Εμβαδόν χωρίου

#1

Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ τα τμήματα δύο Αρχιμήδειων σπειρών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({\frac{t}{\sqrt{5}}\cos{t},\frac{t}{\sqrt{5}}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{5\pi}{4},\frac{15\pi}{4}}\big]$ , και $\gamma_2({t})=\big({-t\sqrt{5}\cos{t},-t\sqrt{5}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}}\big]$ .
Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 7:54 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ τα τμήματα δύο Αρχιμήδειων σπειρών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({\frac{t}{\sqrt{5}}\cos{t},\frac{t}{\sqrt{5}}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{5\pi}{4},\frac{15\pi}{4}}\big]$ , και $\gamma_2({t})=\big({-t\sqrt{5}\cos{t},-t\sqrt{5}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}}\big]$ .
Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$ .

Γρηγόρη καλημέρα...

Αρχικά αναρτώ το όμορφο σχήμα που συνθέτουν αυτές οι δυο σπείρες χωρίς πολλά λόγια:

: Εμβαδόν χωρίου σπείρας 1.png (14.1 KiB) Προβλήθηκε 1406 φορές

Το δεύτερο σχήμσ που αναρτώ και το οποίο θα βοηθήσει στη συνέχεια για τον υπολογισμό

του εμβαδού το συνολικού χωρίου έγινε με πολύ συνθετο τρόπο...

: Εμβαδόν χωρίου σπείρας 2.png (18.57 KiB) Προβλήθηκε 1406 φορές

(Συνεχίζεται...)

Κώστας Δόρτσιος

ttheodoros · #3

Έστω

το χωρίο που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$ .

Από το θεώρημα Green είναι:
$\displaystyle{ \iint \limits_{D} d x d y =\dfrac{1}{2}\ointctrclockwise\limits_{\partial D}-y d x+xd y }$
όπου το σύνορο $\partial D=\gamma_1\cup \gamma_2$ είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη και $\gamma_1, \gamma_2$ τα λέια τόξα που ορίζει το $\partial D$ . Ο θετικός προσανατολισμός του $\partial D$ προκύπτει από την αντιωρολογιακή φορά διαγραφής του.

Παρατηρούμε ότι η φορά διαγραφής της $\gamma_1$ κατά την αύξηση της παραμέτρου

συμπίπτει με την επιθυμητή φορά διαγραφής της, ενώ η φορά διαγραφής της $\gamma_2$ κατά την αύξηση της παραμέτρου

της παραμέτρησης είναι αντίθετη της επιθυμητής φοράς διαγραφής της. Συνεπώς έχουμε:
$\displaystyle{ \iint \limits_{D} d x d y =\, \dfrac{1}{2}\ointctrclockwise \limits_{\partial D}-y d x+xd y }$
$\displaystyle{ =\, \dfrac{1}{2}\int \limits_{\gamma_1}-y d x+xd y -\dfrac{1}{2}\int \limits_{\gamma_2}-y d x+xd y. }$
Υπολογίζουμε κάθε ολοκλήρωμα ξεχωριστά:

$\blacktriangleright \quad$ Για την καμπύλη $\gamma_1$ έχουμε:
$\displaystyle{ x=\dfrac{t}{\sqrt{5}}\cos t \, \Rightarrow d x=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cos t-\dfrac{t}{\sqrt{5}}\sin t }$
$\displaystyle{ y=\dfrac{t}{\sqrt{5}}\sin t \, \Rightarrow d y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin t+\dfrac{t}{\sqrt{5}}\cos t. }$
Επομένως
$\displaystyle{ -y d x+xd y =\, -\dfrac{t}{\sqrt{5}}\sin t\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\cos t-\dfrac{t}{\sqrt{5}}\sin t \right)+\dfrac{t}{\sqrt{5}}\cos t\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sin t+\dfrac{t}{\sqrt{5}}\cos t \right) }$
$\displaystyle{ =\, -\dfrac{t}{5}\sin t\cos t+\dfrac{t^2}{5}\sin^2 t+\dfrac{t}{5}\sin t\cos t+\dfrac{t^2}{5}\cos^2 t\\ =\, \dfrac{t^2}{5}. }$
Άρα έχουμε:
$\displaystyle{ \int \limits_{\gamma_1}-y d x+xd y =\int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{\tfrac{15\pi}{4}}\dfrac{t^2}{5}d t =\dfrac{325}{96}\pi^3. }$

$\blacktriangleright \quad$ Για την καμπύλη $\gamma_2$ έχουμε:
$\displaystyle{ x=-t\sqrt{5}\cos t \, \Rightarrow d x=-\sqrt{5}\cos t+t\sqrt{5}\sin t }$
$\displaystyle{ y=-t\sqrt{5}\sin t \, \Rightarrow d y=-\sqrt{5}\sin t-t\sqrt{5}\cos t }$
Επομένως
$\displaystyle{ -y d x+xd y =\, t\sqrt{5}\sin t\left(-\sqrt{5}\cos t+t\sqrt{5}\sin t \right)-t\sqrt{5}\cos t\left(-\sqrt{5}\sin t-t\sqrt{5}\cos t \right) }$
$\displaystyle{ =\, -5t\sin t \cos t+5t^2\sin^2 t+5t\sin t\cos t+5t^2\cos^2 t\\ =\, 5t^2. }$
Άρα έχουμε:
$\displaystyle{ \int \limits_{\gamma_2}-y d x+xd y =\int_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{3\pi}{4}} 5t^2d t =\dfrac{65}{96}\pi^3. }$
Συνολικά λοιπόν είναι:
$\displaystyle{ E=\iint \limits_{D} d x d y =\, \dfrac{1}{2}\ointctrclockwise \limits_{\partial D}-y d x+xd y }$
$\displaystyle{ =\, \dfrac{1}{2}\int \limits_{\gamma_1}-y d x+xd y -\dfrac{1}{2}\int \limits_{\gamma_2}-y d x+xd y }$
$\displaystyle{ =\, \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{325}{96}\pi^3-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{65}{96}\pi^3\\ =\, \dfrac{65}{48}\pi^3. }$

#4

Μία ακόμα λύση:

Οι πολικές εξισώσεις των δύο τμημάτων είναι $r_1({\theta})=\frac{\theta}{\sqrt{5}}$ , $\theta\in\big[{\frac{5\pi}{4},\frac{15\pi}{4}}\big]$ , και $r_2({\theta})=-\theta\sqrt{5}$ , $\theta\in\big[{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}}\big]$ , αντίστοιχα. (Σχήμα)
Το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$ ισούται με

$\begin{aligned} {\rm{E}}_{D}&={\rm{E}}_{\varGamma\varDelta B O}-{\rm{E}}_{BZAO}+{\rm{E}}_{\varGamma EAO}\\ &=\frac{1}{2}\int_{\frac{7\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}}r_1^2({\theta})\,{\rm{d}}{\theta}-\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}r_2^2({\theta})\,{\rm{d}}{\theta}+\frac{1}{2}\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}}r_1^2({\theta})\,{\rm{d}}{\theta}\\ &=\frac{379}{240}\pi^3-\frac{65}{192}\pi^3+\frac{109}{960}\pi^3=\frac{65}{48}\pi^3\,. \end{aligned}$

: 2Archimedean_spirals.png (61.07 KiB) Προβλήθηκε 1278 φορές

#5

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 7:54 pm
Έστωσαν $\gamma_1$ και $\gamma_2$ τα τμήματα δύο Αρχιμήδειων σπειρών με αντίστοιχες παραμετρικές παραστάσεις $\gamma_1({t})=\big({\frac{t}{\sqrt{5}}\cos{t},\frac{t}{\sqrt{5}}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{5\pi}{4},\frac{15\pi}{4}}\big]$ , και $\gamma_2({t})=\big({-t\sqrt{5}\cos{t},-t\sqrt{5}\sin{t}}\big)$ , $t\in\big[{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}}\big]$ .
Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τα τμήματα $\gamma_1$ και $\gamma_2$ .

( Συνέχεια...)

Γρηγόρη καλημέρα...

Ακριβώς την ιδια λύση έχω κι εγώ.

Απλά επειδή πιστεύω ότι στην περίπτωση αυτή θα βοηθούσε στην κατανόηση του

αλγεβρικού αθροίσματος των τριών αυτών εμβαδών, αναρτώ κάποιες εικόνες στατικές

και ένα δυναμικό σχήμα που πιστεύω ότι υπηρετούν το στόχο που ανάφερα.

