Διοφαντική εξίσωση

Fotis34 · #1

Ένα πρόβλημα που σχεδόν με έχει "φάει" και το παλεύω εδώ και μέρες. Αν κάποιος έχει λύση ας την αναρτήσει ή να βάλει μία υπόδειξη.

Να προσδιορίσετε όλα τα θετικά ακέραια ζεύγη $\displaystyle{(x,y)}$ , που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{x²+y²+xy(x-y)=17}$ .

Υγ. Αρχίζω να πιστεύω ότι έχει απλή λύση...

#2

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 9:16 pm
Ένα πρόβλημα που σχεδόν με έχει "φάει" και το παλεύω εδώ και μέρες. Αν κάποιος έχει λύση ας την αναρτήσει ή να βάλει μία υπόδειξη.

Να προσδιορίσετε όλα τα θετικά ακέραια ζεύγη $\displaystyle{(x,y)}$ , που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{x²+y²+xy(x-y)=17}$ .

Υγ. Αρχίζω να πιστεύω ότι έχει απλή λύση...

Φώτη, δεν έχειςλύση στην άσκηση (δεν είναι μεπτό αυτό) αλλά την έχεις τοποθετήσει σε φάκελο για μαθητές Γυμνασίου.

Από πού προκύπτει ότι είναι ο σωστός φάκελος; Αυθαίρετα και χωρίς στοχεία;

Έχεις κάνει κάτι παρόμοιο

εδώ.

Στην περίπτωση αυτή ισχυρίζεσαι ότι μία άσκηση της οποίας δεν γνωρίζεις την λύση, απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου; Αυθαίρετα;
Τυχαίνει να έχω λύση στην άσκηση αλλά με τρόπο έξω από το Λύκειο. Κάτι δεν πάει καλά.

Fotis34 · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 10:45 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 9:16 pm
Ένα πρόβλημα που σχεδόν με έχει "φάει" και το παλεύω εδώ και μέρες. Αν κάποιος έχει λύση ας την αναρτήσει ή να βάλει μία υπόδειξη.

Να προσδιορίσετε όλα τα θετικά ακέραια ζεύγη $\displaystyle{(x,y)}$ , που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{x²+y²+xy(x-y)=17}$ .

Υγ. Αρχίζω να πιστεύω ότι έχει απλή λύση...
Φώτη, δεν έχειςλύση στην άσκηση (δεν είναι μεπτό αυτό) αλλά την έχεις τοποθετήσει σε φάκελο για μαθητές Γυμνασίου.

Από πού προκύπτει ότι είναι ο σωστός φάκελος; Αυθαίρετα και χωρίς στοχεία;

Έχεις κάνει κάτι παρόμοιο

εδώ.

Στην περίπτωση αυτή ισχυρίζεσαι ότι μία άσκηση της οποίας δεν γνωρίζεις την λύση, απευθύνεται σε μαθητές Λυκείου; Αυθαίρετα;
Τυχαίνει να έχω λύση στην άσκηση αλλά με τρόπο έξω από το Λύκειο. Κάτι δεν πάει καλά.

Η συγκεκριμένη είναι από περιοδικό για μαθητές γυμνασίου, της Ε.Μ.Ε.
Προσπαθώ μέρες να την λύσω, αλλά δεν τα έχω καταφέρει.

Για την άλλη άσκηση, να με συγχωρέσετε, τι θα ήταν καλύτερα να κάνω;

#4

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 10:51 pm
Για την άλλη άσκηση, να με συγχωρέσετε, τι θα ήταν καλύτερα να κάνω;

Μία διέξοδος είναι να μπει στον Φάκελο των Καθηγητών. Άλλη, στον Φάκελο Θεωρίας Αριθμών σε Α.Ε.Ι.

Τσιαλας Νικολαος · #5

Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.

#6

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:55 am
Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.

Νίκο, σωστά. Εδώ είναι ο σωστός φάκελος. Άλλωστε, όπως διευκρινίζει ο Φώτης, άντλησε την άσκηση από περιοδικό απευθυνόμενο σε μαθητές Γυμνασίου.

Στο δικό μου μήνυμα παραπάνω, μιλάω για άλλη άσκηση.
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 10:55 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 10:51 pm
Για την άλλη άσκηση, να με συγχωρέσετε, τι θα ήταν καλύτερα να κάνω;
Μία διέξοδος είναι να μπει στον Φάκελο των Καθηγητών. Άλλη, στον Φάκελο Θεωρίας Αριθμών σε Α.Ε.Ι.

Fotis34 · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:55 am
Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.

Θεωρούμε την αρχική εξίσωση δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ . Η διακρίνουσα βγαίνει $\displaystyle{y⁴-4(1+y)(y²-17)}$ . Μετά από αυτό έχω κολλήσει, συγγνώμη, έπρεπε να το είχα γράψει.

Dimessi · #8

Φώτη την κατακρεουργήσαμε την άσκηση ρε φίλε.
$\left ( x-y \right )^{2}+xy\left ( 2+x-y \right )=17\Rightarrow \left ( 2+x-y \right )|\left ( 17-\left ( x-y \right )^{2} \right )\overset{\left ( 2+x-y \right )|\left ( \left ( x-y \right )^{2}+4\left ( x-y \right )+4 \right )}$
$\Rightarrow \left ( 2+x-y \right )|4\left ( x-y \right )+21\left ( \ast \right )$
$\overset{\left ( 2+x-y \right )|\left ( 4\left ( x-y \right )+8 \right )}\Rightarrow \left ( 2+x-y \right )|13\Rightarrow 2+x-y\in \left\{ \pm 1,\pm 13\right\}.$

Τσιαλας Νικολαος · #9

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 3:31 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:55 am
Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.
Θεωρούμε την αρχική εξίσωση δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ . Η διακρίνουσα βγαίνει $\displaystyle{y⁴-4(1+y)(y²-17)}$ . Μετά από αυτό έχω κολλήσει, συγγνώμη, έπρεπε να το είχα γράψει.

Νομίζω δεν βγαίνει έτσι. Γράφεις (x-y)^2+xy(x-y)+2xy-17=0

. Κάνεις διακρίνουσα ως προς x-y

και για να έχεις ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Fotis34 · #10

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 3:59 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 3:31 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:55 am
Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.
Θεωρούμε την αρχική εξίσωση δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ . Η διακρίνουσα βγαίνει $\displaystyle{y⁴-4(1+y)(y²-17)}$ . Μετά από αυτό έχω κολλήσει, συγγνώμη, έπρεπε να το είχα γράψει.
Νομίζω δεν βγαίνει έτσι. Γράφεις . Κάνεις διακρίνουσα ως προς και για να έχεις ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.

Σωστά, το έλυσα τώρα έτσι, βγαίνει. Αργότερα θα γράψω δύο λύσεις (ισοδύναμες με αυτές των δύο προηγούμενων post). Και μία ερώτηση πάνω σε αυτό: κάθε τέτοιο πρόβλημα λύνεται με περίπου αυτήν την φιλοσοφία;

Τσιαλας Νικολαος · #11

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 4:24 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 3:59 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 3:31 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 9:55 am
Καλημέρα. Νομίζω ότι η άσκηση κάνει για προκριματικό γυμνασίων. Εκτός αν μου διαφεύγει κάτι και υπάρχει πιο εύκολη λύση. Φώτη αν θες μια βοήθεια όπως είπες "τροποποίησε" το άθροισμα τετραγώνων και μετά διακρίνουσα.
Θεωρούμε την αρχική εξίσωση δευτεροβάθμια ως προς $\displaystyle{x}$ . Η διακρίνουσα βγαίνει $\displaystyle{y⁴-4(1+y)(y²-17)}$ . Μετά από αυτό έχω κολλήσει, συγγνώμη, έπρεπε να το είχα γράψει.
Νομίζω δεν βγαίνει έτσι. Γράφεις . Κάνεις διακρίνουσα ως προς και για να έχεις ακέραιες λύσεις πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.
Σωστά, το έλυσα τώρα έτσι, βγαίνει. Αργότερα θα γράψω δύο λύσεις (ισοδύναμες με αυτές των δύο προηγούμενων post). Και μία ερώτηση πάνω σε αυτό: κάθε τέτοιο πρόβλημα λύνεται με περίπου αυτήν την φιλοσοφία;

Προσωπικά στους μαθητές μου προτείνω να μην βάζουν το μυαλό τους σε κουτάκια. Γενικά σε τέτοιες ασκήσεις η Διακρίνουσα είναι πολύ "ισχυρή". Οι σκέψεις και οι τρόποι αντιμετώπισης είναι όμως πολλοί! Δοκιμάζεις τα πάντα και ότι κάτσει.

#12

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 18, 2026 9:16 pm
Ένα πρόβλημα που σχεδόν με έχει "φάει" και το παλεύω εδώ και μέρες. Αν κάποιος έχει λύση ας την αναρτήσει ή να βάλει μία υπόδειξη.

Να προσδιορίσετε όλα τα θετικά ακέραια ζεύγη $\displaystyle{(x,y)}$ , που ικανοποιούν την εξίσωση:

$\displaystyle{x²+y²+xy(x-y)=17}$ .

Υπόδειξη:

Η δοθείσα γράφεται

x²+y²+xy(x-y)-4=13

και άρα

. Τα υπόλοιπα απλά.

Dimessi · #13

Υπάρχει ένα πλεονέκτημα στα μαθηματικά που λέγεται νευρωνική υπερσυνδεσιμότητα. Η ικανότητα παράλληλης ενεργοποίησης νευρωνικών δικτύων στον εγκέφαλο , η ολιστική αντίληψη του προβλήματος ως ενιαίο σύνολο μιας δομής , η γεωμετρική σκέψη και η προβλεπτική ικανότητα επίσης εντάσσονται σε αυτό το χάρισμα.

Fotis34 · #14

Μία άλλη λύση παρόμοια με του post #8:

$\displaystyle{(x-y)²+xy(2+x-y)=17}$ , θέτουμε $\displaystyle{d=x-y}$ και είναι: $\displaystyle{d²+xy(2+d)=17 \Leftrightarrow xy=\frac{17-d²}{2+d} }$ κτλ.

#15

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 6:03 pm
Μία άλλη λύση παρόμοια με του post #8:

$\displaystyle{(x-y)²+xy(2+x-y)=17}$ , θέτουμε $\displaystyle{d=x-y}$ και είναι: $\displaystyle{d²+xy(2+d)=17 \Leftrightarrow xy=\frac{17-d²}{2+d} }$ κτλ.

Φώτη, παρακαλώ για συνέχισέ το αυτό. Όπως το βλέπω, η τελευταία σχέση είναι απλά τετριμμένη ισοδύναμη γραφή της αρχικής. Όμως η ουσία της λύσης αρχίζει από εκεί και πέρα.

Τσιαλας Νικολαος · #16

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 7:37 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 6:03 pm
Μία άλλη λύση παρόμοια με του post #8:

$\displaystyle{(x-y)²+xy(2+x-y)=17}$ , θέτουμε $\displaystyle{d=x-y}$ και είναι: $\displaystyle{d²+xy(2+d)=17 \Leftrightarrow xy=\frac{17-d²}{2+d} }$ κτλ.
Φώτη, παρακαλώ για συνέχισέ το αυτό. Όπως το βλέπω, η τελευταία σχέση είναι απλά τετριμμένη ισοδύναμη γραφή της αρχικής. Όμως η ουσία της λύσης αρχίζει από εκεί και πέρα.

Κύριε Μιχάλη νομίζω εννοεί είτε διαίρεση πολυωνύμων είτε προσθαφαίρεση το 4 στον αριθμητή.

Fotis34 · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 7:37 pm

Fotis34 έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 19, 2026 6:03 pm
Μία άλλη λύση παρόμοια με του post #8:

$\displaystyle{(x-y)²+xy(2+x-y)=17}$ , θέτουμε $\displaystyle{d=x-y}$ και είναι: $\displaystyle{d²+xy(2+d)=17 \Leftrightarrow xy=\frac{17-d²}{2+d} }$ κτλ.
Φώτη, παρακαλώ για συνέχισέ το αυτό. Όπως το βλέπω, η τελευταία σχέση είναι απλά τετριμμένη ισοδύναμη γραφή της αρχικής. Όμως η ουσία της λύσης αρχίζει από εκεί και πέρα.

Ωραία,

Ο αριθμός $\displaystyle{\frac{17-d^{2}}{2+d} = \frac{13-(2+d)(2-d)}{2+d} = -d+2+\frac{13}{2+d}}$ όπου προκύπτει ότι $\displaystyle{d=-15 , -3 , -1 , 11}$ από 'που κρατάμε $\displaystyle{d=-15,-1}$ όπου το $\displaystyle{-1}$ απορρίπτεται, αφού δεν ικανοποιεί το σύστημα. Επομένως, για $\displaystyle{d=-15}$ προκύπτει η μοναδική λύση $\displaystyle{(x,y)=(16,1)}$ .

#18

Αλλά προσοχή στον λάθος συμβολισμό: Τα "συνεπάγεται και αντιστρόφως" που γράφεις, πρέπει να γίνουν ισότητες.

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση