ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Iknmaths · #41

Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?

S.E.Louridas · #42

Για το 3ο της Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια διαπραγμάτευση χωρίς κύκλους.

Από την ομοιότητα των ορθογώνιων τριγώνων $\displaystyle{\vartriangle \Delta {\rm B}{\rm \Delta_1},\;\vartriangle \Gamma {\rm A}{\rm Z}}$ παίρνουμε: $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm B}}}{{{\rm B}{\Delta _1}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}{\rm Z}}} \Rightarrow \Delta {\rm B} = \frac{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm 2A}{\rm Z}}},}$

όμοια έχουμε $\displaystyle{\frac{{{\rm E}\Gamma }}{{\Gamma {{\rm E}_1}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\rm Z}}} \Rightarrow {\rm E}\Gamma = \frac{{{\rm A}\Gamma \cdot {\rm A}{\rm B}}}{{{\rm 2A}{\rm Z}}}.}$ Άρα $\displaystyle{\Delta {\rm B} = {\rm E}\Gamma .}$

Ταυτόχρονα ισχύει $\displaystyle{\angle \Gamma {\rm B}\Delta + \angle {\rm E}\Gamma {\rm B} = \frac{\pi }{2} - \angle \Gamma + \angle {\rm B} + \frac{\pi }{2} - \angle {\rm B} + \angle \Gamma = \pi .}$

Έτσι προκύπτει το «ποθούμενο».

: THAL.png (14.46 KiB) Προβλήθηκε 7117 φορές

Edit: Τοποθέτηση σχήματος και ενός ξεχασμένου 2 στον παρονομαστή.

#43

Μαρία Πουλούδη έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 8:07 am
Καλημέρα σας,
Στο 3ο πρόβλημα της Β' Λυκείου...
Αν θέσουμε 1/χ=ω και 1/y=φ, θα προκύψει ο περιορισμός $a^{3}\neq b$ όπως στη λύση χωρίς μετασχηματισμό;
Ευχαριστώ

Ναι, αφού είναι $a^3-b=3a\omega\varphi\ne 0$ .

mitsos7 · #44

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 9:48 am
Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?

Κοίτα, αναλογικά με τη δυσκολία των θεμάτων πιστεύω ότι μάλλον θα είσαι οριακά μέσα.
Btw και γω α λυκείου έδωσα και δε περίμενα να λύσω πάνω από μισό θεμα, γτ των προηγούμενων ετών έλυνα βαριά 1 θέμα. Τελικά κατάφερα και έλυσα ολόκληρα τα πρώτα 2, και είμαι και σκασμένος που δεν κατάφερα να λύσω και το 3ο ενώ είχα ακόμα 45 λεπτά, που στο σπίτι το έβγαλα σε 1 τέταρτο.

Επίσης, επειδή είναι η πρώτη φορά που δίνω σε τέτοιο διαγωνισμό, αν περάσουμε έχει Β φάση ο Θαλής η πάμε Ευκλείδη, ή είναι ανεξάρτητοι διαγωνισμοί;

Iknmaths · #45

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:08 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 9:48 am
Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?
Κοίτα, αναλογικά με τη δυσκολία των θεμάτων πιστεύω ότι μάλλον θα είσαι οριακά μέσα.
Btw και γω α λυκείου έδωσα και δε περίμενα να λύσω πάνω από μισό θεμα, γτ των προηγούμενων ετών έλυνα βαριά 1 θέμα. Τελικά κατάφερα και έλυσα ολόκληρα τα πρώτα 2, και είμαι και σκασμένος που δεν κατάφερα να λύσω και το 3ο ενώ είχα ακόμα 45 λεπτά, που στο σπίτι το έβγαλα σε 1 τέταρτο.