1η εικόνα

: Εμβαδόν σπειροειδούς 3.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

Το χωρίο αυτό έχει επιφάνεια(θαλασσί χρώμα) με εμβαδόν ίσο με

$\displaystyle{E_1=\frac{1}{2}\int_{\frac{7\pi}{4}}^{\frac{15\pi}{4}} (\frac{t}{\sqrt{5}})^2dt=\frac{379}{240}\pi^3 \ \ (1) }$

2η Εικόνα

: Εμβαδόν σπειροειδούς 4.png (12.01 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

Στην εικόνα αυτή βλέπουμε μια επιφάνεια με χρώμα κίτρινο της οποίάς το εμβαδόν

θα αφαιρεθεί από το $\displaystyle{E_1}$ και είναι ίσο με:

$\displaystyle{E_2=\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (-{t}{\sqrt{5})^2dt=\frac{65}{192}\pi^3 \ \ (2) }$

3η εικόνα

: Εμβαδόν σπειροειδούς 5.png (11.91 KiB) Προβλήθηκε 1255 φορές

Εδώ επίσης βλέπουμε το χωρίο με επιφάνεια χρώματος θαλασσί και το εμβαδόν $\displaystyle{E_3}$ του οποίου

θα προστεθεί στη διαφορά $\displaystyle{E_1-E_2}$ .

Είναι λοιπόν:

$\displaystyle{E_3=\frac{1}{2}\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{7\pi}{4}} (\frac{t}{\sqrt{5}})^2dt=\frac{109}{960}\pi^3 \ \ (3) }$

Από τους τύπους (1), (2) και (3) προκύπτει:

$\displaystyle{S_{ολ}=E_1-E_2+E_3=...=\frac{65}{48}\pi^3 }$

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα για καλυτερη κατανόηση...

https://www.geogebra.org/m/xjkgfecr

Κώστας Δόρτσιος

#6

Αξίζει ένα ιστορικό σχόλιο.

Η παραπάνω καμπύλες έχουν καρτεσιανή παράσταση της μορφής $\gamma (t) = a(t\cos t, \, t\sin t)$ , δηλαδή σε πολικές είναι η καμπύλη $r=a\theta$ . Πρόκεται δηλαδή για την έλικα του Αρχιμήδη.

Οι παραπάνω λύσεις είναι ουσιαστικά η εύρεση του εμβαδού της έλικας με μόνη διαφορά ότι γίνεται κατά τμήματα (μεταξύ των σημείων τομής τους). Και φυσικά η εύρεση του εμβαδού γίνεται με ολοκληρώματα.

Το ενδιαφέρον είναι ότι ο Αρχιμήδης βρήκε το εν λόγω εμβαδόν χωρίς χρήση ολοκληρωμάτων, στο σπουδαίο έργο του Περί ελίκων. Για παράδειγμα έδειξε ότι μία πλήρης περιστροφή της έλικας έχει εμβαδόν $\dfrac {4}{3}\pi ^3 a^2$ , αλλά έχει βρει και τον αντίστοιχο τύπο γενικότερα (όπως υπάρχει και στις παραπάνω λύσεις).

Επίσης ο Πάππος στην Συναγωγή του έχει έναν καταπληκτικό τρόπο εύρεσης του εν λόγω εμβαδού. Εργάστηκε με σύγκριση χωρίων, αξιοποιώντας το γεγονός ότι ο όγκος σφαίρας (όπως θα παρατηρήσατε) μοιάζει με τον παραπάνω τύπο.

Όλα τα Μαθηματικά τους είναι τεράστειας εμβέλειας. Και δυσκολότατα.

#7

Μιχάλη καλησπέρα...

Χαίρομαι που αναφέρεις τις τόσο σημαντικές, μάλλον γιγάντιες αυτές μορφές και τόσες άλλες που

δούλεψαν και έχτισαν τόσο σημαντικά θέματα και οι οποίοι οικοδόμησαν τον σημερινό πολιτισμό των

μαθηματικών και όχι μόνο.

Προσωπικά και ταπεινά, νιώθω μεγάλη χαρά σήμερα που έχουμε τα εργαλεία αλλά και το υλικό

να αναπαριστούμε στο γραφείο μας κι ακόμα καλύτερα στο σχολείο ή στο πανεπιστήμιο τις ιδέες

των γιγάντων αυτών...

Κώστας Δόρτσιος

Εμβαδόν χωρίου

Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση