Στριφνό μέγιστο

KARKAR · #1

: Στριφνό μέγιστο.png (12.72 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές

Από σημείο

, το οποίο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, φέρω

κάθετη

προς την εφαπτομένη του τόξου στο

, δημιουργώντας το ορθογώνιο τραπέζιο AOST

.

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:27 pm
Στριφνό μέγιστο.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου , φέρω κάθετη

προς την εφαπτομένη του τόξου στο , δημιουργώντας το ορθογώνιο τραπέζιο .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Με αρχή των αξόνων το

είναι $S(a, \sqrt {r^2-a^2})$ . Άρα

$(AOST)= \dfrac {1}{2} (AO+TS)AT= \dfrac {1}{2} (r+(r+a))\sqrt {r^2-a^2} = (r+ \dfrac {a}{2})\sqrt {r^2-a^2}$ .

Έχει παράγωγο ως προς

το $\dfrac {r^2-2ra-2a^2}{2\sqrt {r^2-a^2} }$ που μηδενίζεται όταν $a=\dfrac {1}{2} (\sqrt 3-1)$ . Από εκεί

$\boxed {(AOST)_{max}= \dfrac {1}{8} (3+\sqrt 3 )\sqrt 2 \sqrt [4] {3}r^2}$ (ελπίζω να έκανα σωστά τις πράξεις).

#3

: 01-5-2026 Μέγιστο.png (14.8 KiB) Προβλήθηκε 68 φορές

Έστω

. Τότε $\displaystyle \user2{A}\left( { - 1,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),\;S\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\eta \mu \varphi } \right),\;{\rm T}\left( {1,\;\eta \mu \varphi } \right)$ με $\displaystyle 0 < \varphi < \pi$ .

Είναι $\displaystyle \left( {{\rm O}BTS} \right) = \frac{{\left( {2 - \sigma \upsilon \nu \varphi } \right)\eta \mu \varphi }}{2}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right) = \eta \mu \varphi - \frac{1}{4}\eta \mu 2\varphi$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \varphi \right) = \sigma \upsilon \nu \varphi - \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu 2\varphi$ ,

$\displaystyle f'\left( \varphi \right) = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi - 2\sigma \upsilon \nu \varphi - 1 = 0$ , η οποία έχει δεκτή λύση $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}$

οπότε $\displaystyle \eta \mu \varphi = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ και $\displaystyle \eta \mu 2\varphi = \frac{{\sqrt[4]{3}\left( {\sqrt 2 - \sqrt 6 } \right)}}{2}$ .

Τότε, με μελέτη μονοτονίας της

βρίσκουμε ότι στο σημείο αυτό έχει μέγιστο με τιμή $\displaystyle f{\left( \varphi \right)_{\max }} = \sqrt {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} - \frac{{\sqrt[4]{3}\left( {\sqrt 2 - \sqrt 6 } \right)}}{8}*r$ .

Κι εγώ ελπίζω να έχω σωστές πράξεις. Ας αφήσουμε την απόλαυση του ελέγχου στον αγαπητό θεματοδότη.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 01, 2026 6:27 pm
Στριφνό μέγιστο.pngΑπό σημείο , το οποίο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου , φέρω κάθετη

προς την εφαπτομένη του τόξου στο , δημιουργώντας το ορθογώνιο τραπέζιο .

Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τραπεζίου .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και

μέσο του

είναι $TS=TM+MS=r+\sqrt{r^2-x^2}.$

: Στριφνό μέγιστο.ΚΑ.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

$\displaystyle (AOST) =f(x)= \frac{x}{2}\left( {2r + \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right),$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{{{r^2} - 2{x^2} + 2r\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}{{2\sqrt {{r^2} - {x^2}} }},0 < x < r$

απ' όπου εύκολα προκύπτει $\boxed{{(AOST)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{4}\sqrt {9 + 6\sqrt 3 } }$ όταν $\boxed{x = r\sqrt[4]{{\frac{3}{4}}}}$

Ας το ελέγξει και αυτό ο Θανάσης

#5

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 8:06 am

απ' όπου εύκολα προκύπτει $\boxed{{(AOST)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{4}\sqrt {9 + 6\sqrt 3 } }$

Ας το ελέγξει και αυτό ο Θανάσης

Σωστά.

Η τιμή αυτή είναι πράγματι ίση με αυτήν που βρέθηκε σε προηγούμενα ποστ, δηλαδή την

$\boxed {\dfrac {1}{8} (3+\sqrt 3 )\sqrt 2 \sqrt [4] {3}r^2}}$

Το ελέγχει κανείς υψώνοντας στην τέταρτη δύναμη, αλλά το επιβεβαιώνει και το κομπιουτεράκι που βγάζει αριθμητική τιμή για την κάθε ποσότητα

4,0366947

Στριφνό μέγιστο

Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Re: Στριφνό μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση