Νέα εγκύκλιος

KARKAR · #1

: Νέα εγκύκλιος.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές

Για τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ABC

ισχύει :

. Φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος

και γράφουμε τους εγκύκλους των τριγώνων ABD , AMC

, με ακτίνες r , R

αντίστοιχα .

α) Αληθεύει ότι πάντα είναι : r < R

; ...β) Αν : $r=\dfrac{9}{10}R$ , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 9:03 am
Νέα εγκύκλιος.pngΓια τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ισχύει : . Φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος και γράφουμε τους εγκύκλους των τριγώνων , με ακτίνες αντίστοιχα .

α) Αληθεύει ότι πάντα είναι : ; ...β) Αν : $r=\dfrac{9}{10}R$ , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου .

: Νέα εγκύκλιος.png (20.76 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 9:03 am
Νέα εγκύκλιος.pngΓια τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ισχύει : . Φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος και γράφουμε τους εγκύκλους των τριγώνων , με ακτίνες αντίστοιχα .

α) Αληθεύει ότι πάντα είναι : ; ...β) Αν : $r=\dfrac{9}{10}R$ , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου .

α) $\displaystyle (ADB) = \frac{1}{2}AD \cdot DB = \frac{1}{2} \cdot \frac{{bc}}{a} \cdot \frac{{{c^2}}}{a} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {c + \frac{{bc}}{a} + \frac{{{c^2}}}{a}} \right)r = \frac{{b{c^3}}}{{2{a^2}}} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \frac{{b{c^2}}}{{a(a + b + c)}}}$

$\displaystyle (AMC) = \frac{{bc}}{4} = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{2} + \frac{a}{2} + b} \right)R \Leftrightarrow$ $\boxed{R = \frac{{bc}}{{2(a + b)}}}$

: Νέα εγκύκλιος.png (20.76 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

$\displaystyle R - r = \frac{{bc\left( {{a^2} + ab - ac - 2bc} \right)}}{{2a(a + b)(a + b + c)}} = \frac{{bc\left( {{b^2} + {c^2} + ab - ac - 2bc} \right)}}{{2a(a + b)(a + b + c)}} = \frac{{bc(b - c)(a + b - c)}}{{2a(a + b)(a + b + c)}} > 0$

β) $\displaystyle \frac{R}{r} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow \frac{{a(a + b + c)}}{{2c(a + b)}} = \frac{{10}}{9}.$ Θέτω $\displaystyle a = kc,b = mc,$ οπότε $\boxed{k^2=m^2+1}$ (1)

και

$\displaystyle \frac{{k(k + m + 1)}}{{2(k + m)}} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow 9{k^2} + 9km = 11k + 20m\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} k = \frac{5}{3},m = \frac{4}{3}$

Άρα το τρίγωνο είναι της μορφής (3n,4n,5n).

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 9:03 am
Νέα εγκύκλιος.pngΓια τις πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ισχύει : . Φέρουμε την διάμεσο

και το ύψος και γράφουμε τους εγκύκλους των τριγώνων , με ακτίνες αντίστοιχα .

α) Αληθεύει ότι πάντα είναι : ; ...β) Αν : $r=\dfrac{9}{10}R$ , βρείτε τον "τύπο" του τριγώνου .

Στο $\vartriangle ABD$ η περίμετρος είναι : $2{s_1} = AB + BD + AD \Rightarrow {s_1} = \dfrac{{sc}}{a}\,\,\,\left( 1 \right)$ , με $s = \dfrac{{a + b + c}}{2}$ .

Στο $\vartriangle AMC$ η περίμετρος είναι: $2{s_2} = AM + MC + CA \Rightarrow {s_2} = \dfrac{{a + b}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$ .

Η ακτίνα $r = {s_1} - c \Rightarrow \boxed{r = \dfrac{c}{a}\left( {s - a} \right)}\,\,\left( 3 \right)$ , ενώ για την $R = \sqrt {\dfrac{{\left( {{s_2} - \dfrac{a}{2}} \right)\left( {{s_2} - \dfrac{a}{2}} \right)\left( {{s_2} - b} \right)}}{{{s_2}}}} \Rightarrow \boxed{R = \dfrac{{bc}}{{2\left( {a + b} \right)}}}\,\,\,\left( 4 \right)$

Τώρα αν πάρω την διαφορά R - r

προκύπτει παράσταση, θετική άρα R > r

. Πράγματι :

$R - r > 0 \Leftrightarrow c\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right) > 0$ . Ισοδύναμα οι διαφορές : $b - c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a - c$ έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή , $b > c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a > c$ είτε άτοπο.

: Νέα εγκύκλιος_b.png (18.12 KiB) Προβλήθηκε 242 φορές

Από τις $\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ έχω : $\boxed{\dfrac{r}{R} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c - a} \right)}}{{ab}}}\,\,\,\,\left( 5 \right)$ και για $\dfrac{r}{R} = \dfrac{9}{{10}}$ προκύπτει : $10{a^2} + a\left( {9b - 10c} \right) - 10b\left( {b + c} \right) = 0$ .

Με δεδομένο ότι $a = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$ αν θέσω , c = bx

προκύπτει : $10x\left( {x - 1} \right) - \left( {10x - 9} \right)\sqrt {{x^2} + 1} = 0$ με μοναδική πραγματική ρίζα

$\boxed{x = \dfrac{3}{4}}$ δηλαδή το τρίγωνο μας είναι πάλι του τύπου , $\boxed{\vartriangle ABC \to \left( {3k,5k,4k} \right)}$ .

Νέα εγκύκλιος

Νέα εγκύκλιος

Re: Νέα εγκύκλιος

Re: Νέα εγκύκλιος

Re: Νέα εγκύκλιος

Μέλη σε σύνδεση