Υπολογισμοί με νόημα

KARKAR · #1

: Υπολογισμοί με νόημα.png (15.68 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Εντοπίστε σημείο

του μεγαλύτερου κύκλου , τέτοιο ώστε : $\widehat{KSN}=\widehat{ONS} =\omega$ και υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Η διχοτόμος της $\widehat{OKS}$ , τέμνει το τμήμα

στο

. Υπολογίστε τα KT , OT

ή δείξτε ότι : $KT \perp OT$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 11, 2025 6:50 pm
Υπολογισμοί με νόημα.pngΕντοπίστε σημείο του μεγαλύτερου κύκλου , τέτοιο ώστε : $\widehat{KSN}=\widehat{ONS} =\omega$ και υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Η διχοτόμος της $\widehat{OKS}$ , τέμνει το τμήμα στο . Υπολογίστε τα ή δείξτε ότι : $KT \perp OT$ .

Θεωρούμε την ακτίνα $KA \bot OK$ .Η

τέμνει τον κύκλο (K)

στο ζητούμενο σημείο

Πράγματι, $NO//KA \Rightarrow \angle \omega + \phi =180^0$ και $\angle NSK+ \phi =180^0$ άρα $\angle ONS= \angle KSN= \omega$

Με $OB//NA \Rightarrow ONAB$ παραλ/μμο ,άρα $AB=3 \Rightarrow BK=1$ και $tan \omega =-tan \phi =- \dfrac{OK}{BK} \Rightarrow tan \omega=-7$

Επειδή η

διχοτομεί την $\angle SKO$ , το TSKL

είναι χαρταετός,άρα $\angle TLK= \omega$ οπότε τα N,T,L,O

είναι ομοκυκλικά .

Επομένως η

διχοτομεί τη γωνία NTL

.Αλλά λόγω του χαρταετού TSKL

και η

διχοτομεί τη γωνία LTS

,συνεπώς $KT \bot TO$

: Υπολογισμοί με νόημα.png (63.69 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 11, 2025 6:50 pm
Υπολογισμοί με νόημα.pngΕντοπίστε σημείο του μεγαλύτερου κύκλου , τέτοιο ώστε : $\widehat{KSN}=\widehat{ONS} =\omega$ και υπολογίστε την $\tan\omega$ .

Η διχοτόμος της $\widehat{OKS}$ , τέμνει το τμήμα στο . Υπολογίστε τα ή δείξτε ότι : $KT \perp OT$ .

α) Έστω λυμένο το πρόβλημα . Φέρνω από το

παράλληλη στην

και τέμνει την

στο

.

Το τετράπλευρο DKSN

είναι ισοσκελές τραπέζιο με βάσεις $DK\,\,,\,\,NS$ και μη παράλληλες πλευρές μήκους

.

Προφανές ON = 1

, οπότε $\tan {a_1} = 7 \Rightarrow \boxed{\tan \omega = \tan \theta = - 7}$ .

β) Έστω $\widehat {SKO} = 2a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OKD} = \xi$ . Επειδή $2a + \xi = {a_1} \Rightarrow \tan \left( {2a + \xi } \right) = \dfrac{{\tan 2a + \dfrac{1}{7}}}{{1 - \dfrac{{\tan 2a}}{7}}} = 7 \Rightarrow \tan 2a = \dfrac{{24}}{7}$ και έτσι ,

$\dfrac{{24}}{7} = \dfrac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} \Rightarrow \boxed{\tan a = \dfrac{3}{4}}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Κράτησα τη θετική ρίζα γιατί η γωνία

είναι οξεία ).

Τώρα όμως $\tan (a + \xi ) = \dfrac{{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{7}}}{{1 - \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{7}}} = 1 \Rightarrow \boxed{a + \xi = 45^\circ }\,\,\,\left( 2 \right)$ . Επειδή το $\vartriangle KNA$ είναι ισοσκελές η

είναι μεσοκάθετη στην

.

Ας είναι

το μέσο της

. Επειδή $\tan a = \dfrac{3}{4}$ το ορθογώνιο τρίγωνο $KMS \to \left( {4l,3l,5l} \right)$ . Όμως το $5l = 4 \Rightarrow l = \dfrac{4}{5}$ .

: Υπολογισμοί με νόημα_ab.png (38.79 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Θα είναι λοιπόν : $KS = 4\,\,,SM = \dfrac{{12}}{5}\,\,,MK = \dfrac{{16}}{5}\,\,\,\,\left( 3 \right)$ . Απ’ εδώ και μετά:

Από το ισοσκελές τραπέζιο DKSM

εύκολα έχω , $DK = \sqrt {49 + 1} = 5\sqrt 2$ και $NS = \dfrac{{21\sqrt 2 }}{5}$ .

$TK = \dfrac{{16}}{5} + \dfrac{{12}}{5} = \dfrac{{28}}{5},\,\,TS = \dfrac{{12}}{5} \cdot \sqrt 2 = \dfrac{{12\sqrt 2 }}{5},\,\,TN = \dfrac{{21\sqrt 2 }}{5} - \dfrac{{12\sqrt 2 }}{5} = \dfrac{{9\sqrt 2 }}{5}\,$ .

$\vartriangle STK \approx \vartriangle NTO$ (από μια γωνία ίση, μεταξύ αναλόγων πλευρών), οπότε $\widehat {NTO} = 45^\circ \Rightarrow TK \bot KO$ .

Υπολογισμοί με νόημα

Υπολογισμοί με νόημα

Re: Υπολογισμοί με νόημα

Re: Υπολογισμοί με νόημα

Re: Υπολογισμοί με νόημα

Μέλη σε σύνδεση