Θετικό πολυώνυμο

Ιστοσελίδα · #1

Να αποδειχθεί ότι το πολυώνυμο p(x)=x^8-x^5+x^2-x+1

είναι θετικό, για κάθε πραγματική τιμή του

.

KARKAR · #2

$x^8-x^5+x^2-x+1=x[x^4(x^3-1)+x-1]+1=x(x-1)[x^4(x^2+x+1)+1]+1\geq$

$\geq x(x-1)+1=x^2-x+1>0$ , αφού προφανώς : $x^4(x^2+x+1)+1\geq1 , \forall x\in \mathbb{R}$

Κι όμως , η λύση αυτή είναι λανθασμένη ! Βρείτε το λάθος

mick7 · #3

Γράφεται σαν : x^8+(x^4-x)^2+(x-1)^2+1.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

mick7 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 05, 2025 10:05 am
Γράφεται σαν :

Αυτό που γράφεις για να είναι εντελώς σωστό απαιτεί τον πολλαπλασιασμό του με το ένα δεύτερο.

panosgl2006 · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 05, 2025 7:30 am
$x^8-x^5+x^2-x+1=x[x^4(x^3-1)+x-1]+1=x(x-1)[x^4(x^2+x+1)+1]+1\geq$

$\geq x(x-1)+1=x^2-x+1>0$ , αφού προφανώς : $x^4(x^2+x+1)+1\geq1 , \forall x\in \mathbb{R}$

Κι όμως , η λύση αυτή είναι λανθασμένη ! Βρείτε το λάθος

Δεν είχα δει ότι γράψατε λανθασμένη και έλεγα να του πω τώρα ότι έχει λάθος ή όχι

Το λάθος είναι στο x(x-1)

όπου η ανισότητα που δείξατε ισχύει μόνο όταν αυτό είναι θετικό ή 0 δηλαδή στο $(-\infty,0]\cup [1,+\infty)$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

As δούμε μία σκέψη πάνω στο θέμα...

Διακρίνουμε περιπτώσεις

1. $x\le 0$ . Νομίζω ότι δεν χρειάζεται πολύ σκέψη για να καταλάβει κάποιος ότι το
πολυώνυμο είναι oλοφάνερα θετικό για τα εν λόγω

2. $x\ge 1$ . To πολυώνυμο γράφεται $x^{5}\left( x^{3}-1 \right)+x^{2}-x+1$ και είναι oλοφάνερα θετικό για τα εν λόγω

3.

Το πολυώνυμο γράφεται $1-x+x^{2}\left( 1-x^{3} \right)+x^{8}$
και είναι oλοφάνερα θετικό για τα εν λόγω

Θετικό πολυώνυμο

Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Re: Θετικό πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση