ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

#1

Δείτε τα σημερινά θέματα του διαγωνισμού "Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" στo συνημμένο αρχείο.

Παρακαλούμε όπως δίνονται πλήρεις λύσεις στα παρακάτω θέματα, όπως απαιτεί ο κανονισμός του forum.

Φιλικά,

Αχιλλέας

michalis.k · #2

Γ λυκείου 2ο
Το σύνολο Α έχει 1013 περιττούς κ 1012 άρτιους
Κάθε περιττός στην γραφή του ως άθροισμα μπορεί να περιέχει 1 ή 3 περιττούς
Κάθε άρτιος 2 ή 4 ή 0
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση απ' το σύνολο Α άρτιου αριθμού περιττών αριθμών
Εάν μπορούσε να διαχωριστούν κατά την εκφώνηση θα ίσχυε
1013 αρτιος
άτοπο

NewMember · #3

Ευχαριστούμε για την ανάρτηση των θεμάτων. Υποθέτω σήμερα κάποια στιγμή θα βγουν και οι λύσεις?
Καλά αποτελέσματα σε όλα τα παιδιά !

#4

Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου.

Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (𝑥, 𝑦)

που είναι λύσεις του συστήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - 20\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x + 5\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Απάντηση:

Αν $\displaystyle 2x + 5 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{5}{2}$ , τότε η (2) είναι αδύνατη, άρα και το σύστημα είναι αδύνατο
Ομοίως αν $\displaystyle 2x + y - 20 < 0$ , η (1) είναι αδύνατη.

Για $\displaystyle x \ge - \frac{5}{2}$ και $\displaystyle 2x + y - 20 \ge 0$ , έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle \left| {2x + y} \right| = 2x + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 2x + 5 \Leftrightarrow y = 5\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 2x + y = - 2x - 5 \Leftrightarrow y = - 4x - 5 \end{array} \right.$

Αν y=5

, η (1) γίνεται $\displaystyle \left| {x - 15} \right| = 2x - 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 15 = 2x - 15 \Leftrightarrow x = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x - 15 = - 2x + 15 \Leftrightarrow x = 10 \end{array} \right.$

Έχουμε δύο ζεύγη: (x,y)=(0,5)

ή

,

Μόνον το 2ο ζεύγος (x,y)=(10,5)

επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις.

Αν y=-4x-5

, η (1) γίνεται: $\displaystyle \left| {x - 3\left( { - 4x - 5} \right)} \right| = 2x - 4x - 5 - 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 13x + 15 = - 2x - 25 \Leftrightarrow x = - \frac{8}{3},\;\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 13x + 15 = - 2x + 4x + 5 - 20 \Leftrightarrow x = - \frac{{30}}{{11}}\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o \end{array} \right.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 2:40 pm
Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου.

Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - 20\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x + 5\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Απάντηση:

Αν $\displaystyle 2x + 5 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{5}{2}$ , τότε η (2) είναι αδύνατη, άρα και το σύστημα είναι αδύνατο
Ομοίως αν $\displaystyle 2x + y - 20 < 0$ , η (1) είναι αδύνατη.

Για $\displaystyle x \ge - \frac{5}{2}$ και $\displaystyle 2x + y - 20 \ge 0$ , έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle \left| {2x + y} \right| = 2x + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 2x + 5 \Leftrightarrow y = 5\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 2x + y = - 2x - 5 \Leftrightarrow y = - 4x - 5 \end{array} \right.$

Αν , η (1) γίνεται $\displaystyle \left| {x - 15} \right| = 2x - 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 15 = 2x - 15 \Leftrightarrow x = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x - 15 = - 2x + 15 \Leftrightarrow x = 10 \end{array} \right.$

Έχουμε δύο ζεύγη: ή ,

Μόνον το 2ο ζεύγος επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις.

Αν , η (1) γίνεται: $\displaystyle \left| {x - 3\left( { - 4x - 5} \right)} \right| = 2x - 4x - 5 - 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 13x + 15 = - 2x - 25 \Leftrightarrow x = - \frac{8}{3},\;\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 13x + 15 = - 2x + 4x + 5 - 20 \Leftrightarrow x = - \frac{{30}}{{11}}\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o \end{array} \right.$

Αρα

Ευκολα προκύπτει ότι x=0

η

fmak65 · #6

Μια απάντηση για το 3ο της Α' Λυκείου, που η ίδια λογική εφαρμόζεται και στα 3ο Β' Λυκείου και 2ο Γ' Λυκείου.
Αφού θα πρέπει να είναι όλοι οι αριθμοί από 1 ως 30 το άθροισμα δίνεται από τον τύπο $\sum_{1}^{n}=\frac{n*(n+1)}{2}$ , που είναι μονός αριθμός (465).
Όμως αφού σε κάθε τριάδα το άθροισμα των δύο είναι ίσο με τον τρίτο αριθμό , το άθροισμα των αριθμών κάθε τριάδας είναι διπλάσιο του ενός αριθμού, άρα ζυγός αριθμός. και το άθροισμα ζυγών αριθμών είναι ζυγός.
Άτοπο γιατί είδαμε πιο μπροστά ότι το άθροισμα είναι μονός αριθμός

#7

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 3:23 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 2:40 pm
Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια απάντηση στην Άλγεβρα της Β΄Λυκείου.

Πρόβλημα 2
Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών που είναι λύσεις του συστήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - 20\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x + 5\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$

Απάντηση:

Αν $\displaystyle 2x + 5 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{5}{2}$ , τότε η (2) είναι αδύνατη, άρα και το σύστημα είναι αδύνατο
Ομοίως αν $\displaystyle 2x + y - 20 < 0$ , η (1) είναι αδύνατη.

Για $\displaystyle x \ge - \frac{5}{2}$ και $\displaystyle 2x + y - 20 \ge 0$ , έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle \left| {2x + y} \right| = 2x + 5 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 2x + 5 \Leftrightarrow y = 5\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 2x + y = - 2x - 5 \Leftrightarrow y = - 4x - 5 \end{array} \right.$

Αν , η (1) γίνεται $\displaystyle \left| {x - 15} \right| = 2x - 15 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 15 = 2x - 15 \Leftrightarrow x = 0\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x - 15 = - 2x + 15 \Leftrightarrow x = 10 \end{array} \right.$

Έχουμε δύο ζεύγη: ή ,

Μόνον το 2ο ζεύγος επαληθεύει τις αρχικές εξισώσεις.

Αν , η (1) γίνεται: $\displaystyle \left| {x - 3\left( { - 4x - 5} \right)} \right| = 2x - 4x - 5 - 20 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 13x + 15 = - 2x - 25 \Leftrightarrow x = - \frac{8}{3},\;\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 13x + 15 = - 2x + 4x + 5 - 20 \Leftrightarrow x = - \frac{{30}}{{11}}\alpha \delta \upsilon \nu \alpha \tau o \end{array} \right.$
Αρα Ευκολα προκύπτει ότι η

Σχεδόν...Η λύση (x,y)=(0,5) απορρίπτεται.

Η παραπάνω ανάρτηση, πέρα από το τυπογραφικό λάθος, δεν αποτελεί πλήρη λύση σύμφωνα με τον κανονισμό- απέχει πολύ για να είμαι ακριβής- οπότε δυστυχώς θα πρέπει είτε να συμπληρωθεί είτε να διαγραφεί.

#8

michalis.k έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 2:04 pm
Γ λυκείου 2ο
Το σύνολο Α έχει 1013 περιττούς κ 1012 άρτιους
Κάθε περιττός στην γραφή του ως άθροισμα μπορεί να περιέχει 1 ή 3 περιττούς
Κάθε άρτιος 2 ή 4 ή 0
Δηλαδή σε κάθε περίπτωση γίνεται χρήση απ' το σύνολο Α άρτιου αριθμού περιττών αριθμών
Εάν μπορούσε να διαχωριστούν κατά την εκφώνηση θα ίσχυε
1013 αρτιος
άτοπο

Μπορείτε να γράψετε την λύση πιο αναλυτικά διότι δεν καταλαβαίνω τους ισχυρισμούς με κόκκινο.

Φιλικά,

Αχιλλέας

∫ot.T. · #9

Χαίρομαι ιδιαίτερα που το θέμα γεωμετρίας της Γ' Λυκείου ήταν τόσο ανοιχτό σε ιδέες επίλυσης. Επειδή όμως η προβολική γεωμετρία είναι πολύ όμορφη, παραθέτω συνοπτικά αυτήν τη λύση.

Για ευκολία σε Latex θα συμβολίσω τα σημεία με λατινικούς χαρακτήρες. Έστω

η τομή των AC, EZ

δηλαδή το μέσο του

. Έστω

η τομή των BC,KE

και

η τομή των ZH,AK

. Έχουμε ότι

$(K,H;E,S)\stackrel{Z}{=} (K,T;M,C)\stackrel{H}{=} (E,Z;M,\infty)=-1$

Επιπλέον $EZ\perp ZS$ άρα η

διχοτομεί την $\angle KZH$ (γνωστή πρόταση που αποδεικνύεται με απολλώνιο κύκλο και θεώρημα διχοτόμου)

#10

Επιχειρώ μιαν απάντηση και στο σύστημα της Γ΄ Λυκείου (πρόβλημα 4).

Να προσδιορίσετε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x, y)

που είναι λύσεις του συστήματος: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left| {x - 3y} \right| = 2x + y - a\;\;\;\left( 1 \right)\\ \left| {2x + y} \right| = 2x + b\;\;\;\;\;\left( 2 \right) \end{array} \right.$
όπου $\displaystyle a \ge 0,\;b \ge 0$ , είναι πραγματικές παράμετροι.

Αν $\displaystyle 2x + b < 0$ , τότε η (2) είναι αδύνατη, άρα και το σύστημα είναι αδύνατο.
Ομοίως αν $\displaystyle 2x + y - a < 0$ , η (1) είναι αδύνατη, άρα και το σύστημα είναι αδύνατο

Για $\displaystyle 2x + b \ge 0$ και $\displaystyle 2x + y - a \ge 0$ , έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle \left| {2x + y} \right| = 2x + b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x + y = 2x + b \Leftrightarrow y = b\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ 2x + y = - 2x - b \Leftrightarrow y = - 4x - b \end{array} \right.$

Αν y=b

, η (1) γίνεται $\displaystyle \left| {x - 3b} \right| = 2x + b - a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3b = 2x + b - a \Leftrightarrow x = a - 4b\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vee \\ x - 3b = - 2x - b + a \Leftrightarrow x = \frac{{a + 2b}}{3} \end{array} \right.$

Έχουμε δύο ζεύγη: (x,y)=(a-4b, b)

ή $\displaystyle \left( {x,y} \right) = \left( {\frac{a}{3} + \frac{{2b}}{3},\;b} \right)$

Θέτω x=a-4b, y = b

στην (1) κι έχουμε $\displaystyle \left| {a - 7b} \right| = a - 7b \Leftrightarrow a \ge 7b$ (3)

Θέτω $\displaystyle \left( {x = \frac{{a + 2b}}{3},y = b} \right)$ στην (1) κι έχουμε $\displaystyle \left| {\frac{{a - 7b}}{3}} \right| = \frac{{ - a + 7b}}{3} \Leftrightarrow a \le 7b$ , (4).

Αν y=-4x-b

, η (1) γίνεται: $\displaystyle \left| {13x + 3b} \right| = - 2x - b - a.$

Όμως $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2x + b \ge 0\\ a \ge 0 \end{array} \right. \Rightarrow - 2x - b - a \le 0$ , άρα μόνη λύση (x,y) =(0,0)

, που ήδη καλύπτεται από τις προηγούμενες.

edit: Έκανα μια διόρθωση και τη συγχώνευση των δύο περιπτώσεων σε ένα αποτέλεσμα.

theoch · #11

Επισυνάπτω μία λύση για το 4ο θέμα της Β' Λυκείου.

Θεμα4_ΒΛυκείου.pdf: (145.7 KiB) Μεταφορτώθηκε 162 φορές

Fotis34 · #12

Β΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Έχουμε:
$\displaystyle (100a+10b+c)-3(10b+c)=542$
$\displaystyle 100a-20b-2c=542$
$\displaystyle 20(5a-b)=542+2c$

Για $\displaystyle{0<c≤9}$ , η σχέση ισχύει μόνο για c=9

, οπότε:
$\displaystyle 20(5a-b)=560 \Rightarrow 5a-b=28$

Από τον έλεγχο των ψηφίων προκύπτουν οι λύσεις:
$\displaystyle (a,b,c)=(6,2,9)\quad \text{και}\quad (7,7,9)$

Άρα οι δυνατές τιμές του αριθμού

είναι:
$\displaystyle \boxed{A=629 \ , \; A=779}$

Mathnus Carlsen · #13

Μήπως έχει κάποιος να προτείνει λύση για το 1ο και το 4ο της πρώτης λυκείου; Επίσης πότε προβλέπεται να ανακοινωθούν τα αποτελέσματα;

Fotis34 · #14

Γ΄ Γυμνασίου

Πρόβλημα 4

Αντικαθιστούμε:
$\displaystyle (1000\alpha+100\beta+10\gamma+\delta) -5(100\beta+10\gamma+\delta)=1260$

$\displaystyle 1000\alpha-400\beta-40\gamma-4\delta=1260$

Διαιρούμε με

:
$\displaystyle 250\alpha-100\beta-10\gamma-\delta=315$

ή ισοδύναμα:
$\displaystyle 250\alpha-100\beta=315+10\gamma+\delta \tag{1}$

Το αριστερό μέλος της (1) είναι πολλαπλάσιο του

, άρα και το δεξί.
Ο αριθμός $315+10\gamma$ τελειώνει σε

, επομένως για να είναι
πολλαπλάσιο του

πρέπει:
$\displaystyle \delta=5$

Θέτουμε $\delta=5$ στην (1):
$\displaystyle 250\alpha-100\beta=320+10\gamma$

Διαιρούμε με

:
$\displaystyle 25\alpha-10\beta=32+\gamma \tag{2}$

Επειδή, $\displaystyle{0<c≤9}$ ισχύει:
$\displaystyle 32\le 32+\gamma \le 41$

Εξετάζουμε τις δυνατές τιμές του $\alpha$ :

$\displaystyle \begin{aligned} \alpha=2 &: \quad 50-10\beta=40 \Rightarrow \beta=1,\ \gamma=8 \\ \alpha=3 &: \quad 75-10\beta=35 \Rightarrow \beta=4,\ \gamma=3 \\ \alpha=4 &: \quad 100-10\beta=40 \Rightarrow \beta=6,\ \gamma=8 \\ \alpha=5 &: \quad 125-10\beta=35 \Rightarrow \beta=9,\ \gamma=3 \end{aligned}$

Άρα οι τετράδες $(\alpha,\beta,\gamma,\delta)$ είναι:
$\displaystyle (2,1,8,5),\ (3,4,3,5),\ (4,6,8,5),\ (5,9,3,5)$

Οι αντίστοιχες τιμές του

είναι:
$\displaystyle A=2185,\ 3435,\ 4685,\ 5935$

$\displaystyle \boxed{A=2185,\;3435,\;4685,\;5935}$

Fotis34 · #15

Mathnus Carlsen έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 4:49 pm
Μήπως έχει κάποιος να προτείνει λύση για το 1ο και το 4ο της πρώτης λυκείου; Επίσης πότε προβλέπεται να ανακοινωθούν τα αποτελέσματα;

Θα στείλω, όταν καταφέρω να το λύσω, για το πρόβλημα 1.

Fotis34 · #16

Α Λυκείου

Πρόβλημα 1

Θεωρούμε πέντε διαδοχικούς θετικούς ακεραίους με μεσαίο τον

:
$\displaystyle n-2,\; n-1,\; n,\; n+1,\; n+2$

Το άθροισμά τους είναι:
$\displaystyle (n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n$

Θέλουμε το άθροισμα να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή:
$\displaystyle 5n=k^2$
για κάποιον ακέραιο

.

Θέτουμε k=5t

, όπου $t\in\mathbb{N}$ . Τότε:
$\displaystyle k^2=25t^2$
και από τη σχέση 5n=k^2

προκύπτει:
$\displaystyle 5n=25t^2 \Rightarrow n=5t^2$

Άρα, για κάθε φυσικό αριθμό

, οι πέντε διαδοχικοί ακέραιοι:
$\displaystyle 5t^2-2,\;5t^2-1,\;5t^2,\;5t^2+1,\;5t^2+2$
έχουν άθροισμα:
$\displaystyle 5n=25t^2=(5t)^2$
που είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.

Επειδή οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι, υπάρχουν άπειρες τέτοιες πεντάδες.

Ιωάννης Μελισσουργός · #17

Για το 1ο της Α Λυκείου

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι

ώστε

$(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)=χ^2 \Leftrightarrow 5a=x^2$

Αν πάρουμε a=5k^2

τότε προφανώς ο αριθμός 25k^2

είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε

.

Fotis34 · #18

Ιωάννης Μελισσουργός έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 4:58 pm
Για το 1ο της Α Λυκείου

Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι ώστε

$(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)=χ^2 \Leftrightarrow 5a=x^2$

Αν πάρουμε τότε προφανώς ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε .

Σωστά!

vasilis.volos.13 · #19

Για την Γ Λυκείου βλέπω ότι κάποια έχουν απαντηθεί ανεβάζω γιατί κάποιες ίσως είναι λίγο διαφορετικές με μια επιφύλαξη αν υπάρχει κάπου λάθος.
Πρόβλημα 1
Αν ένας από τους x,y,z

είναι

τότε είναι και οι υπόλοιποι. Για $x,y,z\neq 0$ από την ανισότητα $4+9x^2\geq 12x$ παίρνουμε ότι $\displaystyle \frac{12x^2}{4+9x^2}\leq \frac{12x^2}{12x}=x$ οπότε $y \leq x$ . Αντίστοιχα με την ίδια ανισότητα και στις άλλες δύο παίρνουμε ότι $z \leq y$ και $χ\leq z$ οπότε τελικά θα έχουμε ότι x=y=z

άρα από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι:
$12x^2=χ(4+9x^2)\Leftrightarrow 9x^3-12x^2+4x=0 \Leftrightarrow x(9x^2-12x+4)=0\Leftrightarrow x(3x-2)^2=0$ Όμως $x\neq0$ επομένως $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ επομένως οι ζητούμενες τριάδες θα είναι οι:
(0,0,0)

και $\displaystyle \left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$

Πρόβλημα 2
Αν υπάρχει μια τέτοια διαμέριση τότε κάθε σύνολο θα είναι της μορφής $B=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)|x_1+x_2+x_3+x_4=x_5\}$ . To σύνολο

έχει

άρτιους και 1013

περιττούς.
Έστω ότι ο x_5

είναι άρτιος τότε από τα υπόλοιπα

στοιχεία της πεντάδας θα είναι είτε

είτε

οι περιττοί. Οπότε τα σύνολα αυτής της μορφής θα έχουν άρτιο πλήθος περιττών αριθμών
Έστω ότι ο x_5

είναι περιττός τότε από τα υπόλοιπα

στοιχεία της πεντάδας θα είναι είτε

είτε

οι περιττοί οπότε αντίστοιχα και από εδώ τα σύνολα αυτής της μορφής θα έχουν άρτιο πλήθος περιττών αριθμών.
Εφόσον πρέπει να χρησιμοποιηθούν όλα τα στοιχεία το καθένα μια φορά και έχουμε 1013

περιττούς άρα δεν υπάρχει διαμέριση αυτής της μορφής.

Πρόβλημα 3
Προεκτείνουμε τα τμήματα ΖΗ , ΑΔ και ΑΒ. Ορίζουμε τότε Μ το σημείο τομής των προεκτάσεων των ΑΔ και ΖΗ, Ι το σημείο τομής του ΚΗ και της προέκτασης του ΑΒ και έστω Π το σημείο τομής των ΚΖ και ΑΒ και Ν το σημείο τομής της ΚΖ με την προέκταση της ΑΔ.
Έτσι έχουμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΙΑΕ και ΔΕΗ είναι ίσα εφόσον έχουν κατακορυφήν στο Ε και ΑΕ=ΕΔ, άρα έχουμε ότι $AI=\Delta H \quad (1)$ Από ομοιότητα των τριγώνων ΚΕΘ και ΚΑΙ προκύπτει ότι:
$\displaystyle \frac{E\Theta}{IA}=\frac{\Theta K}{KA} \quad (2)$
Αντίστοιχα από την ομοιότητα των ΚΑΠ και ΚΘΖ προκύπτει ότι:
$\displaystyle \frac{E\Theta}{A\Pi}=\frac{\Theta K}{KA} \quad (3)$
Άρα από (2),(3)

έχουμε $A\Pi=AI \quad (4)$
Από (1),(4)

τώρα έχουμε ότι $A\Pi=\Delta H$ .
Τώρα από την ομοιότητα των $ΝA\Pi$ και NEZ

έχουμε:
$\displaystyle \frac{A\Pi}{EZ}=\frac{NA}{NE} \quad (5)$
Αντίστοιχα από τα τρίγωνα MEZ

και $ΜΗ\Delta$ έχουμε:
$\displaystyle \frac{\Delta H}{EZ}=\frac{Μ\Delta}{ME} \quad (6)$

Από (5),(6)

έχουμε $\displaystyle \frac{NA}{NE}=\frac{M\Delta}{ME}\Leftrightarrow NE\cdot M\Delta=NA\cdot ME \Leftrightarrow$ $NA\cdot M\Delta +AE\cdot M\Delta=NA\cdot M\Delta +NA\cdot\Delta E \Leftrightarrow NA=M\Delta$
Από το τελευταίο προκύπτει ότι η

είναι μεσοκάθετος στο

επομένως προκύπτει ότι η

θα διχοτομεί την $\hat{KZH}$

Εικόνα

: GeoGebra_knAmOBaZmb.png (55.81 KiB) Προβλήθηκε 17482 φορές

Πρόβλημα 4
Για να υπάρχουν κοινές λύσεις για το σύστημα θα πρέπει να έχουν και οι δύο εξισώσεις λύσεις. Επομένως τα δεύτερα μέλη τους θα πρέπει να είναι μη αρνητικά. από την πρώτη εξίσωση προκύπτει ότι πρέπει $2x+y-a\geq 0 \Leftrightarrow 2x+y\geq a$ όμως γνωρίζοντας ότι $a\geq 0$ τότε πρέπει $2x+y\geq 0$ επομένως έχουμε για την δεύτερη εξίσωση ότι |2x+y|=2x+y

άρα η δύτερη θα δώσει λύση y=b

. Ανοίγοντας τώρα το απόλυτο στην πρώτη προκύπτει ότι
$\displaytyle x-3y=2x+y-a \eta x-3y=-2x+y+a\Leftirghtarrow x=a-4b \eta x=\frac{a+2b}{3}$

άρα οι πιθανές λύσεις έιναι της μορφής $\displaystyle (x,y)=(a-4b,b) \eta (x,y)=\left(\frac{a+2b}{3},b\right)$
Επαληθεύοντας την πρώτη και στις δύο εξισώσεις δίνει |2a-b|=2a-b

και

Επαληθεύοντας την δεύτερη και στις δύο εξισώσεις δίνει $\displaystyle \left|\frac{2a+7b}{3}\right|=\frac{2a+7b}{3}$ και $\left| \frac{a-7b}{3}\right|=\frac{7b-a}{3}$

από τις παραπάνω σχέσεις έχουμε τις λύσεις (x,y)=(a-4b,b)

για $a\geq 7b$ και $\displaystyle (x,y)=\left(\frac{a+2b}{3},b\right)$ για a<7b

#20

vasilis.volos.13 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 17, 2026 5:10 pm
Για την Γ Λυκείου βλέπω ότι κάποια έχουν απαντηθεί ανεβάζω γιατί κάποιες ίσως είναι λίγο διαφορετικές με μια επιφύλαξη αν υπάρχει κάπου λάθος.
Πρόβλημα 1
Από την ανισότητα $4+9x^2\geq 12x$ παίρνουμε ότι $\displaystyle \frac{12x^2}{4+9x^2}\leq \frac{12x^2}{12x}=x$ οπότε $y \leq x$ . ...

Υπάρχει ένα λεπτό σημείο όταν διαιρούμε με το

: Δεν μπορεί να γίνει όταν x=0

.

Διορθώνεται εύκολα, βέβαια.

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2025-2026 (ΘΕΜΑΤΑ και ΛΥΣΕΙΣ)

Μέλη σε σύνδεση