Παραπληρωματικές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17490
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παραπληρωματικές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 20, 2025 8:59 pm

Παραπληρωματικές.png
Παραπληρωματικές.png (20.31 KiB) Προβλήθηκε 395 φορές
Στο τρίγωνο ABC ο κύκλος διαμέτρου BC τέμνει την διάμεσο AM στο σημείο S , ενώ

ο κύκλος (M , MA) τέμνει την ευθεία BC στα σημεία B' , C' . Η BS τέμνει την AC

στο T , ενώ η CS τέμνει την AB στο P . Δείξτε ότι οι γωνίες \phi , \theta , είναι παραπληρωματικές .


Λέξεις Κλειδιά:
ομόκεντροι
παραπληρωματικές
Κορυφή
Dimessi
Δημοσιεύσεις: 375
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 10, 2023 3:48 pm

Re: Παραπληρωματικές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Dimessi » Σάβ Σεπ 20, 2025 10:01 pm

Α-Humpty.png
Α-Humpty.png (34.27 KiB) Προβλήθηκε 379 φορές


Κορυφή
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 18274
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Παραπληρωματικές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 20, 2025 10:16 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 8:59 pm
 Παραπληρωματικές.pngΣτο τρίγωνο ABC ο κύκλος διαμέτρου BC τέμνει την διάμεσο AM στο σημείο S , ενώ

ο κύκλος (M , MA) τέμνει την ευθεία BC στα σημεία B' , C' . Η BS τέμνει την AC

στο T , ενώ η CS τέμνει την AB στο P . Δείξτε ότι οι γωνίες \phi , \theta , είναι παραπληρωματικές .
παραπλ.png
παραπλ.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 372 φορές
.
Ισοδύναμα πρέπει να δείξουμε ότι το APST είναι εγγράψιμο. Προς τούτο παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα AB'M, ABM είναι ίσα διότι B'M=AM, MS=MB και \widehat {M} κοινή. Άρα \widehat {B'}= \widehat {BAM} και όμοια \widehat {C'}= \widehat {CAM} . 'Επεται

\widehat {A}= \widehat {BAM} + \widehat {CAM}= \widehat {B΄} + \widehat {C'}= 180 - \widehat {B'SC'} , δηλαδή

\widehat {A}+\widehat {B'SC'} =180, από όπου το ζητούμενο διότι \widehat {B'SC'} =\widehat {PST}


Κορυφή
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 3291
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Παραπληρωματικές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Σεπ 21, 2025 2:32 am

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 20, 2025 8:59 pm
 Παραπληρωματικές.pngΣτο τρίγωνο ABC ο κύκλος διαμέτρου BC τέμνει την διάμεσο AM στο σημείο S , ενώ

ο κύκλος (M , MA) τέμνει την ευθεία BC στα σημεία B' , C' . Η BS τέμνει την AC

στο T , ενώ η CS τέμνει την AB στο P . Δείξτε ότι οι γωνίες \phi , \theta , είναι παραπληρωματικές .
Θα αποδείξουμε ότι το APST είναι εγγράψιμμο

Είναι AS=BB’=CC’ και SM=MB=MC άρα

\dfrac{AS}{SM} = \dfrac{B'B}{BM} = \dfrac{C'C}{CM} \Rightarrow SB//AB' ,SC//AC' \Rightarrow ASBB',ASCC' ισοσκελή τραπέζια

Επομένως SB’=c και SC’=b .Επιπλέον (SB’M)=(ABM) και (SC’M)=(AMC)

Άρα (ABC)=(SB’C’) οπότε bcsinx=bcsin \omega \Rightarrow sinx=sin \omega \Rightarrow \angle x+ \omega =180^0

(αφού η x είναι οξεία και η \omega αμβλεία)
Παραπληρωματικές.png
Παραπληρωματικές.png (109.81 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης