γράφτηκε στη στιγμή, αυθόρμητα , και ήταν το τι ακριβώς αποκόμιζα εκείνη την ώρα από τη συζήτηση. Επομένως ήταν μια εν θερμώ απάντηση. Δεν θα μπω όμως στη διαδικασία να θεωρήσω δικαιολογημένη αυτή την απάντηση, ούτε να απολογηθώ, αλλά ούτε στη διαδικασία του να ξεκινήσω να λέω ότι " δεν είναι όπως το διαβάζεται, εγώ άλλο εννοούσα απλά το εξεφρασα αλλιώς κτλ κτλ ". Δεν είχα σκοπό να θίξω ούτε σαν προσωπικότητα τον κ.Αντώνη ούτε σαν μαθηματικό. Ούτε τον περίμενα στη γωνία, ούτε είχα( ούτε έχω ) κάτι μαζί του. Σκοπός μου ήταν μόνο και μόνο να εκφράσω από τη δική μου σκοπιά την κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την ώρα (και πιθανόν αν πριν από μένα δεν είχε εμφανιστεί το φάντασμα του alkinoou με απάντηση του προς τον Αχιλλέα να μην είχα προβεί καν στην απάντηση). Θεωρώ λοιπόν ότι εκφράστηκα για εκείνη την ώρα. Αν τώρα αυτή η έκφραση έθιξε τον κ. Αντώνη του ζητώ συγγνώμη.

Και δύο ακόμη πραγματάκια... Αυτή την απάντηση δεν την είχα γράψει για αυτοπροβολή, δηλαδή για να λένε ότι "να !! είναι αυτός που την μπήκε στον κ.Αντώνη". Αυτή την απάντηση θα μπορούσα να την είχα γράψει στον οποιονδήποτε (εννοώ αν η ροή της συζήτησης ήταν τέτοια) διοτί ήταν κάτι αυθόρμητο του χαρακτήρα μου (όντως οξύθυμος).
Δεν προσπαθώ να αποκτήσω ούτε φιλάθλους ούτε συμμάχους, ούτε να δημιουργήσω στρατόπεδα (το οποίο στη συζήτηση έχει πολύ εντονο χαρακτήρα αν διαβάσετε τα διάφορα ποστς). Απλά γράφω ενυπόγραφα ότι έχω να πω, είμαι υπεύθυνος για αυτά και γράφω directly. Ούτε συμβουλεύω, ούτε νουθετώ ούτε παραδειγματίζω.
Eκφράζω τη γνώμη μου για καταστάσεις χωρίς να αποσκοπώ πουθενά μα πουθενά. Δε γράφω με τη στάμπα του Ολυμπιονίκη (alkinoe), γράφω με υπόβαθρο όλες τις προηγούμενες δημοσιεύσεις μου στο mathematica ως smar.

Ελπίζω όλα τα παραπάνω να είναι σαφή και να μην χρειαστεί να ξαναγράψω για το θέμα.
Σιλουανός

astpao · #230

Στο 2 Θέμα των μιγαδίκων στο β ερώτημα,το ελυσα με συζυγεις..
Απο κεκτημενη ταχύτητα εγραψα z1=(2i)^1005 ανήκει στο I..Aρα Re(z1)=0
Θα εχω απώλεια?

christodoulou · #231

A.Spyridakis έγραψε:
mathxl έγραψε:και εδώ viewtopic.php?f=78&t=5828&p=33014#p33014
Με πρόλαβες Βασίλη.
Εκεί που παραπέμπεις (σελ. 17 και κάτω) ο σύμβουλος Μαθηματικών Ηρακλείου και καλός φίλος Δημήτρης Μπουνάκης έχει ξεκαθαρίσει διεξοδικά το σχετικό θέμα.

Το αντίστοιχο αρχείο του 2009 είναι ''λίγο διαφορετικό'' σε σχέση με το φετινό.
http://dide.reth.sch.gr/joomla/files/an ... romata.pdf

Μάλλον οι περσινοί μαθητές πρέπει να σβήσουν ότι είχαν συμπληρώσει στα βιβλία τους.

ilpostino · #232

http://lyk-aei.reth.sch.gr/yliko/ekdose ... liroma.pdf

#233

ilpostino έγραψε:http://lyk-aei.reth.sch.gr/yliko/ekdose ... liroma.pdf

ilpostino, το συνημένο σου αρχείο έρχεται σε αντίθεση με το ποστ σου :

ilpostino έγραψε:απορω ως μαθηματικοι πως θεωρειτε σωστη τη λυση στο γ4 με αντικατασταση u=χ2+1 .Τοτε ολα τα ολοκληρωματα με αντιθετα ακρα ολοκληρωσης θα εκαναν 0.Τελικα μαθαμε να λυνουμε tricks γιατι ολα αυτα καμμια σχεση δεν εχουν με τη μαγεια των μαθηματικων και σταματησαμε να σκεφτομαστε απλα και λογικα.....προφανως η συναρτηση αντικαταστασης πρεπει να ειναι 1-1 στο διαστημα που δουλευουμε...φυσικα δε θεωρω η λυση αυτη να βαθμολογηθει αρνητικα στους μαθητες οταν ακομα κι εμεις την πατησαμε.....

καθώς η επίλυση του ολοκληρώματος $\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{-1}^{1}2x\ln(x^{2}+1)\,dx}$ είναι εφαρμογή του θεωρήματος 1 στο αρχείο σου ή του πρώτου θεωρήματος αντικατάστασης όπως φαίνεται στις παρακάτω σελίδες (Νεγρεπόντης Απειροστικός Λογισμός τόμος ΙΙα) στις υποθέσεις κανενός εκτων οποίων δεν ζητείται ως προυπόθεση η συνάρτηση $\displaystyle{\varphi}$ να είναι 1-1

Α.Κυριακόπουλος · #234

smar έγραψε:Αυτή τη στιγμή βέβαια έχει ανοίξει ένα καινούργιο θέμα, (όπου και πάλι τα πράγματα είναι πολύ ξεκάθαρα), αλλά επιτρέψτε μου να αναφερθώ και εγώ στο τέλος της προηγούμενης συζήτησης, βασικά με αφορμή ένα μήνυμα του κ. Θωμά.
Θα πω αρχικά ότι το πρώτο μου μήνυμα γράφτηκε στη στιγμή, αυθόρμητα , και ήταν το τι ακριβώς αποκόμιζα εκείνη την ώρα από τη συζήτηση. Επομένως ήταν μια εν θερμώ απάντηση. Δεν θα μπω όμως στη διαδικασία να θεωρήσω δικαιολογημένη αυτή την απάντηση, ούτε να απολογηθώ, αλλά ούτε στη διαδικασία του να ξεκινήσω να λέω ότι " δεν είναι όπως το διαβάζεται, εγώ άλλο εννοούσα απλά το εξεφρασα αλλιώς κτλ κτλ ". Δεν είχα σκοπό να θίξω ούτε σαν προσωπικότητα τον κ.Αντώνη ούτε σαν μαθηματικό. Ούτε τον περίμενα στη γωνία, ούτε είχα( ούτε έχω ) κάτι μαζί του. Σκοπός μου ήταν μόνο και μόνο να εκφράσω από τη δική μου σκοπιά την κατάσταση που επικρατούσε εκείνη την ώρα (και πιθανόν αν πριν από μένα δεν είχε εμφανιστεί το φάντασμα του alkinoou με απάντηση του προς τον Αχιλλέα να μην είχα προβεί καν στην απάντηση). Θεωρώ λοιπόν ότι εκφράστηκα για εκείνη την ώρα. Αν τώρα αυτή η έκφραση έθιξε τον κ. Αντώνη του ζητώ συγγνώμη.
………………………………………………………………………………………..
Σιλουανός

Αγαπητέ smar.
H συγνώμη σου είναι δεκτή. Αυτή και μόνο η κίνησή σου αποδεικνύει ότι είσαι υπεύθυνος και έξυπνος άνθρωπος. Ξέρεις τι λέω πολλές φορές; Δεν γίνεται να μην κάνουμε λάθη, όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά σε κάθε εκδήλωση της ζωής μας. «Δεν κάνει λάθη αυτός που δεν κάνει τίποτα». Το θέμα είναι πώς «διαχειριζόμαστε» τα λάθη μας. Για μένα έξυπνος είναι εκείνος που καταλαβαίνει και βλέπει τα λάθη του, τα παραδέχεται και προσπαθεί να τα διόρθωση.
• Ο έξυπνος παραδέχεται.
• Ο πονηρός δικαιολογείται.
• Ο βλάκας επιμένει.
Δεν σε γνωρίζω προσωπικά. Αλλά από ό,τι μου έχει πει ο κ. Στεργίου και ο κ.Λουρίδας, είσαι πολύ νέος και αλίμονο αν δεν έβραζε το αίμα σου. Είμαι σίγουρος ότι αν σε γνωρίσω από κοντά θα αποκομίσω τις ίδιες καλές εντυπώσεις που έχω αποκομίσει και από τον Αλέξανδρο. Θα μου επιτρέψεις όμως, σαν μεγαλύτερος στην ηλικία ( πολύ μεγαλύτερος θα έλεγα, από απόψεως ηλικιών θα μπορούσε να είσαι και εγγονός μου ), να σου συστήσω να θυμάσαι ότι:
« Το παρελθόν δεν είναι για μίμηση , αλλά για παραδειγματισμό».
Με εκτίμηση και αγάπη.

Υ.Γ.1
Σιλουανέ, με την άδειά σου θα συνεχίσω να χρησιμοποιώ μεγάλα και έγχρωμα γράμματα, έστω και καμιά φορά με λάθος τρόπο. Μου αρέσουν ( χιούμορ).

Υ.Γ.2
Το συνημμένο περιέχει το θεώρημα αντικατάστασης στα ορισμένα ολόκληρο, καθώς και την απόδειξή του. Είναι από δημοσίευση που είχα κάνει στο περιοδικό Ευκλείδης Β΄της Ε.Μ.Ε.πριν μερικά χρόνια.
Mερικοί νομίζουν ότι στο θεώρημα αυτό η συνάρτηση g (βλέπε συνημμένο ) οφείλει να είναι 1-1. Αυτό, όπως θα δούμε στην απόδειξη, δεν είναι απαραίτητο. Δεν μας χρειάζεται η υπόθεση αυτή για να αποδείξουμε το θεώρημα.
Επίσης, εφιστούμε την προσοχή στην εφαρμογή αυτού του θεωρήματος , διότι τις περισσότερες φορές εφαρμόζεται στις ασκήσεις ,χωρίς να ελέγχεται αν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος αυτού.

ΘΕΩΡΗΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ.pdf: (59.7 KiB) Μεταφορτώθηκε 290 φορές

gbag · #235

Παρατηρώ ότι ορισμένοι συνάδελφοι τάσσονται υπέρ της άποψης ότι η συνάρτηση που χρησιμοποιείται για αντικατάσταση
πρέπει να είναι 1-1. Στο σχολικό βιβλίο της κατευθυνσης που είναι στην κυκλοφορία απο το 2000 στη σελίδα 313 υπάρχει η αντικατάσταση u=x^2+1 η οποία δεν είναι 1-1 καθώς επίσης και στο συνοδευτικό βιβλίο των λύσεων στη σελίδα 293 υπάρχει u=x^2+1. Γιατί τόσα χρόνια αφού γνώριζαν ότι υπάρχει πρόβλημα δεν φρόντισαν να το αναφέρουν στο ΠΙ ώστε να διορθωθεί και να συμπληρωθεί η ολοκλήρωση με αντικατάσταση αλλά περίμεναν να τεθεί θέμα στις εξετάσεις και μετά να πουν την γνώμη τους.
Για την ιστορία της μεθόδου της αντικαταστασης, εμφανισθηκε για πρώτη φορά σε βιβλιο του Isaac Barrow (1630 1677) ο οποίος ήταν καθηγητής του Newton και αναφέρει ότι για να γίνει η αντικατάσταση u=g(x) πρέπει η g'(x) να είναι συνεχής στο [α,β] και η f συνεχής στο συνολο τιμών που παίρνει η g. Αυτά από το Calculus and Analytic geometry του Thomas and Finney 6 έκδοση σελ 298.
Στο βιβλίο αυτό σε πολλά παραδείγματα γινεται αντικατάσταση με συναρτήσεις οι οποίες δεν είναι 1-1.
Επίσης ανάλογα παραδείγματα υπάρχουν και στο βιβλίο του Louis Brand και στο βιβλίο του ελληνικής καταγωγής Tom Apostol. Και τα τρία βιβλία που ανέφερα θεωρούνται "Ευαγγέλια" και είναι παγκοσμίως αποδεκτά και πουθενά δεν γίνεται λόγος για 1-1. Λέτε να κάνουν λάθος.

Γιώργος Μπαγάνης

tkmath · #236

Θα ήθελα να κάνω μία ερώτηση στους συναδέλφους που απαιτούν στην αντικατάσταση η συνάρτηση να είναι 1-1.
Πως υπολογίζετε το ολοκλήρωμα (ορισμένο ή αόριστο) του συνημίτονου στην τρίτη του x ή γενικότερα τριγωνομετρικά αυτής της μορφής και πως τα διδάσκετε στους μαθητές σας;

A.Spyridakis · #237

christodoulou έγραψε:Το αντίστοιχο αρχείο του 2009 είναι ''λίγο διαφορετικό'' σε σχέση με το φετινό.
http://dide.reth.sch.gr/joomla/files/an ... romata.pdf

Μάλλον οι περσινοί μαθητές πρέπει να σβήσουν ότι είχαν συμπληρώσει στα βιβλία τους.

Ναι, αλλά δεν μπήκε πέρυσι τέτοιο θέμα στις Πανελλαδικές, φέτος μπήκε! Που το αρχείο ήταν διορθωμένο!

astpao · #238

συγνώμη αλλά μήπως θα μπορούσε καποιος να μου απαντησει?εχω ψιλοαγχωθει...

tkmath · #239

Επειδή στο κείμενο που φαίνεται στην http://dide.reth.sch.gr/joomla/files/an ... romata.pdf
υπάρχει στην σελίδα 17 η ανακρίβεια ότι το ολοκλήρωμα από -1 έως 1 του 3x στο τετράγωνο κάνει 0 με την μέθοδο της αντικατάστασης, επισυνάπτω την επίλυση του με αντικατάσταση που βγάζει το σωστό αποτέλεσμα.

Θοδωρής Κουρούκλης

A.Spyridakis · #240

Συνάδελφε Κουρούκλη,
Στη σελίδα που αναφέρεσαι, υποδεικνύεται ότι το ολοκλήρωμα φαίνεται να είναι 0 (δηλ. έτσι ενδεχομένως θα το έκανε ένας μαθητής), αλλά όπως είδες, δεν υπάρχει πλήρης λύση του (δεν υπάρχει δηλ. αντ/ση του dx κτλ).
Παρ' όλ' αυτά, ο σύμβουλος Μπουνάκης (που είναι και ο συγγραφέας/υπεύθυνος των σημειώσεων) είναι πάντα ανοιχτός για να συζητήσει οτιδήποτε έχει γράψει (το e-mail του είναι στην αρχή των σημειώσεων).

Καλημέρα!

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Ειρήνη υμίν!

Re: Ειρήνη υμίν!

Re: Ειρήνη υμίν!

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Μέλη σε σύνδεση