Καρτεσιανός τόπος

KARKAR · #1

: Καρτεσιανός τόπος.png (20.21 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Το σημείο S(4,3)

είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου SPT

, με τα άκρα της υποτείνουσας

να είναι σημεία

του κύκλου : x^2+y^2=49

. Βρείτε την πιο απλή μορφή της εξίσωσης του γεωμ. τόπου του μέσου

του

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 25, 2025 7:09 pm
Καρτεσιανός τόπος.pngΤο σημείο είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου , με τα άκρα της υποτείνουσας να είναι σημεία

του κύκλου : . Βρείτε την πιο απλή μορφή της εξίσωσης του γεωμ. τόπου του μέσου του .

.
Θα δούμε ότι ο ζητούμενος τόπος είναι κύκλος με κέντρο το μέσον

του (σταθερού) τμήματος

(την ακτίνα το θα την δούμε στα παρακάτω).

Θα γίνει πολλαπλή χρήση του θεωρήματος των διαμέσων, στα τρίγωνα ONS, OPT

. Έχουμε

$\displaystyle{2MK^2+ \dfrac {OS^2}{2}= OM^2+SM^2=OM^2+\left (\dfrac {PT}{2}\right )^2= \dfrac {1}{2} \left ( 2OM^2+\dfrac {PT^2}{2} \right)=}$

$\displaystyle{=\dfrac {1}{2} \left ( OP^2+OT^2 \right) = \dfrac {1}{2} \left ( 7^2+7^2 \right) =49}$

H πρώτη και η τελευταία, δεδομένου ότι OS^2=3^3+4^2=25

, δίνει $\boxed {MK= \dfrac {\sqrt {73}} {2}}$

Αλλά το

είναι σταθερό, και ως μέσον του

έχει συντεταγμένες $K\left (2, \dfrac {3}{2}\right)$ , άρα το

κινείται επί κύκλου κέντρου

. Συγκεκριμένα του

$\displaystyle{\boxed { (x-2)^2+\left ( y-\dfrac {3}{2}\right ) ^2= \dfrac {73}{4}}$

Σχόλιο: Εννοείται ότι τα παραπάνω γενικεύονται, χωρίς αλλαγή στα βήματα, όταν ο αρχικός κύκλος έχει ακτίνα

και το

είναι το

. Σε αυτή την περίπτωση ο τόπος είναι ο

$\displaystyle {\left (x- \dfrac {a}{2}\right )^2+\left ( y-\dfrac {b}{2}\right ) ^2= \dfrac {2R^2-a^2-b^2}{4}}$
.

KARKAR · #3

Ακριβώς ! Απλά να συμπληρώσω ότι με την έκφραση " πιο απλή μορφή εξίσωσης" εννοούσα

την : x^2-4x+y^2-3y-12=0

, η οποία είναι απαλλαγμένη από κλάσματα .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 26, 2025 5:39 am
Ακριβώς ! Απλά να συμπληρώσω ότι με την έκφραση " πιο απλή μορφή εξίσωσης" εννοούσα

την : , η οποία είναι απαλλαγμένη από κλάσματα .

.
Θανάση, νομίζω ότι περιττεύει ΤΕΛΕΙΩΣ η τετριμμένη απλοποίηση. Καλοσύνη σου βέβαια, αλλά χάνουμε την ουσία, ως άκρως περιττό. Το ίδιο έγινε και εδώ όπου, το τονίζω, στον Φάκελο των Καθηγητών, ένοιωσες ότι έπρεπε κάποια απλούστατα κλάσματα να μετατραπούν σε ποσοστά, λες και οι Καθηγητές το έχουν ανάγκη.

Επι της ουσίας: Άφησα την εξίσωση χωρίς να διώξω τα κλάσματα (λες και το έχει ανάγκη ο αναγνώστης της άσκησης) γιατί θεωρώ απλούστερη την μορφή της εξίσωσης όπου ΦΑΙΝΟΝΤΑΙ τα στοιχεία του κύκλου (κέντρο, ακτίνα). Θεώρησα ότι δεν μπερδεύεται κανείς αν βλέπει κλάσματα. Με λίγα λόγια, ντράπηκα να κάνω την τετριμμένη απλοποίηση για να μην θεωρηθεί ότι εργάζομαι με υπερβάλλοντα ζήλο.

.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 25, 2025 7:09 pm
Καρτεσιανός τόπος.pngΤο σημείο είναι κορυφή ορθογωνίου τριγώνου , με τα άκρα της υποτείνουσας να είναι σημεία

του κύκλου : . Βρείτε την πιο απλή μορφή της εξίσωσης του γεωμ. τόπου του μέσου του .

Την άσκηση( σε παραλλαγή) την είδαμε πριν περίπου 20 μέρες ως "Το τρίτο τμήμα 19" και στην Ευκλείδεια της έκφραση Εδώ

duamba · #6

Αυτή είναι μια απορία που είχα τις τελευταίες μέρες.

Σίγουρα η $(x-2)^2+\left ( y-\dfrac {3}{2}\right ) ^2= \dfrac {73}{4}$ βοηθάει πολύ στο να δεις το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου
(αντίστοιχα και σε μια εξίσωση ευθείας μπορεί να φαίνεται η κλίση και η τομή του άξονα y),

Όμως και η γενική μορφή x^2-4x+y^2-3y-12=0

θα έχει κάποια αξία, δεν μπορεί!

Για παράδειγμα, αν δεν κάνω λάθος, μπορείς να συμπεράνεις το είδος μιας κωνικής τομής
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + EY + F = 0

ελέγχοντας το πρόσημο της διακρίνουσας B^2-4AC

.

Παρεμπιπτόντως ο Euler στην ~"Ανάλυση του απείρου" κατηγοριοποιεί τις καμπύλες σε τάξεις ανάλογα με την γενική τους εξίσωση, δλδ:

1η τάξη
A + Bx + Cy = 0

2η τάξη

3η τάξη

κ.ο.κ.

#7

duamba έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 26, 2025 11:35 am
Αυτή είναι μια απορία που είχα τις τελευταίες μέρες.

Σίγουρα η $(x-2)^2+\left ( y-\dfrac {3}{2}\right ) ^2= \dfrac {73}{4}$ βοηθάει πολύ στο να δεις το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου

Ίσως δεν έγινα κατανοητός. Κάνω άλλη μία προσπάθεια:

Το ερώτημα ΔΕΝ είναι αν η μία ή η άλλη μορφή είναι ευκολότερη ή όχι, σύμφωνα με τα κριτήρια του καθενός.

Το ερώτημα είναι αν περιττεύει ή όχι να κάνουμε τις τετριμμένες πράξεις ως συμπλήρωμα (ως εαν επρόκειτο για κενό) στην δοθείσα λύση.

Ας επαναλάβω και κάτι που ήδη έγραψα: "Θεώρησα ότι δεν μπερδεύεται κανείς αν βλέπει κλάσματα. Με λίγα λόγια, ντράπηκα να κάνω την τετριμμένη απλοποίηση για να μην θεωρηθεί ότι εργάζομαι με υπερβάλλοντα ζήλο."

duamba · #8

Το επιχείρημα σας είναι λογικό, η απορία μου είναι: πότε κάποιος επιλέγει να μεταχειριστεί την γενική μορφή μιας (αλγεβρικής) καμπύλης αντί για αυτή στην οποία φαίνεται η κλίση ευθείας, ή η ακτίνα κύκλου κλπ.;

Ελπίζω να μην είναι πολύ αόριστη η απορία, ελπίζω επίσης να μην ξεφεύγω εντελώς απο το κλίμα της άσκησης και του φακέλου, σε τέτοια περίπτωση αγνοήστε ελεύθερα.

#9

duamba έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 26, 2025 1:13 pm
Το επιχείρημα σας είναι λογικό, η απορία μου είναι: πότε κάποιος επιλέγει να μεταχειριστεί την γενική μορφή μιας (αλγεβρικής) καμπύλης αντί για αυτή στην οποία φαίνεται η κλίση ευθείας, ή η ακτίνα κύκλου κλπ.;

Πολύ ενδιαφέρον το ερώτημα, και ο Euler αυτό διαπραγματεύεται.

Η ουσία της γενικής μορφής Ax^2 +Bxy +Cy^2+Dx+Ey+F=0

που γράφει ο Euler είναι (το απρόσμενο) ότι περιλαμβάνει όλες τις κωνικές. Από εκεί και πέρα, για να μην εξετάζει κανείς κάθε φορά την διακρίνουσα B^2-4AC

για να αποφανθεί το είδος της κωνικής, οι ευκολότερες γραφές είναι προτιμητέες. Για παράδειγμα προτιμά κανείς την μορφή y=ax^2

της παραβολής, παρά την ax^2 +0xy + 0y^2 + 0x -y+0= 0

. Ανάλογα, είναι πιο προσιτή η μορφή y-1=2(x-2)^2

μιας παραβολής, της οποίας αμέσως διακρίνει κανείς την μορφή και την κορυφή, παρά η ίδια στην μορφή 2x^2-8x-y+9=0

.

.

duamba · #10

Ευχαριστώ για την απάντηση.

Καρτεσιανός τόπος

Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Re: Καρτεσιανός τόπος

Μέλη σε σύνδεση