Γαλάζιο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Γαλάζιο ορθογώνιο.png (7.47 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

Το σημείο

κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r

. Υπολογίστε το

μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου ASTP

. Αν κάνετε χρήση παραγώγων

θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $80\%$ των προβλεπόμενων μορίων .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2026 5:08 am
Γαλάζιο ορθογώνιο.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Υπολογίστε το

μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου . Αν κάνετε χρήση παραγώγων

θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $80\%$ των προβλεπόμενων μορίων .

: Γαλαζ.png (9.8 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

.
Αν

, τότε $ST^2=AT\cdot TB=x(2r-x)$ . Άρα

$(ASTP)^2= AT^2\cdot ST^2= x^2(x(2r-x))= 2rx^3-x^4-\dfrac {27}{16}r^4+\dfrac {27}{16}r^4=$

$=-\left (x-\dfrac {3r}{2}\right )^2\left ((x+ \dfrac {r}{2})^2+ \dfrac {r^2}{2}}\right )+\dfrac {27}{16}r^4\le \dfrac {27}{16}r^4$

με ισότητα όταν $x=\dfrac {3r}{2}$ . Οπότε $\boxed {(ASTP)_{max}=\dfrac {3\sqrt 3r^2}{4} }$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2026 5:08 am
Γαλάζιο ορθογώνιο.pngΤο σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Υπολογίστε το

μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου . Αν κάνετε χρήση παραγώγων

θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $80\%$ των προβλεπόμενων μορίων .

Με παραγώγους κι ας χάνω τα μόρια.

: Γαλάζιο ορθογώνιο.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

$\displaystyle f(x) = (ATSP) = x\sqrt {x(2r - x)},$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{x(3r - 2x)}}{{\sqrt {2rx - {x^2}} }},0 < x < 2r,$

όπου εύκολα πλέον, $\boxed{{(ATSP)_{\max }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}{r^2}}$ όταν $\boxed{x=\frac{3r}{2}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 14, 2026 5:08 am
Το σημείο κινείται στο ημικύκλιο διαμέτρου . Υπολογίστε το

μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου . Αν κάνετε χρήση παραγώγων

θα βαθμολογηθείτε μόνο με το $80\%$ των προβλεπόμενων μορίων .

Καλημέρα ....

Και μια άλλη ιδέα...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Γαλάζιο εμβαδόν 1.png (18.17 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Το εμβαδόν του ορθογωνίου αυτού είναι:

$\displaystyle{S=(AT)(TS) \ \ (1) }$

Αντί αυτού μελετούμε το μέγιστο του

$\displaystyle{S^2=(AT)^2(TS)^2\ \ (2)}$

Είναι:

$\displaystyle{S^2=(AT)^2[(AT)(TB)]=(AT)^3(TB) }$

δηλαδή:

$\displaystyle{S^2=(AT)^3(TB)}$ όπου $\displaystyle{AT+TB=2r=ct \ \ (3) }$

Από την (3) και σύμφωνα με την ταυτότητα AM-GM το μέγιστο της ποσότητας $\displaystyle{S^2}$

άρα και της $\displaystyle{S}$ πραγματοποιείται όταν:

$\displaystyle{\frac{AT}{3}=\frac{TB}{1} \ \ (4) }$

Από την (4) θα είναι:

$\displaystyle{\frac{AT}{3}=\frac{TB}{1}=\frac{AT+TB}{3+1}=\frac{AB}{4}=\frac{2r}{4}=\frac{r}{2} \ \ (5) }$

Άρα:

$\displaystyle{AT=\frac{3r}{2}, \ \ TB=\frac{r}{2} \ \ (6) }$

Δηλαδή το σημείο $\displaystyle{T}$ που δίνει το μέγιστο εμβαδόν είναι το μέσον της $\displaystyle{OB}$ .

Στην περίπτωση αυτή το μέγιστο εμβαδόν λόγω των (6) είναι:

$\displaystyle{S^2=(\frac{3r}{2})^3 \cdot \frac{r}{2}=\frac{3^3 r^4}{2^4} \ \ (7) }$

Άρα:

$\displaystyle{S=\frac{3\sqrt{3}r^2}{4} \ \ (8)}$

Μια παραπέρα μελέτη μπορούμε να κάνουμε με χρήση λογισμικού ( αλλά και με χρήση παραγώγωνν)

είναι να μελετήσουμε τη μεταβολή του εμβαδού αυτού.

Έτσι χρησιμοποιώντας τον τύπο:

$\displaystyle{S=x \sqrt{x(2r-x)} \ \ (9) }$

που εύκολα δείχνεται, εξάλλου τον χρησιμοποίησε και ο φίλος Γιώργος Βισβίκης στην προηγούμενη

από μένα ανάρτηση, μπορούμε να έχουμε το ακόλουθο σχήμα:

: Γαλάζιο εμβαδόν 2.png (41.6 KiB) Προβλήθηκε 54 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε την όλη εξέλιξη του εμβαδού αυτού.

(Να με συμπαθάτε, έβαλα στην εικόνα μερικά "δεκαταέκτα" μπας και

στην κίνηση ακουστεί και καμμιά μουσική! Θέλει όμως πολύ δουλειά και

χρήση κι άλλων μέσων...)

Για καλύτερη θεώρηση παραθέτω και το αντίστοιχο δυναμικό αρχείο:

https://www.geogebra.org/m/uabe7fwh

Κώστας Δόρτσιος

#5

Χωρίς παραγώγους.

$\displaystyle (ATSP) = f(x) = x\sqrt {2rx - {x^2}} \Leftrightarrow {f^2}(x) = {x^3}(2r - x)$

Θέτω $\displaystyle {a_1} = {a_2} = {a_3} = \frac{x}{3},{a_4} = 2r - x$ και με AM-GM έχω:

$\displaystyle \sqrt[4]{{{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}} \leqslant \frac{{{a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4}}}{4} = \frac{r}{2} \Leftrightarrow \frac{{{x^3}(2r - x)}}{{27}} \leqslant \frac{{{r^4}}}{{16}} \Leftrightarrow f(x) \leqslant \sqrt {\frac{{27{r^4}}}{{16}}} = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{4},$

με την ισότητα να ισχύει όταν $\displaystyle \frac{x}{3} = 2r - x \Leftrightarrow x = \frac{{3r}}{2}$

Γαλάζιο ορθογώνιο

Γαλάζιο ορθογώνιο

Re: Γαλάζιο ορθογώνιο

Re: Γαλάζιο ορθογώνιο

Re: Γαλάζιο ορθογώνιο

Re: Γαλάζιο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση