ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

#1

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΞΗ ΠΑΡΕΑ!
Στο εσωτερικό τριγώνου ABC

ορίζουμε σημείο

επί της μεσοκαθέτου της

, τέτοιο ώστε $\angle{BCD}=20^0$ . Ομοίως επί της μεσοκαθέτου της

ορίζουμε σημείο

με $\angle{ACE}=30^0$ και επί της μεσοκαθέτου της

ορίζουμε σημείο

με $\angle{ABZ}=40^0$ . Αν D', E', Z'

είναι τα συμμετρικά των D, Z, E

ως προς τις BC, AC, AB

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα DEZ, D'E'Z'

είναι όμοια και να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών τους. Γενίκευση για αντικατάσταση των τριών τιμών με γωνίες a,b,c

με άθροισμα a+b+c=90^0

.

#2

ΕΠΑΝΑΦΟΡΑ

#3

Καλή χρονιά σε όλους τους καλούς μου φίλους!
Παραθέτω μερικές ειδικές περιπτώσεις, όπου προκύπτει ισόπλευρο τρίγωνο EZH

στις τρείς πρώτες, όπου έχουμε 3 ισοσκελή τρίγωνα με γωνία κορυφής 120 μοιρών στο εξωτερικό η εσωτερικό τριγώνου ABC

η και σε συνευθειακά σημεία (εκφυλισμένο τρίγωνο) με a=b=c=30^0

. Στις επόμενες 2 προκύπτει ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο DME

με

και

.
Το πρόβλημα γενικεύεται αν θεωρήσουμε προσημασμένες γωνίες για παράδειγμα θετικές στο εσωτερικό και αρνητικές στο εξωτερικό του αρχικού τριγώνου.
Μία άλλη μορφή του προβλήματος είναι να θεωρήσουμε μία κλειστή 6-γωνική γραμμή A_1A_2A_3A_4A_5A_6/ όχι απαραίτητα κυρτή η απλή, με τις ιδιότητες το άθροισμα των άρτιας τάξης γωνιών να ισούται με το άθροισμα των περιττής τάξης γωνιών και οι πλευρές που έχουν κοινή κορυφή άρτιας τάξης να είναι ίσες μεταξύ τους καθώς το άθροισμα των γωνιών των κορυφών των τριών ισοσκελών τριγώνων (εκφυλισμένων η μη) με βάσεις τις πλευρές του αρχικού τριγώνου είναι 360^0

. Τότε οι γωνίες του τριγώνου A_2A_4A_6

έχουν μέτρο το μισό των αντίστοιχων γωνιών του 6-γώνου.
Αργότερα θα καταθέσω την κοινή μέθοδο αντιμετώπισης όλων αυτών των περιπτώσεων αλλά και της γενικότερης που αναφέρω.

abgd · #4

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 26, 2025 11:26 am
Στο εσωτερικό τριγώνου ορίζουμε σημείο επί της μεσοκαθέτου της , τέτοιο ώστε $\angle{BCD}=20^0$ . Ομοίως επί της μεσοκαθέτου της ορίζουμε σημείο με $\angle{ACE}=30^0$ και επί της μεσοκαθέτου της ορίζουμε σημείο με $\angle{ABZ}=40^0$ . Αν είναι τα συμμετρικά των ως προς τις αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και να υπολογίσετε τα μέτρα των γωνιών τους. Γενίκευση για αντικατάσταση των τριών τιμών με γωνίες με άθροισμα .

: omoiotita1.png (88.04 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές

Έστω

τα μέσα των AB,BC,CA

αντίστοιχα.

Υπολογισμός της γωνίας του τριγώνου .

Έστω

κάθετο στην

και

κάθετο στην

.

Με τη βοήθεια των ομοκυκλικών σημείων, (φαίνονται στο σχήμα), μπορούμε να δούμε ότι τα σημεία S, T

είναι τα μοναδικά σημεία απ’ όπου οι πλευρές των ίσων τριγώνων BMK, CKN

φαίνονται υπό ίσες γωνίες.

Έτσι, τα τρίγωνα BSK , KTC

θα είναι ίσα.

Από την ισότητα αυτή έχουμε $\phi+\omega=70^o$ οπότε EDZ=70^o

.

Ομοίως υπολογίζουμε τις γωνίες DEZ=60^o, DZE=50^o

Με την ίδια τεχνική υπολογίζουμε τις γωνίες E'D'Z'=70^o,D'E'Z'=60^o, D'Z'E'=50^o

: omoiotita2.png (76.48 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές

Στη γενικότερη περίπτωση θα ισχύει: $\bf {EDZ=E'D'Z'=90-a, \ \ DEZ=D'E'Z'=90-b, DZE=D'Z'E'=90-c}$

ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Re: ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Re: ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Re: ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΙΑΤΙΚΗ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Μέλη σε σύνδεση