Ελάχιστο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Ελάχιστο εφαπτομένης.png (5.25 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι :

, η

είναι διάμεσος και το

ύψος .

Για ποια τιμή της

ελαχιστοποιείται η γωνία $\theta =\widehat{DAM}$ και ποια είναι τότε η $\tan \theta$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 6:58 am
Ελάχιστο εφαπτομένης.pngΣτο τρίγωνο είναι : , η είναι διάμεσος και το ύψος .

Για ποια τιμή της ελαχιστοποιείται η γωνία $\theta =\widehat{DAM}$ και ποια είναι τότε η $\tan \theta$ ;

.
Έχουμε

$\tan \theta = \dfrac {DM}{AD}= \dfrac {BM-BD}{AD}= \dfrac {5-3\cos B}{3\sin B}$ . Μπορούμε τώρα να βρούμε το ελάχιστο με διάφορους τρόπους. Π.χ.έχει παράγωγο

$\dfrac {9\sin ^2 B-(5-3\cos B)\cdot 3\cos B}{9\sin ^2 B}= \dfrac {9- 15\cos B}{9\sin ^2 B}$ που που μηδενίζεται όταν $\cos B = \dfrac {9}{15}$ .

Είναι τότε $\tan \theta = \dfrac {5- 3\cdot \dfrac {9}{15} }{3\cdot \dfrac {12}{15}}= \boxed {\dfrac {4}{3}}$ .

Και επίσης από τον Νόμο των Συνημιτόνων $AC^2=3^2+10^2-2\cdot 3 \cdot 10 \cdot \dfrac {9}{15}$ , οπότε $\boxed {AC = \sqrt {73}}$ .

KARKAR · #3

: Ελάχιστο εφαπτομένης.png (14.39 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Γενικότερα , ας αποδείξουμε ότι για OP=r

και

, η ελάχιστη τιμή της εφαπτομένης

είναι η : $(\tan\theta)_{min}=\dfrac{\sqrt{d^2-4r^2}}{2r}$ και επιτυγχάνεται όταν το τμήμα

εφάπτεται του κύκλου (O , r)

.

#4

Kαλημέρα και Χρόνια πολλά σε όλους. Μια διαφορετική προσέγγιση, με Αναλυτική Γεωμετρία.

: 25-3-2026 Γεωμετρία.png (15.19 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

Φέρνουμε τη εφαπτομένη από το

στο «βόρειο» ημικύκλιο (B, 3)

, με σημείο επαφής

.

Τότε $\displaystyle \widehat {DMA} \le \widehat {DMN}$ .

Άρα η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle \theta$ προκύπτει όταν το

ταυτίζεται με το

.

Το ημικύκλιο έχει εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {y^2} = 9,\;\;y \ge 0$

Η ευθεία της εφαπτομένης είναι $\displaystyle \left( e \right):\;\;\lambda x - y - 5\lambda = 0,\;\;\lambda < 0$ , οπότε

$\displaystyle d\left( {B,\;e} \right) = \frac{{\left| {\lambda \cdot 0 - 0 - 5\lambda } \right|}}{{\sqrt {{\lambda ^2} + 1} }} = 3 \Leftrightarrow \left| {5\lambda } \right| = 3\sqrt {{\lambda ^2} + 1} \Leftrightarrow \lambda = - \frac{3}{4}$

Άρα $\displaystyle \left( e \right):\;\;y = - \frac{3}{4}x + \frac{{15}}{4}$ , οπότε $\displaystyle N\left( {\frac{9}{5},\frac{{12}}{5}} \right)$ . Τότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{5 - \frac{9}{5}}}{{\frac{{12}}{5}}} = \frac{4}{3}$ και $\displaystyle AC = \sqrt {{{\left( {10 - \frac{9}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{12}}{5}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{{41}^2} + 144}}{{25}}} = \sqrt {\frac{{1825}}{{25}}} = \sqrt {73}$

edit: Εννοείται ότι όσο έγραφα, δεν είχα δει την ανάρτηση του Θανάση, που οδηγεί στον ίδιο δρόμο προσέγγισης.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 25, 2026 9:34 am
Ελάχιστο εφαπτομένης.pngΓενικότερα , ας αποδείξουμε ότι για και , η ελάχιστη τιμή της εφαπτομένης

είναι η : $(\tan\theta)_{min}=\dfrac{\sqrt{d^2-4r^2}}{2r}$ και επιτυγχάνεται όταν το τμήμα εφάπτεται του κύκλου .

Δεν βλέπω τον λόγο γιατί να μπει δύο φορές η ίδια άσκηση! Η γενική περίπτωση αντιμετωπίζεται με ΑΚΡΙΒΩΣ τον ίδιο τρόπο με την αρχική, απλά εκεί που βλέπαμε

, τώρα γράφουμε

, και εκεί που βλέπαμε

τώρα γράφουμε

.

Αντιγράφοντας λοιπόν την προηγούμενη λύση έχουμε

$\tan \theta = \dfrac {d/2-r\cos B}{r\sin B}$ . Έχει παράγωγο που μηδενίζεται όταν $\cos B = \dfrac {2r}{d}$

Είναι τότε $\tan \theta = \dfrac {d/2- r\cdot \dfrac {2r}{d} }{r\cdot \dfrac {\sqrt {d^2-4r^2}}{d}}= \boxed {\dfrac {\sqrt {d^2-4r^2}}{2r}}$ .

Επειδή το τελευταίο ισούται με $\tan B$ (άμεσο) είναι $\theta = B$ , οπότε το τμήμα

εφάπτεται του κύκλου (O , r)

.

Ελάχιστο εφαπτομένης

Ελάχιστο εφαπτομένης

Re: Ελάχιστο εφαπτομένης

Re: Ελάχιστο εφαπτομένης

Re: Ελάχιστο εφαπτομένης

Re: Ελάχιστο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση