Δύο εναντίον ενός

KARKAR · #1

: Δύο εναντίον ενός.png (16.16 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές

Από την κορυφή

του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \hat{A}=90^0)$ , φέραμε τμήμα

κάθετο προς

την διάμεσο

. Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο έτσι , ώστε : SA+SB=SC

;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 03, 2025 12:10 pm
Δύο εναντίον ενός.pngΑπό την κορυφή του ορθογωνίου τριγώνου $ABC , ( \hat{A}=90^0)$ , φέραμε τμήμα κάθετο προς

την διάμεσο . Μπορούμε να κατασκευάσουμε το τρίγωνο έτσι , ώστε : ;

Με Αναλυτική Γεωμετρία αλλά χωρίς τις πράξεις.

Χωρίς βλάβη AB=1

, οπότε με αρχή των αξόνων το A(0,0)

είναι

και, για κάποιο (ζητούμενο

) είναι $M(m,0), \, C(2m,0)$ .

H ευθεία

έχει κλίση $-\dfrac {1}{m}$ και άρα είναι η $y-1=-\dfrac {x}{m}$ . Άρα η κάθετή της

είναι η

. Λύνοντας το σύστημα των δύο προηγούμενων θα βρούμε

$\displaystyle{S\left ( \dfrac {m}{m^2+1}, \, \dfrac {m^2 }{m^2+1} \right )}$ .

Εύκολα τώρα

$\displaystyle{SA= \dfrac {m}{\sqrt {m^2+1}}, \, SB= \dfrac {1}{\sqrt {m^2+1}},\, SC= \dfrac {m\sqrt {4m^2+1}}{\sqrt {m^2+1}}}$

Άρα η εξίσωση SA+SB=SC

γίνεται $\displaystyle{ \dfrac {m+1}{\sqrt {m^2+1}}= \dfrac {m\sqrt {4m^2+1}}{\sqrt {m^2+1}}}$ .

Ισοδύναμα $\boxed {4m^4-2m-1=0}$ . Με λογισμικό βρήκα $\boxed {m\approx 0,9175}$ (απορρίπτονται η αρνητική και οι δύο μιγαδικές ρίζες).

Δύο εναντίον ενός

Δύο εναντίον ενός

Re: Δύο εναντίον ενός

Μέλη σε σύνδεση