Επίσης, επειδή είναι η πρώτη φορά που δίνω σε τέτοιο διαγωνισμό, αν περάσουμε έχει Β φάση ο Θαλής η πάμε Ευκλείδη, ή είναι ανεξάρτητοι διαγωνισμοί;

Μπράβο σου για τα θέματα! Λοιπόν η επόμενη φάση είναι ο Ευκλείδης. Εκεί τα θέματα είναι ένα τσακ δυσκολότερα. Είναι η Β Φάση ουσιαστικά. Μετά τρίτη φάση είναι ο Αρχιμήδης, ή εθνική Ολυμπιάδα. Αν πάρεις εκεί μετάλλιο είναι οι προκριματικοί, για να μπεις εθνική ομάδα. Ευελπιστουσα να φτάσω τουλάχιστον Ευκλείδη για άλλη μια χρονιά αλλά θα δούμε.

mitsos7 · #46

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:45 am

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:08 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 9:48 am
Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?
Κοίτα, αναλογικά με τη δυσκολία των θεμάτων πιστεύω ότι μάλλον θα είσαι οριακά μέσα.
Btw και γω α λυκείου έδωσα και δε περίμενα να λύσω πάνω από μισό θεμα, γτ των προηγούμενων ετών έλυνα βαριά 1 θέμα. Τελικά κατάφερα και έλυσα ολόκληρα τα πρώτα 2, και είμαι και σκασμένος που δεν κατάφερα να λύσω και το 3ο ενώ είχα ακόμα 45 λεπτά, που στο σπίτι το έβγαλα σε 1 τέταρτο.

Επίσης, επειδή είναι η πρώτη φορά που δίνω σε τέτοιο διαγωνισμό, αν περάσουμε έχει Β φάση ο Θαλής η πάμε Ευκλείδη, ή είναι ανεξάρτητοι διαγωνισμοί;
Μπράβο σου για τα θέματα! Λοιπόν η επόμενη φάση είναι ο Ευκλείδης. Εκεί τα θέματα είναι ένα τσακ δυσκολότερα. Είναι η Β Φάση ουσιαστικά. Μετά τρίτη φάση είναι ο Αρχιμήδης, ή εθνική Ολυμπιάδα. Αν πάρεις εκεί μετάλλιο είναι οι προκριματικοί, για να μπεις εθνική ομάδα. Ευελπιστουσα να φτάσω τουλάχιστον Ευκλείδη για άλλη μια χρονιά αλλά θα δούμε.

Κοίτα, από τα περσινά του Ευκλείδη, το πρώτο και το γεωμετρικό φαίνονται να παλεύονται, αλλά δε ξέρω αν θα έφταναν

Iknmaths · #47

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 11:07 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:45 am

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:08 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 9:48 am
Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?
Κοίτα, αναλογικά με τη δυσκολία των θεμάτων πιστεύω ότι μάλλον θα είσαι οριακά μέσα.
Btw και γω α λυκείου έδωσα και δε περίμενα να λύσω πάνω από μισό θεμα, γτ των προηγούμενων ετών έλυνα βαριά 1 θέμα. Τελικά κατάφερα και έλυσα ολόκληρα τα πρώτα 2, και είμαι και σκασμένος που δεν κατάφερα να λύσω και το 3ο ενώ είχα ακόμα 45 λεπτά, που στο σπίτι το έβγαλα σε 1 τέταρτο.

Επίσης, επειδή είναι η πρώτη φορά που δίνω σε τέτοιο διαγωνισμό, αν περάσουμε έχει Β φάση ο Θαλής η πάμε Ευκλείδη, ή είναι ανεξάρτητοι διαγωνισμοί;
Μπράβο σου για τα θέματα! Λοιπόν η επόμενη φάση είναι ο Ευκλείδης. Εκεί τα θέματα είναι ένα τσακ δυσκολότερα. Είναι η Β Φάση ουσιαστικά. Μετά τρίτη φάση είναι ο Αρχιμήδης, ή εθνική Ολυμπιάδα. Αν πάρεις εκεί μετάλλιο είναι οι προκριματικοί, για να μπεις εθνική ομάδα. Ευελπιστουσα να φτάσω τουλάχιστον Ευκλείδη για άλλη μια χρονιά αλλά θα δούμε.
Κοίτα, από τα περσινά του Ευκλείδη, το πρώτο και το γεωμετρικό φαίνονται να παλεύονται, αλλά δε ξέρω αν θα έφταναν

Θαλή Ευκλειδη Α Λυκείου έχω λύσει πολύ πράγμα και με καλές προοπτικές... Απλά ακριβώς ποτέ δεν γνωρίζεις τι θα πέσει. Εμένα με πείραξε το 2ωρο, το θεώρησα πολύ μικρό χρονικό διάστημα. Από κει και πέρα όπως προανέφερα Μ αρέσει να βλέπω τέτοια περίεργα θέματα

Τσιαλας Νικολαος · #48

Καλημέρα παιδιά. Προσωπική άποψη μου είναι ότι τα φετινά θέματα ήταν άριστα ως προς τον σκοπό που η επιτροπή θέλει να πετύχει. Από εκεί και πέρα κανείς δεν ξέρει πια θα είναι η βάση μιας και αυτό εξαρτάται από την απόδοση συνολικά όλων των μαθητών. Καλή επιτυχία σε όλους!

Al.Koutsouridis · #49

Β' Λυκείου Πρόβλημα 3

Να βρείτε την αναγκαία και ικανή συνθήκη μεταξύ των παραμέτρων $𝑎, 𝑏 ∈ \mathbb{R} , 𝑎 > 0$ , έτσι ώστε να υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 𝑥, 𝑦

που ικανοποιούν τις σχέσεις

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=a$ και $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=a$ .

Λύση:

Για ευκολία στην γραφή θέτουμε $p=\dfrac{1}{x}, q=\dfrac{1}{y}, \quad p,q \neq 0$ και οι σχέσεις γράφονται

p+q=a

και

. Από την πρώτη σχέση έχουμε q=a-p

και αντικαθιστώντας αυτή την τιμή του

στην δεύτερη σχέση έχουμε

p^3+(a-p)^3=b

. Η οποία ισοδύναμα γράφεται

p^3+a^3-3ap(a-p)-p^3=b

Για να υπάρχει

που ικανοποιεί την τελευταία εξίσωση θα πρέπει η διακρίνουσα της δευτεροβάθμειας αυτής εξίσως να είναι μη αρνητική. Δηλαδή θα πρέπει

$D=(3a^2)^2-4\cdot 3a(a^3-b) \geq 0$ , από όπου έχουμε $3a(3a^3-4a^3+4b) \geq 0$ και εφόσον a>0

θα πρέπει $4b\geq a^3$ . Καθώς και $p\neq a$ , γιατί τότε θα ήταν q=0

. Θέτοντας p=a

θα έχουμε

. Δηλαδή η έκφραση b-a^3

είναι μη μηδενική.

Άρα αναγαία συνθήκη μεταξύ των a,b

είναι η $4b\geq a^3$ και $a^3\neq b$ . Θα δείξουμε ότι είναι και ικανή.

Πράγματι αν $\displaystyle{4b\geq a^3}$ τότε υπάρχουν αριθμοί $p_{1},p_{2}$ που είναι ρίζες της εξίσωσης

3ap^2-3a^2p+a^3-b=0

$p_{1}=\dfrac{3a^2-\sqrt{D}}{6a}$ , $p_{2}=\dfrac{3a^2+\sqrt{D}}{6a}$ .

Θα δείξουμε ότι αυτοί οι αριθμοί ικανοποιούν τις σχέσεις μας. Είναι

$p_{1}+p_{2}=\dfrac{3a^2-\sqrt{D}}{6a}+ \dfrac{3a^2+\sqrt{D}}{6a} = \dfrac{6a^2}{6a} = a$ και

$p_{1}^3+p_{2}^3 = \left (\dfrac{3a^2+\sqrt{D}}{6a}\right)^3+\left( \dfrac{3a^2-\sqrt{D}}{6a} \right)^3=$

$= \dfrac{ (27a^6+27a^4\sqrt{D}+9a^2D+D\sqrt{D})+ (27a^6-27a^4\sqrt{D}+9a^2D-D\sqrt{D}) }{(6a)^3}=$

$= \dfrac{2 \cdot 27a^6+18a^2(9a^4-12a(a^3-b))}{(6a)^3}=$

$= \dfrac{54a^6+18\cdot 9a^6- 18\cdot 12a^6+18\cdot 12a^3b}{(6a)^3}= \dfrac{18\cdot 12a^3b}{(6a)^3}= b$

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί $p_{1}, p_{2}$ είναι μη μηδενικοί. Πράγματι $p_{2} >0$ και αν $p_{1}=0$ τότε θα ήταν

9a^2=9a^4-12a^4+12ab

ή

, όμως το αριστερό μέλος της τελευταίας είναι θετικό και το αριστερό όχι. Οπότε και οι δυο ρίζες είναι μη μηδενικές.

Εν τέλει μπορούμε να διαλέξουμε $x =\dfrac{1}{p_{1}}$ και $y=\dfrac{1}{p_{2}}$ που ικανοποιούν τις αρχικές σχέσεις.

Άρα είναι και ικανή η συνθήκη $\displaystyle{4b\geq a^3}$ .

konjab · #50

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 11:07 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:45 am

mitsos7 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 10:08 am

Iknmaths έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 09, 2024 9:48 am
Εγώ έδωσα Α Λυκείου φέτος και παρά το γεγονός ότι δεν τα πήγα τόσο καλά όσο προέβλεπα, χαίρομαι που ήρθα σε επαφή με ένα θέμα όπως το 3ο. Δεν έχω δει ακόμη της λύσεις(προσπέρασα και αυτή που αναρτήθηκε παραπάνω, προκειμένου να το σκεφτώ λιγάκι μόνη μου αυτές τις ημέρες και ίσως με τη βοήθεια των βιβλίων που έχω για τους διαγωνισμούς επιλύσω κάτι. Επίσης περίεργο βρήκα και το α) ερώτημα της γεωμετρίας, αφού δεν έδινε ξεκάθαρα ούτε κάποιον αριθμό ούτε κάποια σχέση, παρά μόνο τη μεσοκάθετο. Δεν μου έφτασε ο χρόνος, ωστόσο αντιλήφθηκα πως έπρεπε να το προσεγγίσω πάνω κάτω. Ήταν μεγάλης δυσκολίας, των προηγούμενων ετών τα έλυνα σχεδόν όλα. Από κει και πέρα, υπάρχει περίπτωση να περάσει κανείς με 1,5 θέμα?
Κοίτα, αναλογικά με τη δυσκολία των θεμάτων πιστεύω ότι μάλλον θα είσαι οριακά μέσα.
Btw και γω α λυκείου έδωσα και δε περίμενα να λύσω πάνω από μισό θεμα, γτ των προηγούμενων ετών έλυνα βαριά 1 θέμα. Τελικά κατάφερα και έλυσα ολόκληρα τα πρώτα 2, και είμαι και σκασμένος που δεν κατάφερα να λύσω και το 3ο ενώ είχα ακόμα 45 λεπτά, που στο σπίτι το έβγαλα σε 1 τέταρτο.

Επίσης, επειδή είναι η πρώτη φορά που δίνω σε τέτοιο διαγωνισμό, αν περάσουμε έχει Β φάση ο Θαλής η πάμε Ευκλείδη, ή είναι ανεξάρτητοι διαγωνισμοί;
Μπράβο σου για τα θέματα! Λοιπόν η επόμενη φάση είναι ο Ευκλείδης. Εκεί τα θέματα είναι ένα τσακ δυσκολότερα. Είναι η Β Φάση ουσιαστικά. Μετά τρίτη φάση είναι ο Αρχιμήδης, ή εθνική Ολυμπιάδα. Αν πάρεις εκεί μετάλλιο είναι οι προκριματικοί, για να μπεις εθνική ομάδα. Ευελπιστουσα να φτάσω τουλάχιστον Ευκλείδη για άλλη μια χρονιά αλλά θα δούμε.
Κοίτα, από τα περσινά του Ευκλείδη, το πρώτο και το γεωμετρικό φαίνονται να παλεύονται, αλλά δε ξέρω αν θα έφταναν

Πέρυσι ευκλειδη (Γ γυμν) έλυσα 2 θέματα αλλά δεν έφταναν. Περνάνε πολύ λίγοι στην επόμενη φάση.

