Ολοκλήρωμα

mick7 · #1

Να υπολογιστεί

$\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Καλό είναι η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση να τεθεί εντός παρένθεσης.

#3

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 09, 2026 11:02 am
Να υπολογιστεί

$\int_{0}^{2} \left (\sqrt{1+x^3} + \sqrt[3]{x^2+2x}\, \right ) dx$

.
Θα γίνει χρήση του γνωστού και απλού τύπου για αντιστρέψιμες συναρτήσεις

$\displaystyle{\int _a^bf(x)dx+ \int _{f(a)}^{f(b)}f^{-1}(x)dx= bf(b)-af(a)}$

Εδώ $f(x) = \sqrt {1+x^3}$ στο $[0,\,2]$ για την οποία εύκολα βλέπουμε ότι $f^{-1}(x)= \sqrt [3]{x^2-1}$ στο $[f(0), \, f(2)]= [1,\, 3]$ .

Υπόψη ότι η αλλαγή μεταβλητής t=x+1

δίνει

$\int_{0}^{2} \sqrt[3]{x^2+2x}\, dx = \int_{0}^{2} \sqrt[3]{(x+1)^2-1} = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{t^2-1} \,dt = \int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx$

Άρα το δοθέν ισούται με

$\displaystyle{\int_{0}^{2} \sqrt{1+x^3} \,dx+\int_{1}^{3} \sqrt[3]{x^2-1} \,dx = \int _0^2f(x)dx+ \int _{f(0)}^{f(2)}f^{-1}(x)dx= 2f(2)-0\cdot f(0)= 2\cdot 3-0= \boxed {6}}$

kfd · #4

Ολοκλήρωμα

Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Re: Ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση