Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Tolaso J Kos · #1

Στο παρακάτω σχήμα

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (3, 0) arc(0:180:3); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (0.5, 0) node[below]{d}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; \end{tikzpicture}}$
να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 10:58 am
Στο παρακάτω σχήμα

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (3, 0) arc(0:180:3); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (0.5, 0) node[below]{d}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; \end{tikzpicture}}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$ .

Καλημέρα Τόλη!

Είναι ημικύκλιο;

Tolaso J Kos · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 11:43 am

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 10:58 am
Στο παρακάτω σχήμα

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (3, 0) arc(0:180:3); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (0.5, 0) node[below]{d}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; \end{tikzpicture}}$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$ .
Καλημέρα Τόλη!

Είναι ημικύκλιο;

Ναι.

STOPJOHN · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 10:58 am
Στο παρακάτω σχήμα

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (3, 0) arc(0:180:3); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (0.5, 0) node[below]{d}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; \end{tikzpicture}}$
να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$ .

Τα τρίγωνα AEC,ZCB

είναι όμοια Αρα $ZC=\dfrac{ad}{c},(1)$

Ομοιίως για τα τρίγωνα $ADC,CHB,CH=\dfrac{ad}{b},(2)$

Από Π.Θ στα τρίγωνα

$DCE,DEH,DE^{2}=c^{2}-b^{2},(4),DE^{2}+DH^{2}=4(\dfrac{d+a}{2})^{2},(3) (1),(2) ,(3),(4)\Rightarrow c^{2}b^{2}=d^{2}b^{2}+a^{2}b^{2}-a^{2}d^{2}$ Που είναι η αποδεικτέα σχέση

Η άσκησή μου φαίνεται δυσκολη για μαθητές Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ εκτός και αν υπάρχουν τμήματα με Άριστους στη Γεωμετρία

Tolaso J Kos · #5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Φεβ 09, 2026 10:58 am
Στο παρακάτω σχήμα

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (3, 0) arc(0:180:3); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (0.5, 0) node[below]{d}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; \end{tikzpicture}}$
να δειχθεί ότι $\displaystyle{\frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$ .

Δίνω τη λύση που είδα.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw (0, 0) circle(3cm); \draw (-3, 0) -- (3, 0); \draw (-2, 0) -- (-2.55, 1.58) -- (1.02, 2.82) -- cycle; \draw[color=green,fill=green,fill opacity=0.1] (-2.41,1.18) -- (-2.01,1.32) -- (-2.15,1.72) -- (-2.55,1.58) -- cycle; \draw (-2.5, 0) node[below]{a}; \draw (-2.27, 0.79) node[left]{b}; \draw (-0.49, 1.41) node[right]{c}; %extend lines \draw[fill=black] (0, 0) circle(1pt); \draw[dashed] (-2, 0) -- (-1.02, -2.82) -- (1.02, 2.82); \draw (-1, 0) node[below]{d-R}; \draw (1.5, 0) node[below]{R}; \draw (0.51, 1.41) node[right]{R}; \draw (-0.51, -1.41) node[right]{R}; \draw (-1.51, -1.41) node[left]{x}; \end{tikzpicture}}$
Από το σχήμα παίρνουμε ότι $2R = a + (d-R) + R \Leftrightarrow R = \frac{a+d}{2}$ . Το

προκύπτει ότι είναι $\frac{ad}{b}$ . Τέλος,

$\displaystyle{\left( d - R \right)^2 &= \frac{c^2 + \left( \frac{ad}{b} \right)^2}{2} - R^2 \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{c^2-d^2}{b^2-d^2}}$

Ναι, τώρα που το ξανά βλέπω και γω θα συμφωνήσω είναι δύσκολη για Γ' Γυμνασίου. Sorry, αστοχία φακέλου.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 10, 2026 8:15 am
Από το σχήμα παίρνουμε ότι $2R = a + (d-R) + R \Leftrightarrow R = \frac{a+d}{2}$ .

Επειδή απευθυνόμαστε σε μαθητές, πιο απλά αυτό το βήμα: Προφανώς από το σχήμα a+d=2R

. Και λοιπά.

Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Re: Ισότητα μεταξύ ευθυγράμμων τμημάτων

Μέλη σε σύνδεση