Ενδιαφέρον θέμα

Gerasimos92 · #1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^x-e^{-x},x\epsilon R$ .
α)Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιμών της.

β)Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ της

.

γ)Έστω η συνάρτηση $g(x)=\int_{0}^{f(x)}{\sqrt{t^2+4}dt},x\epsilon R.$
i)Να βρείτε τη συνάρτηση g'(x)

ii)Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\int_{0}^{3/2}{\sqrt{t^2+4}dt}.$

(το γ είναι λιγάκι τσιμπημένο κατα την γνώμη μου)

manos1992 · #2

Θα δώσω λόγω έλλειψης χρόνου μόνο μια υπόδειξη για το γ)ιι) που μ αρέσει!

Θέτω $\displaystyle t=e^u-e^{-u}$ και κάνω πράξεις(παρατήρησε το τέλειο τεράγωνο που θα βγει)

...

manos1992 · #3

Βάζω και μια ολοκληρωμένη λύση(σχεδόν)!

α) $f'(x)=e^x+e^{-x}>0}$

άρα f γνησίως αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle R_f=(\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x), \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x))= \mathbb{R}$

b)για κάθε $x \in \mathbb{R}$ , θέτω y=f(x)

$\displaystyle y=e^x-e^{-x}\Rightarrow e^xy=e^{2x}-1\Rightarrow f^{-1}(x)=ln(\frac{x + \sqrt{x^2+4}}{2})$

με πεδίο ορισμού το R , αφού $\displaystyle x-\sqrt{x^2+4}<0 \forall x\in \mathbb{R}$

και $\displaystyle x+\sqrt{x^2+4}>0 \forall x\in \mathbb{R}$

EDIT:στο παραπάνω έγινε διόρθωση μετά από υπόδειξη του κύριου Κώστα Σερίφη σε προφανές λάθος..

c)i) η g έχει πεδίο ορισμού το R.. και είναι παραγωγίσιμη σ αυτό!

$\displaystyle g'(x)=f'(x)\sqrt{f^2(x)+4}=(e^x+e^{-x})\sqrt{e^{2x}+e^{-2x}+4-2}=(e^x+e^{-x})^2$

ii)Θέτω $\displaystyle t=f(x), dt=f'(x)dx,x_1=0, x_2=f^{-1}(\frac{3}{2})=ln2$

έτσι είναι

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{3}{2}}{(\sqrt{t^2+4})dt}=\int_{0}^{ln2}{g'(x)dx}=\int_{0}^{ln2}{(e^{2x}+e^{-2x}+2)dx}$

πράξεις μετά...δεν τις κάνω τώρα! πάντως από δω και πέρα τσουλάει άνετα..

ΕDIT: έγινε διόρθωση της τιμής της αντίστροφης στο 3/2 μετά απο υπολογιστικό λάθος, έλεος σήμερα

Gerasimos92 · #4

Λοιπόν να και ο δικός μου τρόπος για το γii

$A=\int_{0}^{3/2}{\sqrt{t^2+4}dt}$ βλέπουμε ότι στη θέση του

f(x)

υπάρχει το 3/2 οπότε πάμε να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης f(x)=3/2

$f(x)=3/2\Leftrightarrow e^x-e^{-x}=3/2\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 2e^{2x}-3e^x-2=0$

το οποίο είναι τριώνυμο με ρίζες

e^x=2

και

(η οποία και απορρίπτεται γιατί e^x>0

)

Οπότε x=ln2

Άρα $g(ln2)=\int_{0}^{f(ln2)}{\sqrt{t^2+4}dt}$ έχουμε επίσης ότι

$g'(x)=(e^x+e^{-x})^2\Leftrightarrow g(x)=\int(e^x+e^{-x})^2dx +c\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow g(x)=1/2e^{2x}+2x-1/2e^{-2x}+c$ για x=0

βγαίνει

Άρα $g(x)=1/2e^{2x}+2x-1/2e^{-2x}$

και νομίζω το τελικό αποτέλεσμα (για x=ln2

) είναι

manos1992 · #5

Ωραίο κι αυτό Γεράσιμε μόνο που στο αποτέλεσμά σου είναι ln4 αντί για ln5 αν και λίγη σημασία έχει!!

astpao · #6

Ενδιαφερουσα πραγματικά και πολυ καλή άσκηση φίλε Γεράσιμε...Μυρίζει Μπαιλακη ή μου φαίνεται?
Λιγο παρατραβηγμενη για πανελληνιες νομίζω,οπως και οι περισσοτερες του Μπαιλακη...Τί λες?

Gerasimos92 · #7

Την συγκεκριμένη δεν την πήρα από Μπαϊλάκη,είναι όμως ενδιαφέρουσα και ίσως λιγάκι υπερβολική για Πανελλήνιες...
Ποτέ όμως δεν ξέρεις τι σου ξημερώνει!

astpao · #8

Την ίδια ακριβως την ειδα πριν κατι εβδομαδες στο βιβλιο θεματα μαθηματικων του Μπαιλακη..και παρομοια πρεπει να υπαρχει και σε θεματα της Μαθηματικης...Τεσπα πολυ ωραια ασκηση που παρομοια της δεν εχει πεσει...Ας ελπίσουμε να είμαστε οι πρώτοι..χαχα...ποιος ξερει..Ευχομαι καλη επιτυχια για τη συνεχεια

Ενδιαφέρον θέμα

Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Re: Ενδιαφέρον θέμα

Μέλη σε σύνδεση