εφηηηηηηηη · #51

Καλησπέρα! Πρώτα από όλα καλή επιτυχία σε όσους έδωσαν ! Θεωρείτε ότι ένα διαγωνιζόμενος της η γυμνασίου περνάει στον Ευκλείδης αν έχει λύσει τα δύο θέματα (1,3) σωστά και έχει χτίσει μέχρι ενός σημείου το πρόβλημα 2;

S.E.Louridas · #52

Πρόβλημα 3, Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ.
Αν έχω πέσει στην ίδια λύση με κάποιον και δεν το έχω πάρει χαμπάρι, το αφήνω για τον κόπο.

Σε γενικές γραμμές έχουμε:

Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν x,y

διάφορα του μηδέν τέτοια που ...

Mε Euler υπό συνθήκη καταλήγουμε $\displaystyle{\frac{1}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{y^3}}} = {a^3} - 3\frac{a}{{xy}}.}$

Αντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση μετά από λίγες πράξεις παίρνουμε: $\displaystyle{\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = \frac{{{a^3} - b}}{{3a}}.\;\;(*)$

Για να έχει λύση η εξίσωση $\displaystyle{{t^2} - at + \frac{{{a^3} - b}}{{3a}} = 0,}$ αφού $\displaystyle{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a,}$

πρέπει και αρκεί $\displaystyle{\Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 4b \geqslant {a^3}}$ και ${a^3} \ne b,$ (αυτή προκύπτει και από την (*)

).

Η θετικότητα του

λειτούργησε και κατά την απαλοιφή του παρονομαστή 3a,

χωρίς αλλαγή της φοράς της ανισότητας,

κατά τη διαδικασία $\displaystyle{\Delta \geqslant 0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 4b \geqslant {a^3}}$ . Ας επισημάνουμε επίσης

ότι η παραπάνω δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς

δεν μπορεί να έχει ως λύση το μηδέν.

mitsos7 · #53

Ξέρει κανείς σε πόσο καιρό βγαίνουν τα αποτελέσματα;

Iknmaths · #54

mitsos7 έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 10, 2024 11:38 am
Ξέρει κανείς σε πόσο καιρό βγαίνουν τα αποτελέσματα;

Τέλη Δεκεμβρίου

Βουλα · #55

Τα αποτελέσματα δεν μας λέτε πότε θα βγάλετε...

Ελπίδα Καραδήμου · #56

Βουλα έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 25, 2024 3:22 pm
Τα αποτελέσματα δεν μας λέτε πότε θα βγάλετε...

Όλοι μας αυτά περιμένουμε αλλά από ότι άκουσα αρχές Ιανουαρίου θα βγουν τελικά και όχι τέλη Δεκεμβρίου δυστυχώς ..
Όχι ότι έχει και καμία διαφορά.. όσοι πέρασαν, πέρασαν
το θέμα είναι να μην απογοητευόμαστε ακόμη κ αν αποτύχουμε γιατί εδώ διακρίνονται μονο τα άριστα γραπτα ( όχι απαραίτητα και άριστοι μαθητές) .

Thales234 · #57

Γνωρίζετε πότε θα αναρτηθούν τα αποτελέσματα;

Mathimatika · #58

Είχαμε νεότερα για το ποτε θα ανακοινωθούν τα αποτελέσματα ;

Thales234 · #59

Κατανοώ πως είναι ημέρες εορταστικές όμως θα παρακαλούσα αν κάποιο μέλος της επιτροπής έχει πληροφορία για το ποτέ θα αναρτηθούν τα αποτελέσματα να την πει.

εφηηηηηηηη · #60

Παιδιά καλησπέρα, κανένα νέο για τα αποτελέσματα έχουμε ; Ή να τα περιμένουμε με την έναρξη των σχολείων ;

ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Re: ΘΑΛΗΣ 2024-2025 (ΘΕΜΑΤΑ-ΛΥΣΕΙΣ)

Μέλη σε σύνδεση