Ορθώς επιμένουμε

KARKAR · #1

: Ορθώς επιμένουμε.png (20.01 KiB) Προβλήθηκε 317 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, προεκτείναμε την υποτείνουσα

κατά ίσο τμήμα : CC'

και την πλευρά

, κατά τμήμα : $AA'=\dfrac{CA}{2}$ . Αν το A'BC'

, είναι επίσης ορθογώνιο ,

υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Υπόδειξη : Μπορείτε να βρείτε πρώτα , κάποια ιδιότητα του αρχικού τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 28, 2025 7:57 pm
Ορθώς επιμένουμε.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , προεκτείναμε την υποτείνουσα κατά ίσο τμήμα :

και την πλευρά , κατά τμήμα : $AA'=\dfrac{CA}{2}$ . Αν το , είναι επίσης ορθογώνιο ,

υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Υπόδειξη : Μπορείτε να βρείτε πρώτα , κάποια ιδιότητα του αρχικού τριγώνου .

Έστω ότι κατασκευάστηκε το ορθογώνιο τρίγωνο A'BC'

. Θέτω : $BC = 2x = CC'\,\,,\,\,AB = 2k\,\,,\,\,A'C = 3m$ .

Ας είναι $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των , $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA$ . είναι προφανές ότι αν $\widehat {BC'A'} = \theta$ τότε η $\widehat {A'C'B} = 2\theta$ .

: Ορθώς Επιμένουμε.png (22.02 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές

$\boxed{\tan 2\theta = \frac{k}{m}}\,\left( * \right)$ κι επειδή $3m = 2x \Rightarrow 9{m^2} = 4{x^2}\left( 1 \right)$ , Από το Π. Θ. στο $\vartriangle NOC$ έχω : ${m^2} + {k^2} = {x^2}\,\,\left( 2 \right)$

Μεταξύ των $\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 2 \right)$ διώχνω το ${x^2}$ κι έχω : $\boxed{\frac{k}{m} = \frac{{\sqrt 5 }}{2} = \tan 2\theta }$ .

Από: $\boxed{\tan 2\theta = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }}}$ προκύπτει για την οξεία γωνία $\theta$ , $\boxed{\tan \theta = \frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}}$

abgd · #3

: tanθ.png (22.09 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές

Αν

τότε

και έτσι

Από το πυθαγόρειο στο ABC

θα είναι $AB=a\sqrt{5}$ .

Εφόσον στο ορθογώνιο τρίγωνο A'AB

η γωνία $ABA'=\theta$ , θα είναι $tan \theta = \dfrac{AA'}{AB}=\dfrac{a}{a \sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

ή

βρίσκοντας και τα υπόλοιπα τμήματα του σχήματος συναρτήσει του

, έχουμε άμεσα το ζητούμενο...

: tanθ2.png (23.45 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 28, 2025 7:57 pm
Ορθώς επιμένουμε.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , προεκτείναμε την υποτείνουσα κατά ίσο τμήμα :

και την πλευρά , κατά τμήμα : $AA'=\dfrac{CA}{2}$ . Αν το , είναι επίσης ορθογώνιο ,

υπολογίστε την : $\tan\theta$ .

Υπόδειξη : Μπορείτε να βρείτε πρώτα , κάποια ιδιότητα του αρχικού τριγώνου .

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

$4a^2=9b^2 \Rightarrow 4c^2=5b^2 \Rightarrow tan2 \theta = \dfrac{c}{b}= \dfrac{ \sqrt{5} }{2} = \dfrac{2tan \theta }{1-tan^2 \theta } \Rightarrow tan \theta = \dfrac{ \sqrt{5} }{5}$

: ορθώς επιμένουμε.png (22.6 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

#5

abgd έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 29, 2025 12:31 am
tanθ.png
Αν τότε και έτσι

Από το πυθαγόρειο στο θα είναι $AB=a\sqrt{5}$ .

Εφόσον στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία $ABA'=\theta$ , θα είναι $tan \theta = \dfrac{AA'}{AB}=\dfrac{a}{a \sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

ή

βρίσκοντας και τα υπόλοιπα τμήματα του σχήματος συναρτήσει του , έχουμε άμεσα το ζητούμενο...

tanθ2.png

Ορθώς επιμένουμε

Ορθώς επιμένουμε

Re: Ορθώς επιμένουμε

Re: Ορθώς επιμένουμε

Re: Ορθώς επιμένουμε

Re: Ορθώς επιμένουμε

Μέλη σε σύνδεση