Άθροισμα κύβων

Tolaso J Kos · #1

Αν

,

και

, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης x^3 + y^3 + z^3

.

Mathtab · #2

Η απόδειξη είναι σχετικά απλή. Αν δεν έχω κάνει λάθος προκύπτει ότι η ζητούμενη είναι ίση με 65/8 . Για κάποιο λόγο δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω το latex.

nickolas tsik · #3

Υπάρχει οντως πρόβλημα με το eqeditor(πολύ καιρό) αλλά όντας σύντομη η διερεύνηση έχουμε:

Δίνονται οι

$\displaystyle S_1 = x + y + z = 4, \quad S_2 = x^2 + y^2 + z^2 = 6, \quad S_4 = x^4 + y^4 + z^4 = 8$

και ζητείται

$\displaystyle S_3 = x^3 + y^3 + z^3$

Αρχικά, από την ταυτότητα:

$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

έχουμε:

$\displaystyle 6 = 16 - 2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx = 5$

Χρησιμοποιούμε την

$\displaystyle S_3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

και αντικαθιστούμε:

$\displaystyle S_3 - 3xyz = 4(6 - 5) = 4$

Για το xyz

, από:

$\displaystyle x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

έχουμε:

$\displaystyle 8 = 36 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \Rightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 14$

και από:

$\displaystyle (xy+yz+zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)$

$\displaystyle 25 = 14 + 8xyz \Rightarrow xyz = \frac{11}{8}$

Τελικά:

$\displaystyle S_3 = 4 + \frac{33}{8} = \frac{65}{8}$

Mathtab · #4

nickolas tsik έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 11, 2025 11:12 pm
Υπάρχει οντως πρόβλημα με το eqeditor(πολύ καιρό) αλλά όντας σύντομη η διερεύνηση έχουμε:

Δίνονται οι

$\displaystyle S_1 = x + y + z = 4, \quad S_2 = x^2 + y^2 + z^2 = 6, \quad S_4 = x^4 + y^4 + z^4 = 8$

και ζητείται

$\displaystyle S_3 = x^3 + y^3 + z^3$

Αρχικά, από την ταυτότητα:

$\displaystyle x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

έχουμε:

$\displaystyle 6 = 16 - 2(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx = 5$

Χρησιμοποιούμε την

$\displaystyle S_3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$

και αντικαθιστούμε:

$\displaystyle S_3 - 3xyz = 4(6 - 5) = 4$

Για το , από:

$\displaystyle x^4 + y^4 + z^4 = (x^2 + y^2 + z^2)^2 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2)$

έχουμε:

$\displaystyle 8 = 36 - 2(x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2) \Rightarrow x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 = 14$

και από:

$\displaystyle (xy+yz+zx)^2 = x^2y^2 + y^2z^2 + z^2x^2 + 2xyz(x+y+z)$

$\displaystyle 25 = 14 + 8xyz \Rightarrow xyz = \frac{11}{8}$

Τελικά:

$\displaystyle S_3 = 4 + \frac{33}{8} = \frac{65}{8}$

Αφού έχει πρόβλημα το latex πως μπορείς και γράφεις σε αυτό;

#5

Mathtab έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 12, 2025 2:18 pm
Αφού έχει πρόβλημα το latex πως μπορείς και γράφεις σε αυτό;

Δεν έχει πρόβλημα το latex αλλά ο equation editor.

Ο equation editοr είναι ένα εργαλείο για να σε διευκολύνει να γράφεις εντολές latex, αλλά δεν σημαίνει ότι είναι ο μόνος τρόπος. Αν ξέρεις πώς γράφονται οι εντολές, δεν χρειάζεται ο equation editor.

Στην παραπάνω άσκηση είναι λίγες οι εντολές latex που απαιτούνται. Καταγράφω μερικές ώστε να αρχίσεις να μαθαίνεις:

- εκθέτης a^b

γράφεται a^{b} ανάμεσα σε "δολλάρια"

- δείκτης a_n

γράφεται a_{n} ανάμεσα σε "δολλάρια"

- κλάσμα $\dfrac {m}{n}$ γράφεται \dfrac {m}{n} ανάμεσα σε "δολλάρια"

- συνεπάγεται $\Rightarrow$ γράφεται \Rightarrow ανάμεσα σε "δολλάρια"

και λοιπά.

Άσκηση για σένα: Γράψε σε latex το

$\displaystyle{\dfrac {1+\dfrac {a^{b^{c} }+(1+x^2)^3}{x^2+y^4} }{ 4_{c} + c_{4} }$

Άθροισμα κύβων

Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Re: Άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση