Ιδιόμορφη ισότητα

[Doloros]

Ιδιόμορφη ισότητα.png (20.42 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

[george visvikis]

Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

Με ύλη Γ' Γυμνασίου.

Λόγω της μεσοκαθέτου είναι και λόγω της οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Ιδιόμορφη ισότητα.png (19.58 KiB) Προβλήθηκε 1028 φορές

Εξάλλου, και Άρα τα τρίγωνα

είναι όμοια κι επειδή θα είναι και

[Mihalis_Lambrou]

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

To είναι ισοσκελές, οπότε . Άρα και από παραλληλία είναι . Άρα τα τρίγωνα είναι όμοια αφού , και , και έχουν ίσες περιεχόμενες γωνίες. Τώρα, αφού το δεύτερο είναι ισοσκελές, έπεται ότι είναι ισοσκελές και το πρώτο, από όπου το ζητούμενο.

Edit: Με πρόλαβε ο Γιώργος, με την ίδια λύση. Το αφήνω για τον κόπο.
.

[Dimessi]

Άμα πάρουμε το αντιδιαμετρικό του ως προς τον
Το γινόμενο μεταφέρεται μέσω ίσων τμημάτων στο γινόμενο
δηλ εγγράψιμο

Ισότητα.png (764.32 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

όπου η τελευταία μεταφέρεται στην κατακορυφήν της γωνίας μέσω της ισότητας
δηλαδή στην
οπότε
από μεσοσυνδετήρια τμήματα στα τρίγωνα ,

[Doloros]

Άμα πάρουμε το αντιδιαμετρικό του ως προς τον
Το γινόμενο μεταφέρεται μέσω ίσων τμημάτων στο γινόμενο
δηλ εγγράψιμο
Ισότητα.png

όπου η τελευταία μεταφέρεται στην κατακορυφήν της γωνίας μέσω της ισότητας
δηλαδή στην
οπότε
από μεσοσυνδετήρια τμήματα στα τρίγωνα ,

Ιδιόμορφη ισότητα_dimessi.png (32.79 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

Έστω συμμετρικό του ως προς οπότε . Θα αποδείξουμε ότι

Με προφανώς το είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα

οπότε μεσοκάθετος της

Επειδή όμως το είναι παραλ/μμο ,άρα και

Ιδιόμορφη ισότητα.png (49.03 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

[Μιχάλης Νάννος]

Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

shape.png (23.46 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

[STOPJOHN]

Ιδιόμορφη ισότητα.png
Έστω ημικύκλιο κέντρου και διαμέτρου . Δεχόμαστε ότι ένα σημείο , του ημικυκλίου βρίσκεται κοντά στο ,

έτσι ώστε η μεσοκάθετη στην ακτίνα τέμνει την ακτίνα σε σημείο . Ας είναι και σημείο της ακτίνας με , .

Αν τα μέσα των αντίστοιχα , δείξετε ότι : .

Τα μαθηματικά δεν έχουν στεγανά , άρα όλες οι λύσεις «μετράνε».

Όμως λύσεις με ύλη Α λυκείου ή Γ γυμνασίου ( χωρίς τριγωνομετρία ) είναι εντός φακέλου .

, ,

Οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο και