Και με ύπαρξη και με κατασκευή

[gbaloglou]

Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]

[george visvikis]

Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]

Καλημέρα Γιώργο!

Δεν ξέρω αν ταιριάζει σε αυτό που έχεις στο μυαλό σου, αλλά δίνω ένα παράδειγμα.

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο τριγώνου, ώστε το άθροισμα των
τετραγώνων των αποστάσεών του από τις πλευρές του να είναι ελάχιστο.

Πρώτα αποδεικνύεται η ύπαρξη και στη συνέχεια η κατασκευή (σημείο Lemoine).

[gbaloglou]

Ξαναδιαβάζοντας το "Πίσω από το πέπλο" του Τεύκρου Μιχαηλίδη, αναρωτήθηκα αφελώς: ποια θεωρήματα θα ήταν πιο κατάλληλα για παρουσίαση σε μαθητές, έστω σε φοιτητές ή γενικούς αναγνώστες τέλος πάντων, και υπαρξιακά και κατασκευαστικά; Πρώτα δηλαδή απόδειξη ύπαρξης για κάτι και μετά κατασκευή του (ή και αντίστροφα, ανάλογα με το κοινό και την περίπτωση);

[Δεν πάει το μυαλό μου σε κάτι συγκεκριμένο, ή αυτό που ζητάω δεν είναι τόσο εύκολο ή άρχισα να ξεχνάω...]

Καλημέρα Γιώργο!

Δεν ξέρω αν ταιριάζει σε αυτό που έχεις στο μυαλό σου, αλλά δίνω ένα παράδειγμα.

Να αποδειχτεί ότι υπάρχει εσωτερικό σημείο τριγώνου, ώστε το άθροισμα των
τετραγώνων των αποστάσεών του από τις πλευρές του να είναι ελάχιστο.

Πρώτα αποδεικνύεται η ύπαρξη και στη συνέχεια η κατασκευή (σημείο Lemoine).

Γιώργο βεβαίως, παραδείγματα όπως το δικό σου εννοούσα, είτε εντός είτε εκτός Γεωμετρίας, ευχαριστώ!

[KARKAR]

Αν επιτρέπεται να επεκταθούμε και σε ασκήσεις , προτείνω την παρακάτω :

Ύπαρξη και κατασκευή.png (8.16 KiB) Προβλήθηκε 1723 φορές

Σε ορθογώνιο τρίγωνο , με : , να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο της διχοτόμου ,

τέτοιο ώστε : . Στη συνέχεια να εντοπιστεί κατασκευαστικά το σημείο .

[george visvikis]

Αν επιτρέπεται να επεκταθούμε και σε ασκήσεις , προτείνω την παρακάτω :

Ύπαρξη και κατασκευή.png Σε ορθογώνιο τρίγωνο , με : , να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο της διχοτόμου ,

τέτοιο ώστε : . Στη συνέχεια να εντοπιστεί κατασκευαστικά το σημείο .

Όσο το κινείται από το προς το είναι πάντα Αλλά,

κατά την κίνησή της η γωνία συνεχώς αυξάνει, οπότε υπάρχει σημείο εσωτερικό του ώστε

Ύπαρξη και κατασκευή.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 1688 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι όπου

και Με αντικατάσταση βρίσκω και η κατασκευή είναι πλέον απλή.