Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

KARKAR · #1

Οι αριθμοί : a , b , c

, αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα . Ομοίως και οι αριθμοί : k , m , n

.

Υπάρχει περίπτωση το ίδιο να συμβαίνει και με τους αριθμούς : a+k , b+m , c+n

;

Εννοείται πως αν απαντήσετε θετικά , υποχρεούστε να δώσετε ένα παράδειγμα .

Σημείωση : Η διάταξη των και , δεν μας ενδιαφέρει ( σε πρώτη φάση ) .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 30, 2025 8:22 am
Οι αριθμοί : , αποτελούν πυθαγόρεια τριάδα . Ομοίως και οι αριθμοί : .

Υπάρχει περίπτωση το ίδιο να συμβαίνει και με τους αριθμούς : ;

Εννοείται πως αν απαντήσετε θετικά , υποχρεούστε να δώσετε ένα παράδειγμα .

Σημείωση : Η διάταξη των και , δεν μας ενδιαφέρει ( σε πρώτη φάση ) .

Είναι άμεσο: Οι τριάδες $(a,b,c)=(3,4,5), \, (k,m,n)=(6,8,10)$ και (a+k,b+m,c+n)=(9,12, 15)

είναι και οι τρεις Πυθαγόρειες.

Γενικότερα, για μία Πυθαγόρεια τριάδα (a,b,c)

, έχουμε και τις

$(k,m,n)=(pa,pb,pc), \, (a+k,b+m,c+n)= ((p+1)a,(p+1)b,(p+1)c)$

Λίγο ακόμη γενικότερα, έχουμε τις

$(pa,pb,pc), \, (k,m,n)=(qa,qb,qc), \, (a+k,b+m,c+n)= ((p+q)a,(p+q)b,(p+q)c)$

Νομίζω το σωστό ερώτημα είναι αν υπάρχουν πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες με την παραπάνω ιδιότητα.

KARKAR · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 30, 2025 1:27 pm

Νομίζω το σωστό ερώτημα είναι αν υπάρχουν πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες με την παραπάνω ιδιότητα.

Προφανώς το ερώτημα όπως είναι διατυπωμένο αρχικά , οδηγεί στην τετριμμένη απάντηση του Μιχάλη , που ασφαλώς

δεν ήταν η πρόθεση του θεματοδότη .

Ωστόσο δεν ψάχνουμε κατ' ανάγκη για δύο πρωταρχικές Πυθαγόρειες τριάδες . Απλά δεν θέλουμε να είναι και οι δύο

παράγωγες της ίδιας πρωταρχικής τριάδας ...

#4

.
Ωραία. Συνεχίζουμε.

Θα δείξω ότι αν στις Πυθαγόρειες τριάδες (a, b, c)

και

οι υποτείνουσες είναι τα

και

, τότε τα
(a+k , b+m , c+n)

είναι Πυθαγόρεια τριάδα αν και μόνον αν είναι της μορφής που περιέγραψα. Πράγματι, έχουμε τότε

$a^2+b^2=c^2, \, k^2+m^2=n^2$ και (a+k)^2+(b+m)^2=(c+n)^2

.

Αφαιρώντας τις δύο πρώτες από την τρίτη προκύπτει $\boxed {ak+bm=cn}$ .

Έχουμε τότε από Cauchy-Schwarz ότι

$\displaystyle{cn= ak+bm \le \sqrt {a^2+b^2} \sqrt {k^2+m^2}= \sqrt {c^2} \sqrt {n^2}=cn}$ , που σημαίνει ότι έχουμε ισότητα παντού. Άρα για κάποιο $\lambda$ ισχύει

$\dfrac {k}{a}= \dfrac {m}{b} = \lambda$ , που είναι το αποδεικτέο.

Με άλλα λόγια, αν το ερώτημα του Θανάση έχει θετική απάντηση (δεν το έψαξα ακόμα), τότε η υποτείνουσα του κάθε τριγώνου πρέπει να έχει ως ταίρι στην τριάδα (a+k , b+m , c+n)

κάποια κάθετο.

KARKAR · #5

Μιχάλη , με την έξοχη ανάλυσή σου , έλυσες ένα σημαντικό ( θα έλεγα το μεγαλύτερο ) μέρος του γρίφου .

Υποθέτω ότι η μελέτη για τριάδες χωρίς διάταξη , είναι σαν να ψάχνουμε ψύλλους στα άχυρα .

Όμως στο ερώτημα αν υπάρχουν τέτοιες τριάδες , η απάντηση είναι θετική . Παράδειγμα οι :

(5 , 3 , 4)

και :

, δίνουν την : (16 , 63 , 65)

.

#6

Άλλο παράδειγμα. Οι πρωτογενείς Πυθαγόρειες τριάδες (17,8,15)

και

δίνουν την (24, 32, 40)

που είναι

πολλαπλάσια της (3, 4, 5).

Ένας τρόπος αντιμετώπισης είναι να πάρουμε μία πρωτογενή Πυθαγόρεια τριάδα (a, b, c)

και την γενική μορφή (x^2-y^2, 2xy, x^2+y^2)

και να προσδιορίσουμε, αν υπάρχουν, τους θετικούς ακέραιους x, y.

Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Re: Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Re: Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Re: Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Re: Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Re: Άθροισμα πυθαγορείων τριάδων

Μέλη σε σύνδεση