Γινόμενο και πηλίκο

KARKAR · #1

: Γινόμενο και πηλίκο.png (16.71 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=4

, ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε :

BS=6

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Η

τέμνει την κάθετη της

στο

,

στο σημείο

. Υπολογίστε το γινόμενο : $TP\cdot TA$ , καθώς και το πηλίκο : $\dfrac{TP}{TA}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 4:57 pm
Γινόμενο και πηλίκο.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει την κάθετη της στο ,

στο σημείο . Υπολογίστε το γινόμενο : $TP\cdot TA$ , καθώς και το πηλίκο : $\dfrac{TP}{TA}$ .

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου,

η προβολή του

στην

και

$\displaystyle ST = \sqrt {SB \cdot SA} = \sqrt {60}$ και $\displaystyle \cos \theta = \frac{{ST}}{{OS}} = \frac{{\sqrt {15} }}{4}.$

: Γινόμενο και πηλίκο.png (11.3 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο ATS

βρίσκω $AT=\sqrt{10}$ και $\displaystyle A{T^2} = AD \cdot AB \Leftrightarrow 10 = 4(4 - x) \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$

$\displaystyle \frac{{TP}}{{TA}} = \frac{{SD}}{{DA}} = \frac{{15/4}}{{5/4}} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{TP}{TA}=3}$ και εύκολα τώρα $\boxed{TP\cdot TA=30}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 4:57 pm
Γινόμενο και πηλίκο.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει την κάθετη της στο ,

στο σημείο . Υπολογίστε το γινόμενο : $TP\cdot TA$ , καθώς και το πηλίκο : $\dfrac{TP}{TA}$ .

Η τετράδα , $\left( {A,B\backslash K,S} \right)$ είναι αρμονική και έτσι : $\dfrac{{KB}}{{KA}} = \dfrac{{SB}}{{SA}} \Rightarrow \dfrac{x}{{4 - x}} = \dfrac{6}{{10}} \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$ οπότε : $KA = \dfrac{5}{2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KS = \dfrac{{15}}{2}\,\,\,\left( 2 \right)$

: Γινόμενο και πηλίκο.png (13.9 KiB) Προβλήθηκε 232 φορές

Για το πηλίκο $\boxed{\dfrac{a}{b} = \dfrac{{SK}}{{KA}} = \dfrac{{15}}{5} = 3}$ , Για το γινόμενο από το εγγράψιμο τετράπλευρο BSPT

: $b\left( {b + a} \right) = AB \cdot AS = 4 \cdot 10 = 40$ οπότε,

${b^2} + ab = 40 \Rightarrow ab = 40 - {b^2}\,\,\,\left( 3 \right)$ και από το $\vartriangle TAB$ , $A{T^2} = AK \cdot AB \Rightarrow {b^2} = \dfrac{5}{2} \cdot 4 = 10$ και η $\left( 3 \right)$ δίνει : $\boxed{ab = 30}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 4:57 pm
Γινόμενο και πηλίκο.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει την κάθετη της στο ,

στο σημείο . Υπολογίστε το γινόμενο : $TP\cdot TA$ , καθώς και το πηλίκο : $\dfrac{TP}{TA}$ .

Λόγω του εγγράψιμμου TBSP

και της εφαπτομένης

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες,το

είναι το ορθόκεντρο

του $\triangle PAL$ και

είναι άξονας συμμετρίας του σχήματος

Από van Aubel $\dfrac{2x}{y}= \dfrac{4}{6} \Rightarrow y=3x$ και $AT.AP=AB.AS \Rightarrow 4x^2=40 \Rightarrow x^2=10 \Rightarrow AT.AP=3x^2=30$

: Γινόμενο και πηλίκο.png (40.08 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 04, 2025 4:57 pm
Γινόμενο και πηλίκο.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου , ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε :

και φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Η τέμνει την κάθετη της στο ,

στο σημείο . Υπολογίστε το γινόμενο : $TP\cdot TA$ , καθώς και το πηλίκο : $\dfrac{TP}{TA}$ .

Αλλιώς, με σχολική ύλη..

Λόγω των εγγράψιμμων TBSP,ATSL

και της εφαπτομένης

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Άρα TS=SL=SP

.Επομένως

άρα (Π.Θ)

Ακόμη

και με διαίρεση κατά μέλη παίρνουμε $\dfrac{y}{x}=3$ άρα xy=30

: Γινόμενο και πηλίκο.png (31.01 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές

Γινόμενο και πηλίκο

Γινόμενο και πηλίκο

Re: Γινόμενο και πηλίκο

Re: Γινόμενο και πηλίκο

Re: Γινόμενο και πηλίκο

Re: Γινόμενο και πηλίκο

Μέλη σε σύνδεση